Felicitari „copii” și „preșcolar”

În același timp, pentru a rezolva oricare dintre problemele specificate de la Examenul de stat unificat la matematică, trebuie să cunoașteți doar două formule, fiecare dintre ele destul de accesibilă oricărui absolvent de școală, cu toate acestea, din motive necunoscute de mine, aceste formule sunt ignorat complet atât de profesorii școlii, cât și de compilatorii de tot felul de probleme pentru pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat. Prin urmare, astăzi nu vă voi spune doar care sunt aceste formule și cum să le aplici, ci voi deriva fiecare dintre aceste formule literalmente sub ochii tăi, luând ca bază sarcinile din banca deschisa Examenul de stat unificat la matematică.

Prin urmare, lecția s-a dovedit a fi destul de voluminoasă, destul de informativă, așa că faceți-vă confortabil și vom începe.

Investim bani în bancă

În primul rând, aș dori să fac o mică digresiune legată de finanțe, bănci, credite și depozite, pe baza căreia vom obține formulele pe care le vom folosi pentru a rezolva această problemă. Deci, să luăm o mică pauză de la examene, de la problemele școlare viitoare și să privim spre viitor.

Să presupunem că ai crescut și vei cumpăra un apartament. Să presupunem că nu veți cumpăra un apartament rău la periferie, ci un apartament de bună calitate pentru 20 de milioane de ruble. În același timp, să presupunem că ați primit un loc de muncă mai mult sau mai puțin normal și că câștigați 300 de mii de ruble pe lună. În acest caz, puteți economisi aproximativ trei milioane de ruble pe an. Desigur, câștigând 300 de mii de ruble pe lună, într-un an veți primi o sumă ceva mai mare - 3.600.000 - dar lăsați-le pe aceste 600.000 să fie cheltuite pe mâncare, îmbrăcăminte și alte bucurii zilnice ale gospodăriei. Datele totale de intrare sunt după cum urmează: trebuie să câștigi douăzeci de milioane de ruble, dar avem doar trei milioane de ruble pe an la dispoziție. Apare o întrebare firească: de câți ani trebuie să economisim trei milioane fiecare pentru a obține aceleași douăzeci de milioane? Acesta este considerat elementar:

\[\frac(20)(3)=6,....\la 7\]

Cu toate acestea, așa cum am menționat deja, câștigi 300 de mii de ruble pe lună, asta înseamnă că tu oameni desteptiși nu vei pune bani „sub pernă”, ci îi vei duce la bancă. Și, prin urmare, anual se vor acumula dobânzi la acele depozite pe care le aduceți la bancă. Să presupunem că alegi o bancă de încredere, dar în același timp mai mult sau mai puțin profitabilă și, prin urmare, depozitele tale vor crește anual cu 15% pe an. Cu alte cuvinte, putem spune că suma din conturile dumneavoastră va crește anual de 1,15 ori. Permiteți-mi să vă reamintesc formula:

Să calculăm câți bani vor fi în conturile dvs. după fiecare an:

În primul an, când abia începeți să economisiți bani, nu se va acumula dobândă, adică la sfârșitul anului veți economisi trei milioane de ruble:

La sfârșitul celui de-al doilea an, se vor acumula deja dobânzi pentru cele trei milioane de ruble rămase din primul an, adică. trebuie să înmulțim cu 1,15. Cu toate acestea, în timpul celui de-al doilea an ați raportat și alte trei milioane de ruble. Desigur, dobânda nu s-a acumulat încă pentru aceste trei milioane, deoarece până la sfârșitul celui de-al doilea an aceste trei milioane tocmai apăreau în cont:

Deci, al treilea an. La sfârșitul celui de-al treilea an, se va percepe dobândă pentru această sumă, adică întreaga sumă trebuie înmulțită cu 1,15. Și din nou, ai muncit din greu pe tot parcursul anului și ai economisit, de asemenea, trei milioane de ruble:

\[\stanga(3m\cdot 1,15+3m\dreapta)\cdot 1,15+3m\]

Să calculăm încă al patrulea an. Din nou, întreaga sumă pe care o aveam la sfârșitul celui de-al treilea an este înmulțită cu 1,15, adică. Se va percepe dobândă pentru întreaga sumă. Aceasta include dobânda pe dobândă. Și la această sumă se mai adaugă încă trei milioane, pentru că în al patrulea an ai muncit și ai economisit:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Acum să deschidem parantezele și să vedem ce sumă vom avea până la sfârșitul celui de-al patrulea an de economisire a banilor:

\[\begin(align)&\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15) )^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2) )+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& = 3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, avem elemente ale unei progresii geometrice între paranteze, adică avem suma elementelor unei progresii geometrice.

Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă o progresie geometrică este dată de elementul $((b)_(1))$, precum și de numitorul $q$, atunci suma elementelor se va calcula după următoarea formulă:

Această formulă trebuie să fie cunoscută și aplicată clar.

Vă rugăm să rețineți: formulă n-al-lea element sună așa:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Din cauza acestui grad, mulți studenți devin confuzi. În total avem doar n pentru suma n- elemente, și el însuși n Al-lea element are gradul $n-1$. Cu alte cuvinte, dacă încercăm acum să calculăm suma unei progresii geometrice, atunci trebuie să luăm în considerare următoarele:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Să calculăm separat numărătorul:

\[((1.15)^(4))=((\left((((1.15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1.3225 \right ))^(2) )=1,74900625\aproximativ 1,75\]

În total, revenind la suma progresiei geometrice, obținem:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1,75-1)(0,15)=\frac(0,75)(0,15)=\frac(75)(15 )=5\]

Drept urmare, obținem că după patru ani de economii, suma noastră inițială va crește nu de patru ori, de parcă nu am fi băgat banii în bancă, ci de cinci ori, adică cincisprezece milioane. Să scriem separat asta:

4 ani → de 5 ori

Privind în perspectivă, voi spune că dacă am economisi nu timp de patru ani, ci timp de cinci ani, atunci până la urmă suma noastră de economii ar crește de 6,7 ori:

5 ani → 6,7 ori

Cu alte cuvinte, până la sfârșitul celui de-al cincilea an vom avea următoarea sumă în cont:

Adică, până la sfârșitul celui de-al cincilea an de economii, ținând cont de dobânda la depozit, am fi primit deja peste douăzeci de milioane de ruble. Astfel, totalul contului de economii datorat interes bancar ar scădea de la aproape șapte ani la cinci ani, adică cu aproape doi ani.

Astfel, chiar dacă banca creditează suficient procent mic la depozitele noastre (15%), după doar cinci ani, același 15% dă o creștere care depășește semnificativ câștigurile noastre anuale. În același timp, principalul efect multiplicator a avut loc în ultimii ani și chiar, mai degrabă, în Anul trecut economii.

De ce am scris toate astea? Desigur, acest lucru nu este pentru a vă încuraja să duceți bani la bancă. Pentru că dacă vrei cu adevărat să-ți crești economiile, atunci trebuie să le investești nu într-o bancă, ci într-o afacere reală, în care aceleași dobânzi, adică profitabilitatea în condiții. economia Rusiei rareori scade sub 30%, adică de două ori depozitele bancare.

Dar ceea ce este cu adevărat util în toate aceste discuții este o formulă care ne permite să aflăm suma totală a depozitului prin suma plăților anuale, precum și prin dobânda percepută de bancă. Deci hai sa o scriem:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

% în sine se calculează folosind următoarea formulă:

Trebuie cunoscută și această formulă, precum și formula de bază pentru suma depozitului. Și, la rândul său, formula de bază poate reduce semnificativ calculele în acele probleme cu procente în care este necesar să se calculeze contribuția.

De ce să folosiți mai degrabă formule decât tabele?

Mulți vor avea probabil o întrebare: de ce toată această complexitate nu este posibil să scrieți pur și simplu fiecare an pe un tabel, așa cum se face în multe manuale, să numărați fiecare an separat și apoi să calculați suma totală a contribuției? Desigur, puteți uita complet de suma progresiei geometrice și puteți calcula totul folosind tablete clasice - acest lucru se face în majoritatea colecțiilor pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat. Cu toate acestea, în primul rând, volumul calculelor crește brusc, iar în al doilea rând, în consecință, crește probabilitatea de a face o eroare.

Și, în general, folosirea meselor în loc de această formulă minunată este aceeași cu săparea de șanțuri pe un șantier cu mâinile în loc să folosiți un excavator în picioare în apropiere și care funcționează pe deplin.

Ei bine, sau același lucru cu înmulțirea cinci cu zece, nu folosind tabelul înmulțirii, ci adunând cinci la sine de zece ori la rând. Cu toate acestea, m-am îndepărtat deja, așa că voi repeta cea mai importantă idee încă o dată: dacă există o modalitate de a simplifica și scurta calculele, atunci aceasta este metoda care ar trebui utilizată.

Dobânzi la împrumuturi

Ne-am ocupat de depozite, așa că trecem la următorul subiect și anume, dobânzile la împrumuturi.

Așadar, în timp ce economisiți bani, vă planificați cu atenție bugetul, gândindu-vă la viitorul dvs. apartament, colegul de clasă și acum un simplu șomer, a decis să trăiască pentru astăzi și pur și simplu a luat un împrumut. În același timp, tot va tachina și râde de tine, spunând că a făcut-o telefon de creditși o mașină folosită, luată pe credit, și tot iei metroul și folosești un telefon vechi cu buton. Desigur, fostul tău coleg de clasă va trebui să plătească scump pentru toate aceste „show-offs” ieftine. Cât de scump este - asta vom calcula chiar acum.

În primul rând, o scurtă informație introductivă. Să presupunem că fostul tău coleg de clasă a scos două milioane de ruble pe credit. În plus, conform acordului, el trebuie să plătească x ruble pe lună. Să spunem că a luat un împrumut la o rată anuală de 20%, care în condițiile actuale arată destul de decent. În plus, să presupunem că termenul împrumutului este de doar trei luni. Să încercăm să conectăm toate aceste cantități într-o singură formulă.

Deci, la început, de îndată ce fostul tău coleg de clasă a părăsit banca, are două milioane în buzunar, iar aceasta este datoria lui. Mai mult, nu a trecut nici un an și nici o lună, dar acesta este doar începutul:

Apoi, după o lună, se va percepe dobândă la suma datorată. După cum știm deja, pentru a calcula dobânda, este suficient să înmulțim datoria inițială cu un coeficient, care se calculează folosind următoarea formulă:

În cazul nostru despre care vorbim aproximativ o rată de 20% pe an, adică putem scrie:

Acesta este coeficientul sumei care va fi acumulată pe an. Totuși, colegul nostru de clasă nu este foarte deștept și nu a citit contractul și, de fapt, i s-a dat un împrumut nu cu 20% pe an, ci cu 20% pe lună. Și până la sfârșitul primei luni, se va acumula dobândă pentru această sumă și va crește de 1,2 ori. Imediat după aceasta, persoana va trebui să plătească suma convenită, adică x ruble pe lună:

\[\stanga(2m\cdot 1,2-x\dreapta)\cdot 1,2-x\]

Și din nou tipul nostru face o plată în valoare de $x$ ruble.

Apoi, până la sfârșitul celei de-a treia luni, valoarea datoriei sale crește din nou cu 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Și conform condiției, trebuie să plătească integral în termen de trei luni, adică după efectuarea ultimei treimi plăți, valoarea datoriei sale trebuie să fie egală cu zero. Putem scrie următoarea ecuație:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Hai sa decidem:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

În fața noastră este din nou o progresie geometrică, sau mai degrabă, suma a trei elemente ale unei progresii geometrice. Să o rescriem în ordinea crescătoare a elementelor:

Acum trebuie să găsim suma a trei elemente ale unei progresii geometrice. Hai sa o scriem:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Acum să găsim suma progresiei geometrice:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac((((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

De reamintit că suma unei progresii geometrice cu astfel de parametri $\left(((b)_(1));q \right)$ se calculează după formula:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Aceasta este formula pe care tocmai am folosit-o. Inlocuim aceasta formula in expresia noastra:

Pentru calcule suplimentare, trebuie să aflăm cu ce este $((1,2)^(3))$. Din păcate, în acest caz nu îl mai putem scrie ca ultima dată sub forma unui pătrat dublu, dar îl putem calcula astfel:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Să ne rescriem expresia:

Aceasta este o expresie liniară clasică. Să revenim la următoarea formulă:

De fapt, dacă o generalizăm, obținem o formulă care conectează dobânda, împrumuturile, plățile și termenii. Formula este următoarea:

Iată, cea mai importantă formulă a lecției video de astăzi, cu ajutorul căreia se calculează cel puțin 80% din toate problemele economice de la Examenul Unificat de Stat la matematică din partea a doua.

Cel mai adesea, în sarcinile reale, vi se va cere o plată sau, puțin mai rar, un împrumut, adică suma totală a datoriei pe care o avea colegul nostru de clasă chiar la începutul plăților. În problemele mai complexe, vi se va cere să găsiți procentul, dar pentru cele foarte complexe, pe care le vom analiza într-o lecție video separată, vi se va cere să găsiți intervalul de timp în care, având în vedere parametrii de împrumut și plată, coleg de clasă șomer va putea plăti integral banca.

Poate cineva va crede acum că sunt un adversar aprig al împrumuturilor, finanțelor și în general sistem bancar. Deci, nimic de genul asta! Dimpotrivă, cred că instrumente de credit sunt foarte utile și extrem de necesare economiei noastre, dar numai cu condiția ca împrumutul să fie luat pentru dezvoltarea afacerii. În ultimă instanță, puteți obține un împrumut pentru a cumpăra o locuință, adică o ipotecă, sau pentru o urgență tratament medical- asta e, pur și simplu nu există alte motive pentru a contracta un împrumut. Și tot felul de șomeri care fac împrumuturi pentru a cumpăra „show-off-uri” și în același timp nu se gândesc deloc la consecințe până la urmă și devin cauza crizelor și problemelor din economia noastră.

Revenind la subiectul lecției de astăzi, aș dori să observ că cunoașterea acestei formule care leagă împrumuturi, plăți și dobândă este la fel de necesară ca suma unei progresii geometrice. Cu ajutorul acestor formule se rezolvă problemele economice reale de la Examenul Unificat de Stat la matematică. Ei bine, acum că știi toate acestea foarte bine, când înțelegi ce este un împrumut și de ce nu ar trebui să-l iei, să trecem la rezolvarea problemelor economice reale de la Examenul Unificat de Stat la matematică.

Rezolvarea problemelor reale de la Examenul Unificat de Stat la matematică

Exemplul nr. 1

Deci, prima sarcină:

La 31 decembrie 2014, Alexey a scos 9.282.000 de ruble pe credit de la bancă la 10% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: la 31 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă pentru suma rămasă a datoriei (adică, crește datoria cu 10%), apoi Alexey transferă X ruble băncii. Care ar trebui să fie suma X pentru ca Alexey să plătească datoria în patru plăți egale (adică peste patru ani)?

Deci, aceasta este o problemă legată de credit, așa că scriem imediat formula noastră:

Împrumutul este cunoscut de noi - 9.282.000 de ruble.

Ne ocupăm acum de procente. Vorbim de 10% în problemă. Prin urmare, le putem traduce:

Putem crea o ecuație:

Am obținut o ecuație liniară obișnuită pentru $x$, deși cu coeficienți destul de formidabili. Să încercăm să o rezolvăm. Mai întâi, să găsim expresia $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left((((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Acum să rescriem ecuația:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1.4641=x\cdot \frac(1.4641-1)(0.1) \\& 9282000\cdot 1.4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0.1)|:10000| \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)( 1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641 \cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Gata, problema noastră cu interesul este rezolvată.

Desigur, aceasta a fost doar cea mai simplă problemă cu procentele de la examenul de stat unificat la matematică. Cel mai probabil, o astfel de sarcină nu va apărea în examenul real. Și dacă se întâmplă, consideră-te foarte norocos. Ei bine, pentru cei cărora le place să numere și nu le place să își asume riscuri, să trecem la următoarele sarcini mai complexe.

Exemplul nr. 2

La 31 decembrie 2014, Stepan a scos 4.004.000 de ruble pe credit de la bancă la 20% pe an. Schema de rambursare a creditului este următoarea: la 31 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă la suma rămasă a datoriei (adică, crește datoria cu 20%), apoi Stepan efectuează o plată către bancă. Stepan a plătit toată datoria în 3 plăți egale. Cu câte ruble mai puțin ar da băncii dacă ar putea plăti datoria în 2 plăți egale?

Avem o problemă cu împrumuturile, așa că scriem formula noastră:

\[\]\

Ce știm? În primul rând, știm creditul total. Știm și procentele. Să găsim coeficientul:

În ceea ce privește $n$, trebuie să citiți cu atenție enunțul problemei. Adică, mai întâi trebuie să calculăm cât a plătit pentru trei ani, adică $n=3$, apoi să facem din nou aceiași pași, dar să calculăm plățile pentru doi ani. Să scriem ecuația pentru cazul în care plata este plătită în trei ani:

Să rezolvăm această ecuație. Dar mai întâi, să găsim expresia $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Să ne rescriem expresia:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1.728=x\cdot \frac(1.728-1)(0.2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )( 200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

În total, plata noastră va fi de 1.900.800 de ruble. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți: în problema pe care ni s-a cerut să găsim plata lunara, și cât va plăti Stepan în total pentru trei plăți egale, adică pentru întreaga perioadă de utilizare a împrumutului. Prin urmare, valoarea rezultată trebuie înmulțită din nou cu trei. Hai să numărăm:

În total, Stepan va plăti 5.702.400 de ruble pentru trei plăți egale. Atât îl va costa să folosească împrumutul timp de trei ani.

Acum să luăm în considerare a doua situație, când Stepan s-a retras, s-a retras și a plătit întregul împrumut nu în trei, ci în două plăți egale. Scriem aceeași formulă:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac((((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Dar asta nu este tot, pentru că acum am calculat doar una dintre cele două plăți, așa că în total Stepan va plăti exact de două ori mai mult:

Super, acum suntem mai aproape de răspunsul final. Dar vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu am primit încă răspunsul final, deoarece pentru trei ani de plăți Stepan va plăti 5.702.400 de ruble, iar pentru doi ani de plăți va plăti 5.241.600 de ruble, adică puțin mai puțin. Cu cât mai puțin? Pentru a afla, trebuie să scazi a doua sumă de plată din prima sumă de plată:

Răspunsul final total este de 460.800 de ruble. Exact cât va economisi Stepan dacă plătește nu pentru trei ani, ci pentru doi.

După cum puteți vedea, formula care conectează dobânda, termenele și plățile simplifică semnificativ calculele în comparație cu tabelele clasice și, din păcate, din motive necunoscute, în majoritatea colecțiilor de probleme, cu toate acestea, tabelele sunt încă folosite.

Separat, as dori sa va atrag atentia asupra termenului pentru care a fost contractat imprumutul si cuantumul platilor lunare. Cert este că această legătură nu este direct vizibilă din formulele pe care le-am scris, dar înțelegerea ei este necesară pentru rapid și solutie eficienta probleme reale de examen. De fapt, această legătură este foarte simplă: cu cât împrumutul este contractat mai mult timp, cu atât suma va fi mai mică în plăți lunare, dar cu cât suma se va acumula pe toată perioada de utilizare a creditului. Și invers: cu cât termenul este mai scurt, cu atât plata lunară este mai mare, dar supraplata finală este mai mică, iar costul total al creditului este mai mic.

Desigur, toate aceste declarații vor fi egale doar dacă suma împrumutului și rata dobânzii sunt aceleași în ambele cazuri. În general, deocamdată amintiți-vă doar acest fapt - va fi folosit pentru a rezolva cele mai complexe probleme pe această temă, dar deocamdată vom analiza o problemă mai simplă, în care trebuie doar să găsim suma totală a împrumutului inițial.

Exemplul nr. 3

Deci, încă o sarcină pentru credit și, de asemenea, ultima sarcină din lecția video de astăzi.

La 31 decembrie 2014, Vasily a scos de la bancă o anumită sumă pe credit la 13% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: la 31 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă pentru suma rămasă a datoriei (adică crește datoria cu 13%), apoi Vasily transferă băncii 5.107.600 de ruble. Ce sumă a luat Vasily de la bancă dacă a achitat datoria în două plăți egale (peste doi ani)?

Deci, în primul rând, această problemă este din nou despre împrumuturi, așa că scriem formula noastră minunată:

Să vedem ce știm din enunțul problemei. În primul rând, plata este egală cu 5.107.600 de ruble pe an. În al doilea rând, este un procent, deci putem găsi coeficientul:

În plus, conform condițiilor problemei, Vasily a luat un împrumut de la bancă pe doi ani, adică. plătit în două plăți egale, deci $n=2$. Să înlocuim totul și să observăm, de asemenea, că împrumutul ne este necunoscut, adică. suma pe care a luat-o și să o notăm cu $x$. Primim:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Să ne rescriem ecuația ținând cont de acest fapt:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1.2769-1)(0.13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\ frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769)\ \& x =4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Gata, acesta este răspunsul final. Aceasta este exact suma pe care Vasily a scos-o pe credit chiar la început.

Acum este clar de ce în această problemă ni se cere să facem un împrumut pentru doar doi ani, pentru că sunt implicate procente de două cifre, și anume 13%, care pătratul este deja un număr destul de „brutal”. Dar aceasta nu este limita - în următoarea lecție separată ne vom uita la probleme mai complexe în care va trebui să găsim termenul împrumutului, iar rata va fi de unu, doi sau trei procente.

În general, învață să rezolvi problemele privind depozitele și împrumuturile, să te pregătești pentru examene și să le promovezi „excelent”. Și dacă ceva nu este clar în materialele lecției video de astăzi, atunci nu ezitați - scrieți, sunați și voi încerca să vă ajut.

Pe 15 aprilie, este planificat să contractați un împrumut în valoare de 900 de mii de ruble de la bancă pentru 11 luni.
Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- in ziua 1 a fiecarei luni, datoria creste cu p% fata de sfarsitul lunii precedente;

- în ziua de 15 a fiecărei luni din luna 1 până în luna a 10-a, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente;
- În a 15-a zi a celei de-a 10-a luni, datoria se ridica la 200 de mii de ruble;
- până în a 15-a zi a lunii a 11-a, datoria trebuie rambursată integral.
Găsiți p dacă banca a fost plătită cu un total de 1021 mii de ruble.

Pe 15 aprilie, este planificat să contractați un împrumut de la bancă pentru 700 de mii de ruble pentru (n + 1) lună.
Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

- în perioada 2 - 14 a fiecărei luni este necesară plata unei părți din datorie într-o singură plată;
- în data de 15 a fiecărei zile de la 1 la luna a n-a datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din a 15-a zi a lunii precedente;
- în a 15-a zi a lunii a n-a, datoria se ridica la 300 de mii de ruble;
- până în a 15-a zi a lunii (n + 1), datoria trebuie rambursată integral.
Găsiți n dacă banca a fost plătită cu un total de 755 de mii de ruble.

Pe 15 august, este planificat să contractați un împrumut în valoare de 1.100 de mii de ruble de la o bancă pentru 31 de luni.
Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu 2% fata de sfarsitul lunii precedente;
- în perioada 2 - 14 a fiecărei luni este necesară plata unei părți din datorie într-o singură plată;
- în ziua de 15 a fiecărei luni din luna 1 până în luna a 30-a, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente;
- până în a 15-a zi a celei de-a 31-a luni, datoria trebuie rambursată integral.
Câte mii de ruble este datoria în a 15-a zi a celei de-a 30-a luni, dacă banca a fost plătită în total 1503 mii de ruble?

Pe 15 martie este planificată contractarea unui împrumut bancar pentru o anumită sumă pe 11 luni.
Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu 1% fata de sfarsitul lunii precedente;
- în perioada 2 - 14 a fiecărei luni este necesară plata unei părți din datorie într-o singură plată;
- în ziua de 15 a fiecărei luni de la 1 la 10, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente;
- în a 15-a zi a celei de-a 10-a luni, datoria se va ridica la 300 de mii de ruble;

Ce sumă este planificată să fie împrumutată dacă suma totală a plăților după rambursarea integrală este de 1388 mii de ruble?

Pe 15 decembrie este planificată contractarea unui împrumut bancar pe 11 luni.
Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:


- în ziua de 15 a fiecărei luni, de la 1 la 10, datoria trebuie să fie cu 80 de mii de ruble mai mică decât datoria din a 15-a zi a lunii precedente;
- până în a 15-a zi a lunii a 11-a, împrumutul trebuie rambursat integral.
Ce datorie va fi în a 15-a zi a celei de-a 10-a luni dacă suma totală a plăților după rambursare integralăîmprumutul va fi de 1198 mii de ruble?

Pe 15 decembrie, este planificată să contractați un împrumut bancar în valoare de 300 de mii de ruble pentru 21 de luni. Conditiile de returnare sunt urmatoarele:

- din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
- în ziua de 15 a fiecărei luni de la 1 la 20, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente;
- în a 15-a zi a celei de-a 20-a luni, datoria se va ridica la 100 de mii de ruble;

Aflați suma totală a plăților după ce împrumutul este rambursat integral.

Pe 15 decembrie, este planificată contractarea unui împrumut bancar de 1.000.000 de ruble pentru (n+1) lună. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
-la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu r% fata de sfarsitul lunii precedente;
- din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
- a 15-a zi a fiecărei luni de la 1 la a n-a datorie trebuie să fie cu 40 de mii de ruble mai puțin decât datoria din a 15-a zi a lunii precedente;
- în a 15-a zi a lunii a n-a, datoria va fi de 200 de mii de ruble;
- până în a 15-a zi a lunii (n + 1), împrumutul trebuie rambursat integral.
Găsiți r dacă se știe că suma totală a plăților după rambursarea integrală a împrumutului va fi de 1378 mii de ruble.

Pe 15 decembrie este planificată contractarea unui împrumut bancar pe 21 de luni. Conditiile de returnare sunt urmatoarele:
- la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu 3% fata de sfarsitul lunii precedente;
- din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
- în ziua de 15 a fiecărei luni, de la 1 la 20, datoria trebuie să fie cu 30 de mii de ruble mai mică decât datoria din a 15-a zi a lunii precedente;
- până în a 15-a zi a celei de-a 21-a luni, împrumutul trebuie rambursat integral.
Ce sumă este planificată să fie împrumutată dacă suma totală a plăților după rambursarea integrală este de 1.604 mii de ruble?

Pe 25 mai este planificată contractarea unui împrumut bancar pe 1,5 ani. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu 7% fata de sfarsitul lunii precedente;
- de la 1 la 10 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
- În data de 25 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 25 a lunii precedente.
Ce sumă trebuie plătită băncii dacă plata medie lunară pentru întregul termen al împrumutului este egală cu 18.500 de ruble?

Fabrica de mobilă produce biblioteci și bufete. Producția unei biblioteci necesită 4/3 m^2 de plăci aglomerate, 4/3 m^2 de placă de pin și 2/3 din oră de lucru. Producția unui bufet necesită 2 m^2 de plăci aglomerate, 1,5 m^2 de placă de pin și 2 ore-om de timp de lucru. Profitul din vânzarea unei biblioteci este de 500 de ruble, iar un bufet este de 1200 de ruble. În termen de o lună, fabrica are la dispoziție: 180 m^2 de plăci aglomerate, 165 m^2 de plăci de pin și 160 de ore-om de lucru. Care este profitul lunar maxim așteptat?

O anumită întreprindere produce produse de două tipuri - A și B, folosind trei tipuri de resurse: M, N și K. Ratele de utilizare a resurselor și rezervele acestora sunt prezentate în tabel.

Este necesar să se determine venitul maxim posibil al unei întreprinderi atunci când vinde produse dacă prețurile pentru produsele A și B sunt de 1.500 și, respectiv, 900 de ruble pe unitatea de produs corespunzător. Vă rugăm să indicați răspunsul dvs. în mii de ruble.

Băieții de trei clase a XI-a au cumpărat flori pentru fete de sărbătoarea de 8 martie. Dacă fiecărei fată de clasa întâi i se dau 3 flori, fiecărei fată de clasa a doua i se dau 5 flori și fiecărei fată de clasa a treia i se dau 7 flori, atunci vei avea nevoie de cel puțin 40 și nu mai mult de 50 de flori.

Dacă dai fiecărei fete din clasa I 5 flori, fiecare fată din clasa a II-a primește 7 flori și fiecare fată din clasa a treia primește 3 flori, atunci vei avea nevoie de același număr de flori pe care trebuie să-l oferi fiecărei fete. flori de clasa a 7-a și fiecărei fete din clasa a doua 3 flori și fiecărei fete de clasa a treia 5 flori. Aflați numărul total de fete care învață în clasa a XI-a dacă se știe că sunt mai multe fete în clasa a treia decât în ​​a doua.

Suma depozitului a crescut în prima zi a fiecărei luni cu 2% în raport cu suma din prima zi a lunii precedente. În mod similar, prețul cărămizilor a crescut cu 36% în fiecare lună. După ce au amânat cumpărarea cărămizilor, la 1 mai au depus o anumită sumă în bancă. Cu cât mai puțin în acest caz puteți cumpăra cărămizi la 1 iulie a aceluiași an pentru întreaga sumă primită de la bancă împreună cu dobânda?

În pregătirea pentru Anul Nou, s-a decis cumpărarea mai multor decorațiuni pentru brad de Crăciun de două tipuri, cu condiția ca costul decorațiunilor tipuri diferite nu trebuie să difere cu mai mult de 2 ruble. Dacă cumpărați 7 decorațiuni de primul tip și 8 de al doilea, va trebui să plătiți mai mult de 165 de ruble. Dacă cumpărați 8 decorațiuni de primul tip și 7 de al doilea, va trebui să plătiți mai puțin de 165 de ruble. Aflați costul fiecărui tip de decor.

Băieții de două clase a XI-a au cumpărat flori pentru fete de sărbătoarea de 8 martie. Dacă fiecărei fată de clasa întâi i se dau 3 flori, iar fiecărei fată de clasa a doua i se dau 7 flori, atunci vor fi necesare mai puțin de 70 de flori. Dacă îi dați fiecărei fete din clasa întâi 7 flori și fiecărei fată din clasa a doua - 3 flori, atunci va fi nevoie de mai mult de 70 de flori. Aflați numărul de fete care învață în clasa a XI-a dacă numărul de fete din clase diferă cu mai puțin de trei.

Fabrica are trei tipuri de linii de asamblare: A, B, C. Fiecare dintre ele produce două tipuri de produse. Numărul de produse de fiecare tip produse de fiecare linie este prezentat în tabel.

Conform contractului, urmează să fie produse 1030 de produse de primul tip și 181 de produse de al doilea tip. Care este cel mai mic număr de linii de asamblare care pot fi utilizate?

Trei tipuri de aeronave zboară între orașele A și B, pentru care posibilitățile de transport de pasageri și containere de marfă sunt prezentate în tabel

Conform termenilor contractului, trebuie transportate 1.790 de pasageri și 195 de containere de marfă. Găsiți cel mai mic număr de avioane necesare.

Minereul este extras la două mine: la prima mină 100 de tone pe zi, la a doua - 220 de tone pe zi. Minereul extras este prelucrat la două fabrici. Primul este capabil să proceseze nu mai mult de 200 de tone de minereu pe zi, iar al doilea - nu mai mult de 250 de tone de minereu pe zi. Costul transportului unei tone de minereu de la mină la uzină este prezentat în tabel.

Găsiți cel mai mic cost de transport.

Deponentul a decis să plaseze 1000 de mii de ruble în bancă pentru o perioadă de 1 an. Banca oferă două strategii: prima este de a percepe 7% pe an dacă depozitul este plasat integral. Sau se propune împărțirea contribuției în trei părți. Apoi partea mai mică va fi taxată cu 15%, cea din mijloc - 10%, iar partea mai mare va fi taxată cu 5% pe an. Care este cel mai mare profit pe care îl poate primi un investitor dacă partea mai mare trebuie să difere de partea mai mică cu cel puțin 100 de mii de ruble, dar nu mai mult de 300 de mii de ruble?

Împrumutatul a împrumutat de la bancă timp de 3 ani o sumă egală cu 691.000 de ruble la 10% pe an, cu condiția ca a doua plată să fie de două ori mai mare decât prima, iar a treia să fie de trei ori mai mare decât prima și plățile au fost efectuate după acumularea dobânzii la soldul creditului. Care a fost suma primei plăți?

Pe 16 noiembrie, Nikita a scos 1 milion de ruble pe credit de la bancă. pentru sase luni. Conditiile de rambursare a creditului sunt urmatoarele:

În data de 28 a fiecărei luni, datoria crește cu 10% față de data de 16 a lunii curente;

În perioada 1 - 10 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți a datoriei;

În caz de întârziere a plăților (de la 1 la 5 zile), se percep penalități suplimentare: pentru fiecare zi restante 1% din suma care trebuia achitată în luna curentă;

În data de 16 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie o anumită sumă în conformitate cu tabelul:

Stabiliți câte mii de ruble va plăti Nikita băncii în plus față de împrumutul luat, dacă se știe că a făcut plăți pe 7 decembrie, 12 ianuarie, 10 februarie, 9 martie, 1 aprilie și 15 mai.

Larin 17) Ivan Petrovici a primit un împrumut de la o bancă la un anumit procent pe an. Un an mai târziu, pentru a rambursa împrumutul, a returnat băncii 1/6 din întreaga sumă pe care o datora băncii până la acel moment. Și un an mai târziu, pentru a rambursa integral împrumutul, Ivan Petrovici a depus în bancă o sumă care era cu 20% mai mare decât suma împrumutului primit. Care este rata anuală a dobânzii la un împrumut de la această bancă?

Sunt creioane în două cutii: în prima sunt roșii, în a doua sunt albastre și au fost mai puține roșii decât albastre. Mai întâi, 40% din creioanele din prima cutie au fost transferate în a doua. Apoi 20% din creioanele din a doua cutie au fost transferate în prima, iar jumătate dintre creioanele transferate au fost albastre. După aceasta, în prima cutie erau cu 26 de creioane roșii mai multe decât în ​​a doua, iar numărul total de creioane din a doua cutie a crescut față de original cu peste 5%. Aflați numărul total de creioane albastre.

În iulie, Victor plănuiește să contracteze un împrumut de 2,5 milioane de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 20% față de anul precedent;

Din februarie până în iunie a fiecărui an, Victor trebuie să plătească o parte din datorie.

Pentru ce număr minim de ani poate contracta Victor un împrumut pentru a plăți anuale nu erau mai mult de 760 de mii de ruble?

După câți ani întregi, Serghei va avea cel puțin 950.000 de ruble în cont dacă intenționează să depună 260.000 de ruble în cont în fiecare an, cu condiția ca banca să încaseze 10% din suma disponibilă o dată pe an, la 31 decembrie.

Mitrofan vrea să scoată pe credit 1,7 milioane de ruble. Împrumutul este rambursat o dată pe an în sume egale (cu excepția, poate, a ultimei) după acumularea dobânzii. Rata dobânzii este de 10% pe an. Pentru ce număr minim de ani poate contracta Mitrofan un împrumut, astfel încât plățile anuale să nu depășească 300 de mii de ruble?

La 31 decembrie 2016, Vasily a scos 5.460.000 de ruble pe credit de la bancă la 20% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea - la 31 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă pentru suma rămasă a datoriei (adică crește datoria cu 20%), apoi Vasily transferă x ruble băncii. Care ar trebui să fie suma pentru ca Vasily să achite datoria în trei plăți egale (adică peste trei ani)?

În luna august este planificată contractarea unui împrumut bancar pentru o anumită sumă. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

Din februarie până în iulie a fiecărui an, este necesar să se achite o parte din datorie egală cu 1.080 de mii de ruble. Câte mii de ruble au fost împrumutate de la bancă dacă se știe că împrumutul a fost rambursat integral în trei plăți egale (adică peste 3 ani)?

Fond de pensie deține titluri de valoare care costă [b]10t mii ruble la sfârșitul anului t (t = 1;2;3;...). La sfârșitul oricărui an, fondul de pensii poate vinde titluri și depune bani într-un cont bancar, iar la sfârșitul fiecărui an următor suma din cont va crește de 1+r ori. Fondul de pensii dorește să vândă titluri la sfârșitul anului, astfel încât la sfârșitul celui de-al douăzeci și cincilea an suma din contul său să fie cea mai mare. Calculele au arătat că, pentru aceasta, titlurile de valoare trebuie vândute strict la sfârșitul celui de-al unsprezecelea an. La ce valori pozitive Este posibil?

Vadim este proprietarul a două fabrici în diferite orase. Fabricile produc exact aceleași mărfuri folosind aceleași tehnologii. Dacă muncitorii de la una dintre fabrici lucrează în total t^2 ore pe săptămână, atunci în această săptămână produc t unități de mărfuri. Pentru fiecare oră de muncă la o fabrică situată în primul oraș, Vadim plătește unui muncitor 500 de ruble, iar la o fabrică situată în al doilea oraș - 300 de ruble. Vadim este gata să aloce 1.200.000 de ruble pe săptămână pentru a plăti muncitorii. Care este cel mai mare număr de unități care pot fi produse într-o săptămână la aceste două fabrici?

În iulie 2016, Inga plănuiește să contracteze un împrumut pe șase ani în valoare de 4,2 milioane de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În iulie 2017, 2018, 2019 și 2020, datoria rămâne egală cu 4,2 milioane de ruble;

Plățile în 2021 și 2022 sunt egale;

Până în iulie 2022, datoria va fi plătită integral.

Câte milioane de ruble ultima plata va fi mai mult decât primul?

În iulie 2016, Timur plănuiește să contracteze un împrumut bancar pentru patru ani în valoare de S milioane de ruble, unde S este un număr întreg. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 15% față de sfârșitul anului precedent;

Plata trebuie efectuată o dată pe an din februarie până în iunie;

În luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să facă parte din împrumut în conformitate cu următorul tabel:

Găsiți cea mai mare valoare a lui S la care suma totală a plăților lui Timur va fi mai mică de 30 de milioane de ruble.

În iulie 2020, este planificat să se contracteze un împrumut bancar în valoare de 400.000 de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu r% față de sfârșitul anului precedent;

Găsiți numărul r dacă se știe că împrumutul a fost rambursat integral în doi ani, iar în primul an au fost transferate 330.000 de ruble, iar în al doilea an - 121.000 de ruble.

În iulie 2020, este planificată contractarea unui împrumut bancar pentru o anumită sumă. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 20% față de sfârșitul anului precedent;

Din februarie până în iunie a fiecărui an, este necesar să plătiți o parte din datorie într-o singură plată

Câte ruble au fost luate de la bancă dacă se știe că împrumutul a fost rambursat integral în trei plăți egale (adică peste 3 ani) și suma plăților depășește suma luată de la bancă cu 77.200 de ruble?

În iulie este planificată contractarea unui împrumut bancar pentru o anumită sumă. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu r% față de sfârșitul anului precedent;

Din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară plata unei părți din datorie

Găsiți r dacă se știe că dacă plătiți 777.600 de ruble, împrumutul va fi rambursat în 4 ani, iar dacă plătiți 1.317.600 de ruble anual, atunci împrumutul va fi rambursat integral în 2 ani?

În iulie, este planificată să se contracteze un împrumut bancar în valoare de 18 milioane de ruble pentru o anumită perioadă (un număr întreg de ani). Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- in fiecare ianuarie datoria creste cu 10% fata de sfarsitul anului precedent;


Pentru câți ani a fost contractat împrumutul, dacă se știe că suma totală a plăților după rambursare a fost de 27 de milioane de ruble?

În iulie, se plănuiește obținerea unui împrumut bancar în valoare de 9 milioane de ruble pentru o anumită perioadă (un număr întreg de ani). Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 20% față de sfârșitul anului precedent;
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară rambursarea unei părți a datoriei;
- în luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria pentru luna iulie a anului precedent.

Care va fi suma totală a plăților după rambursarea integrală a împrumutului dacă cea mai mare plată anuală este de 3,6 milioane de ruble?

În iulie 2026, este planificat să se contracteze un împrumut bancar pentru trei ani în valoare de S milioane de ruble, unde S este un număr întreg. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 20% față de sfârșitul anului precedent.

Din februarie până în iunie a fiecărui an, este necesar să plătiți o parte din datorie într-o singură plată

În luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să facă parte din împrumut conform următorului tabel

Găsiți cea mai mare valoare a lui S la care fiecare plată va fi mai mică de 5 milioane de ruble.

Fondul de pensii deține titluri care costă t^2 ruble. la sfârşitul fiecărui an t(t=1;2...) la sfârşitul oricărui an, fondul de pensii poate vinde titluri de valoare şi depune bani într-un cont bancar, iar la sfârşitul fiecărui an următor suma din contul va crește cu (1+ r) o dată. Fondul de pensii vrea să vândă titluri la sfârșitul anului astfel încât la sfârșitul celui de-al douăzeci și cincilea an suma din contul său să fie cea mai mare Calculele au arătat că pentru aceasta titlurile trebuie vândute strict la sfârșitul anului anul douăzeci și unu. Pentru ce r pozitiv este posibil acest lucru?

Grădina zoologică distribuie 111 kg. carne între vulpi, leoparzi și lei. Fiecare vulpe are dreptul la 2 kg. carne, leopard - 14 kg, leu 21 kg. Se știe că fiecare leu are 230 de vizitatori în fiecare zi, fiecare leopard - 160, fiecare vulpe 20. Câte vulpi, leoparzi și lei ar trebui să fie în grădina zoologică pentru ca numărul de vizitatori zilnic la aceste animale să fie cel mai mare?

În adunarea acționarilor s-a decis creșterea profitului întreprinderii prin extinderea gamei de produse. Analiză economică a aratat ca

1) venit suplimentar pe fiecare noul fel produsele vor fi egale cu 70 de milioane de ruble. în an;

2) costurile suplimentare pentru dezvoltarea unui nou tip se vor ridica la 11 milioane de ruble. pe an, iar dezvoltarea fiecărui tip ulterior va necesita 7 milioane de ruble. pe an sunt mai multe cheltuieli decât dezvoltarea celui precedent. Aflați valoarea creșterii maxime posibile a profitului.

Un cetățean a depus 1 milion de ruble într-o bancă timp de 4 ani. La sfârșitul fiecărui an, la suma restantă se adaugă 10%. A decis să retragă aceeași sumă de bani la sfârșitul fiecăruia dintre primii 3 ani (după ce dobânda s-a acumulat). Această sumă ar trebui să fie astfel încât, după 4 ani de la acumularea dobânzii pentru al 4-lea an, să aibă cel puțin 1.200 de mii de ruble în cont. Care suma maxima un cetatean poate inchiria. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată mie.

Sasha și Pașa au băgat câte 100 de mii de ruble. la bancă la 10% pe an timp de trei ani. În același timp, Pașa a retras n mii de ruble un an mai târziu. (n este un număr întreg), iar un an mai târziu a raportat din nou n mii de ruble. pe cheltuiala dumneavoastră. Pentru cea mai mică valoare a lui n, după trei ani diferența dintre sumele din conturile lui Sasha și Pasha va fi de cel puțin 3 mii de ruble.

Este planificat să se acorde un împrumut pentru un număr întreg de milioane de ruble timp de 5 ani. La mijlocul fiecărui an de împrumut, datoria împrumutatului crește cu 10% față de începutul anului. La sfarsitul anului 1, 2 si 3, debitorul plateste doar dobanda la imprumut, ramanand datoria egala cu cea initiala. La sfârșitul anilor 4 și 5, împrumutatul efectuează plăți egale, rambursând în totalitate întreaga datorie. Găsiți cea mai mare dimensiune a împrumutului la care suma totală a plăților de către debitor va fi mai mică de 6 milioane de ruble.

Fermierul are două câmpuri, fiecare cu o suprafață de 10 hectare. Pe fiecare câmp se pot cultiva cartofi și sfeclă, câmpurile pot fi împărțite între aceste culturi în orice proporție. Randamentul cartofului în primul câmp este de 300 c/ha, iar în al doilea câmp de 200 c/ha. Randamentul de sfeclă în primul câmp este de 200 c/ha, iar în al doilea - 300 c/ha.

Un fermier poate vinde cartofi la un preț de 10.000 de ruble. la sută, și sfeclă - la un preț de 18.000 de ruble. la sută. Care este cel mai mare venit pe care îl poate câștiga un fermier?

În noaptea de Revelion, Moș Crăciun punea cantități egale de bomboane în pungi de cadouri, iar aceste pungi erau puse în pungi, 2 pungi într-o pungă. Ar putea pune aceleași bomboane în pungi, astfel încât fiecare dintre ele să conțină cu 5 bomboane mai puțin decât înainte, dar apoi fiecare pungă ar conține 3 pungi și ar fi necesare 2 pungi mai puține. Care este cel mai mare număr de bomboane pe care l-ar putea distribui Moș Crăciun?

Prima mașină a plecat de la punctul A la punctul B cu o viteză de 80 km/h, iar după un timp a doua mașină a plecat cu o viteză constantă. După ce s-a oprit timp de 20 de minute în punctul B, a doua mașină s-a întors cu aceeași viteză. După 48 km, a întâlnit primul autoturism care venea din sens opus, și se afla la 120 km de B în momentul în care primul autoturism a ajuns în punctul B. Aflați distanța de la A până la locul primei întâlniri dacă distanța dintre punctele A și B este de 480 km.

Magazinul a primit mărfuri de clasele I și II pentru o sumă totală de 4,5 milioane de ruble. Dacă toate mărfurile sunt vândute la un preț de clasa a doua, atunci pierderea va fi de 0,5 milioane de ruble, iar dacă toate mărfurile sunt vândute la un preț de clasa întâi, atunci se va obține un profit de 0,3 milioane de ruble. Pentru ce sumă s-au achiziționat separat mărfurile de clasele I și II?

Două mine produc aluminiu și nichel. În prima mină sunt 80 de muncitori, fiecare dintre ei dispus să muncească 5 ore pe zi. În acest caz, un muncitor extrage 1 kg de aluminiu sau 2 kg de nichel pe oră. În a doua mină sunt 200 de muncitori, fiecare dintre ei dispus să lucreze 5 ore pe zi. În acest caz, un muncitor produce 2 kg de aluminiu sau 1 kg de nichel pe oră.

Ambele mine furnizează metalul extras la uzină, unde se produce un aliaj de aluminiu și nichel pentru nevoi industriale, în care 2 kg de aluminiu este egal cu 1 kg de nichel. În același timp, minele convin între ele să extragă metale astfel încât fabrica să poată produce cea mai mare cantitate de aliaj. Câte kilograme de aliaj poate produce zilnic planta în astfel de condiții?

O anumită întreprindere generează pierderi în valoare de 300 de milioane de ruble. in an. Pentru ca acesta să fie profitabil, s-a propus creșterea gamei de produse. Calculele au arătat că veniturile suplimentare atribuibile fiecărui tip nou de produs se vor ridica la 84 de milioane de ruble. pe an, iar costurile suplimentare vor fi egale cu 5 milioane de ruble. pe an când stăpâniți o nouă specie, dar stăpânirea fiecărei specii ulterioare va necesita 5 milioane de ruble. pe an sunt mai multe cheltuieli decât dezvoltarea celui precedent. Care este numărul minim de tipuri de produse noi care trebuie dezvoltate pentru ca întreprinderea să devină profitabilă? Care este cel mai mare profit anual pe care îl poate obține compania prin creșterea gamei de produse?

Costul de dezvoltare versiune electronica manual
unele publicații sunt egale cu 800 de mii de ruble. Cheltuieli
pentru producerea a x mii de astfel de manuale electronice
în această editură sunt egale cu (x^2+6x+22100) mii de ruble
in an. Dacă manualele sunt vândute la un preț de ruble. pentru o unitate,
atunci profitul editurii pentru un an va fi ax-(x^2+6x+22100).
Editura va produce manuale în cantităţi precum
astfel încât profitul să fie cel mai mare. La ce valoare minimă a a
Dezvoltarea unui manual se va amortiza în cel mult 2 ani?

Pe 16 noiembrie, gemenii Sasha și Pasha au contractat un împrumut bancar de 500 de mii de ruble. fiecare pentru o perioadă de patru luni. Conditiile de rambursare a creditului sunt urmatoarele:

În data de 28 a fiecărei luni, datoria crește cu 10% față de data de 16 a lunii curente;

În perioada 1 - 15 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți a datoriei; În data de 16 a fiecărei luni, datoria ar trebui să fie o anumită sumă în conformitate cu tabelul propus pentru fiecare dintre ele:

Care frate va plăti banca în patru luni? o cantitate mai mica? Câte ruble?

La 1 martie 2016, Valery a depus 100 de mii de ruble în bancă. la 10% pe an pe o perioadă de 4 ani. În doi ani, intenționează să retragă n mii de ruble din contul său. (n este un număr întreg), astfel încât până la 1 martie 2020 să aibă cel puțin 130 de mii de ruble în cont. Care cea mai mare cantitate n poate Valery să se retragă din cont pe 1 martie 2018?

Doi pietoni merg unul spre celălalt: unul de la A la B, iar celălalt de la B la A. Au plecat în același timp, iar când primul a mers la jumătatea drumului, al doilea mai avea încă 1,5 ore de mers, iar când al doilea a mers la jumătatea drumului, primul Mai erau 45 de minute până la capăt. Cu câte minute mai devreme își va termina călătoria primul pieton decât al doilea?

La începutul lunii ianuarie 2017, este planificată să contractați un împrumut de la o bancă pentru S milioane de ruble, unde S este un număr întreg, pentru 4 ani. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare iulie datoria crește cu 10% față de începutul anului în curs;
- din august până în decembrie a fiecărui an este necesară rambursarea unei părți din datorie;
- în luna ianuarie a fiecărui an, datoria trebuie să facă parte din împrumut conform următorului tabel:

Găsiți cea mai mare valoare a lui S la care diferența dintre plățile cele mai mari și cele mai mici nu va depăși 2 milioane de ruble.

Pentru depozitul „Clasic”, banca intenționează să acumuleze 12% pe an la sfârșitul fiecărui an, iar pentru depozitul „Bonus” - să crească suma depozitului cu 7% în primul an și cu același număr întreg n procente în anii următori.

Găsiți cea mai mică valoare a lui n la care, peste 4 ani de stocare, va fi depozitul „Bonus”. mai profitabil decât un depozit„Clasic” cu sume egale de contribuții inițiale.

În mai 2017, este planificat să se contracteze un împrumut bancar pe șase ani în valoare de S milioane de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare decembrie a fiecărui an, datoria crește cu 10%;
- din ianuarie până în aprilie a fiecărui an este necesară rambursarea unei părți a datoriei;
- în mai 2018, 2019 și 2020, datoria rămâne egală cu S milioane de ruble;
- plățile în 2021, 2022 și 2023 sunt egale;
- până în mai 2023 datoria va fi achitată integral.

Găsiți cel mai mic număr întreg S pentru care suma totală a plăților nu depășește 13 milioane de ruble.

46 de persoane au intrat în anul I al specialității „Echipamente și Utilaje”: 34 băieți și 12 fete. Sunt împărțiți în două grupuri de 22 și 24 de persoane, cu cel puțin o fată în fiecare grupă. Care ar trebui să fie distribuția pe grupe, astfel încât suma numerelor egală cu procentul de fete din prima și a doua grupă să fie cea mai mare?

Leul a contractat un împrumut bancar pe o perioadă de 40 de luni. Conform acordului, Leul trebuie să ramburseze împrumutul în plăți lunare. La sfârșitul fiecărei luni, p% din această sumă se adaugă la suma datoriei rămase, urmată de plata Lev.

Plățile lunare sunt selectate astfel încât datoria să scadă uniform.

Se știe că cea mai mare plată a lui Leu a fost de 25 de ori mai mică decât valoarea inițială a datoriei. Găsiți p.

Pe 18 decembrie 2015, Andrey a scos 85.400 de ruble pe credit de la bancă la 13,5% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: pe 18 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă pentru suma rămasă a datoriei, apoi Andrey transferă X ruble către bancă. Care ar trebui să fie suma X pentru ca Andrei să plătească integral datoria în două plăți egale?

Ivan vrea să împrumute 1 milion de ruble. Împrumutul este rambursat o dată pe an în sume egale (cu excepția, poate, a ultimei) după acumularea dobânzii. Rata dobânzii este de 10% pe an. Pentru ce număr minim de ani poate obține Ivan un împrumut, astfel încât plățile anuale să nu depășească 250 de mii de ruble?

La 1 februarie 2016, Andrei Petrovici a scos 1,6 milioane de ruble pe credit de la bancă. Schema de rambursare a creditului este următoarea: pe data de 1 a fiecărei luni următoare, banca percepe 1% din suma rămasă a datoriei, apoi Andrei Petrovici transferă plata către bancă. Pentru ce număr minim de luni ar trebui Andrei Petrovici să contracteze un împrumut pentru a plati lunare nu a depășit 350 de mii de ruble?

Pe 12 noiembrie 2015, Dmitry a scos 1.803.050 de ruble pe credit de la bancă la 19% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: pe 12 noiembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă pentru suma rămasă a datoriei, apoi Dmitry transferă X ruble băncii. Care ar trebui să fie suma X pentru ca Dmitri să achite integral datoria în trei plăți egale?

De-a lungul a două autostrăzi reciproc perpendiculare, două mașini încep să se deplaseze simultan în direcția intersecției lor: unul cu o viteză de 80 km/h, celălalt cu 60 km/h. În momentul inițial de timp, fiecare mașină se află la o distanță de 100 km de intersecție. Determinați timpul de după începerea mișcării la care distanța dintre mașini va fi cea mai mică. Care este această distanță?

Arkady, Semyon, Efim și Boris au fondat o companie cu un capital autorizat de 200.000 de ruble. Arkady a contribuit cu 14% din capitalul autorizat, Semyon - 42.000 de ruble, Efim - 12% din capitalul autorizat, iar Boris a contribuit cu restul capitalului. Fondatorii au convenit să împartă profitul anual proporțional cu suma la care contribuie capitalul autorizat contribuţie. Ce sumă de profit de 500.000 de ruble i se datorează lui Boris? Dați răspunsul în ruble.

Există 250 de muncitori în două regiuni, fiecare dintre ei dispus să lucreze 5 ore pe zi la minerit de aluminiu sau nichel. În prima zonă, un muncitor extrage 0,2 kg de aluminiu sau 0,1 kg de nichel pe oră. În a doua regiune, pentru a extrage x kg de aluminiu pe zi necesită x^2 ore-om de muncă, iar pentru a extrage q kg de nichel pe zi necesită y^2 ore-om de muncă.

În două regiuni sunt 50 de muncitori fiecare, fiecare dintre ei dispus să lucreze 10 ore pe zi la minerit de aluminiu sau nichel. În prima zonă, un muncitor extrage 0,2 kg de aluminiu sau 0,1 kg de nichel pe oră. În a doua zonă, exploatarea x kg de aluminiu pe zi necesită x^2 ore-om de muncă, iar exploatarea kg de nichel pe zi necesită y^2 ore-om de muncă.

Ambele regiuni furnizează metalul extras fabricii, unde se produce un aliaj de aluminiu și nichel pentru nevoi industriale, în care 1 kg de aluminiu reprezintă 2 kg de nichel. În același timp, regiunile convin între ele să exploateze metale astfel încât fabrica să poată produce cea mai mare cantitate de aliaj. Câte kilograme de aliaj poate produce zilnic planta în astfel de condiții?

Timofey vrea să ia un împrumut de 1,1 milioane de ruble. Împrumutul este rambursat o dată pe an în sume egale (cu excepția, poate, a ultimei) după acumularea dobânzii. Rata dobânzii este de 10% pe an. Pentru ce număr minim de ani poate contracta Timofey un împrumut, astfel încât plățile anuale să nu depășească 270 de mii de ruble?

Galina a contractat un împrumut de 12 milioane de ruble pe o perioadă de 24 de luni. Conform acordului, Galina trebuie să returneze o parte din bani la bancă la sfârșitul fiecărei luni. În fiecare lună, suma totală a datoriilor crește cu 3%, iar apoi scade cu suma plătită de Galina băncii la sfârșitul lunii. Sumele plătite de Galina sunt selectate astfel încât suma datoriei să scadă uniform, adică cu aceeași sumă în fiecare lună. Câte ruble va mai returna Galina la bancă în primul an de împrumut față de al doilea an?

Pe 15 ianuarie este planificată contractarea unui împrumut bancar pe 15 luni. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu 3% fata de sfarsitul lunii precedente;
- din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;

Se știe că a opta plată s-a ridicat la 99,2 mii de ruble. Ce sumă trebuie returnată băncii pe toată perioada împrumutului?

La 31 decembrie 2014, Oleg a scos de la bancă o anumită sumă pe credit la un anumit procent pe an. Schema de rambursare a creditului este următoarea - la 31 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă la suma rămasă a datoriei (adică crește datoria cu un %), apoi Oleg transferă următoarea tranșă. Dacă plătește 328.050 de ruble în fiecare an, va achita datoria în 4 ani. Dacă 587.250 de ruble fiecare, atunci timp de 2 ani. Gaseste un.

Două bazine identice au început să se umple cu apă în același timp. Primul bazin primește cu 30 m^3 mai multă apă pe oră decât al doilea. La un moment dat, cele două bazine împreună conțineau atâta apă cât volumul fiecăruia dintre ele. După aceasta, după 2 ore și 40 de minute, s-a umplut primul bazin, iar după alte 3 ore și 20 de minute, al doilea. Câtă apă a intrat în al doilea bazin pe oră? Cât a durat până s-a umplut al doilea bazin?

La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu 2% față de sfârșitul lunii precedente;

Din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.

Ce procent din suma împrumutului reprezintă suma totală de bani care trebuie plătită băncii pe toată perioada împrumutului?

Pe 20 decembrie, Valery a contractat un împrumut bancar în valoare de 500 de mii de ruble. pe o perioadă de cinci luni. Conditiile de rambursare a creditului sunt urmatoarele:

În data de 5 a fiecărei luni, datoria crește cu un număr întreg n procente față de luna precedentă;

Din 6 până în 19 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 20 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie o anumită sumă în conformitate cu tabelul:

Găsiți cel mai mic n la care suma plăților care depășește împrumutul luat (plăți de dobândă) va fi mai mare de 200 de mii de ruble.

Trei mașini automate de putere diferită trebuie să producă 800 de piese fiecare. În primul rând, prima mașină a fost lansată, după 20 de minute - a doua, iar după alte 35 de minute - a treia. Fiecare dintre ei a lucrat fără defecțiuni sau opriri, iar în timpul lucrului a existat un moment în care fiecare mașină a finalizat aceeași parte a sarcinii. Pentru câte minute înainte de a doua a treia persoană a finalizat munca mașinii, dacă prima a finalizat sarcina la 1 oră și 28 de minute după a treia?

Există 90 de muncitori în două regiuni, fiecare dintre ei dispus să lucreze 5 ore pe zi la minerit de aluminiu sau nichel. În prima zonă, un muncitor extrage 0,3 kg de aluminiu sau 0,1 kg de nichel pe oră. În a doua zonă, sunt necesare x^2 ore-om de muncă pentru a extrage x kg de aluminiu pe zi și y^2 ore-om de muncă sunt necesare pentru a extrage y kg de nichel pe zi.

Pentru nevoi industriale, se poate folosi fie aluminiu, fie nichel, iar 1 kg de aluminiu poate fi înlocuit cu 1 kg de nichel. Care este cea mai mare masă de metale care poate fi extrasă în total două regiuni pentru nevoi industriale?

În iulie 2016, este planificat să se contracteze un împrumut bancar pentru trei ani în valoare de S milioane de ruble, unde S este un număr întreg. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 25% față de sfârșitul anului precedent;
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară plata unei părți din datorie într-o singură plată;
- în luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să facă parte din împrumut conform următorului tabel.

Găsiți cea mai mică valoare a lui S la care fiecare plată va fi mai mare de 5 milioane de ruble

La 1 august 2016, Valery a deschis un cont „Top up” la bancă timp de patru ani la 10% pe an, investind 100 de mii de ruble.

Pe 1 august 2017 și 1 august 2019, intenționează să raporteze n mii de ruble în contul său. Găsiți cel mai mic număr întreg n astfel încât până la 1 august 2020, Valery să aibă cel puțin 200 de mii de ruble în cont.

Pe 15 ianuarie, este planificat să contractați un împrumut bancar pentru șase luni în valoare de 1 milion de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu r la sută față de sfârșitul lunii precedente, unde r este un număr întreg;

Din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie de o anumită sumă conform următorului tabel

Găsiți cea mai mare valoare a lui r la care suma totală a plăților va fi mai mică de 1,2 milioane de ruble.

În iulie, a fost contractat un împrumut de 8,8 milioane de ruble pentru câțiva ani. La începutul fiecărui an următor, soldul datoriei crește cu 25% față de sfârșitul anului precedent. Înainte de 1 iulie a fiecărui an, clientul trebuie să ramburseze o parte din datorie în așa fel încât, de la 1 iulie, datoria să fie redusă anual cu aceeași sumă. Ultima plată este de 1 milion de ruble. Aflați suma totală a plăților către bancă.

În iulie, este planificat să se contracteze un împrumut bancar în valoare de 14 milioane de ruble pentru o anumită perioadă (un număr întreg de ani). Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

În fiecare ianuarie datoria crește cu 10% față de sfârșitul anului precedent;
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară rambursarea unei părți a datoriei;
- în luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria pentru luna iulie a anului precedent

Care va fi suma totală a plăților după rambursarea integrală a împrumutului dacă cea mai mică plată anuală este de 3,85 milioane de ruble?

La începutul anului, compania Zhilstroyservice selectează o bancă pentru a primi un împrumut de la mai multe bănci care împrumută la diferite rate ale dobânzii. Compania intenționează să utilizeze împrumutul primit astfel: 75% din împrumut va fi utilizat pentru construcția de cabane, iar restul de 25% pentru furnizarea de servicii imobiliare către populație. Primul proiect poate aduce profit în valoare de 36% până la 44% pe an, iar al doilea - de la 20% la 24% pe an. La sfarsitul anului, firma trebuie sa returneze bancii creditul cu dobanda si in acelasi timp mizeaza pe profit net din aceste tipuri de activități de la nu mai puțin de 13%, dar nu mai mult de 21% pe an din totalul creditului primit. Care ar trebui să fie cele mai mici și mai mari rate de creditare pentru băncile selectate pentru ca societatea să fie garantată să își asigure nivelul de profit de mai sus?

La 15 ianuarie 2012, banca a emis un împrumut în valoare de 1 milion de ruble. Condițiile pentru întoarcerea sa au fost următoarele:
- La data de 1 ianuarie a fiecărui an, datoria crește cu un% față de sfârșitul anului precedent;
- plata unei părți a datoriei are loc în luna ianuarie a fiecărui an după acumularea dobânzii.
Împrumutul a fost rambursat în doi ani, iar în primul an a fost transferată o sumă de 600 de mii de ruble, iar în al doilea an - 550 de mii de ruble.
Gaseste un.

Construcția unei noi fabrici costă 78 de milioane de ruble. Costuri de producție x mii de unități. produsele dintr-o astfel de fabrică sunt egale cu 0,5x²+2x+6 milioane de ruble pe an. Dacă produsele fabricii sunt vândute la un preț de r mie de ruble pe unitate, atunci profitul companiei (în milioane de ruble) pentru un an va fi (px-(0,5x²+2x+6)). Când fabrica este construită, compania va produce produse în astfel de cantități încât profitul să fie cel mai mare. La ce valoare minimă de p se va amortiza construcția centralei în cel mult 3 ani?

La începutul anului 2001, Alexey a achiziționat Securitate pentru 25.000 de ruble. La sfârșitul fiecărui an, prețul hârtiei crește cu 3.000 de ruble. La începutul oricărui an, Alexey poate vinde hârtia și depune încasările într-un cont bancar. În fiecare an, suma din cont va crește cu 10%. La începutul în ce an Alexey ar trebui să vândă titlul, astfel încât la cincisprezece ani de la cumpărarea acestui titlu, suma din contul bancar să fie cea mai mare?

Fiecare dintre cele două fabrici are 1.800 de angajați. La prima fabrică, un muncitor produce 1 parte A sau 2 părți B pe schimb.

Fiecare dintre cele două fabrici are 200 de angajați. La prima fabrică, un muncitor produce 1 parte A sau 3 părți B pe schimb.

Ambele fabrici furnizează piese fabricii, din care asamblează un produs, a cărui fabricare necesită 1 parte A și 1 parte B. În același timp, fabricile convin între ele să producă piese astfel încât cel mai mare număr de produse poate fi asamblat. Câte produse poate asambla planta pe schimb în astfel de condiții?

La fiecare dintre cele două fabrici se produc părțile A și B. Prima fabrică are 40 de angajați, iar un muncitor produce 15 părți A sau 5 părți B pe tură 15 pe tură detalii V.

Ambele fabrici furnizează piese fabricii, din care asamblează un produs, a cărui fabricare necesită 2 părți A și 1 parte B. În același timp, fabricile convin între ele să producă piese astfel încât cel mai mare număr de produse pot fi asamblate. Câte produse poate asambla planta pe schimb în astfel de condiții?

Pentru a produce un anumit produs B care conține 40% alcool, Alexey poate achiziționa materii prime de la doi furnizori A și B. Furnizorul A oferă o soluție de alcool de 90% în recipiente de 1000 de litri la un preț de 100 de mii de ruble. per recipient. Furnizorul B oferă o soluție de alcool de 80% în recipiente de 2000 de litri la un preț de 160 de mii de ruble. per recipient. Produsul B obtinut in timpul productiei este imbuteliat in sticle de 0,5 litri. Care este suma minimă pe care Alexey ar trebui să o cheltuiască pe materii prime dacă intenționează să producă exact 60.000 de sticle de produs B?

La 1 martie 2016, Ivan Lvovich a depus 20.000 de ruble în depozit bancar pe o perioada de 1 an cu dobanda lunara si capitalizare la 21% pe an. Aceasta înseamnă că în prima zi a fiecărei luni, suma depozitului crește cu aceeași sumă de dobândă, calculată în așa fel încât peste 12 luni să crească cu exact 21%. În câte luni suma depozitului va depăși pentru prima dată 22.000 de ruble?

Pe 15 mai, omul de afaceri plănuia să contracteze un împrumut bancar în valoare de 12 milioane de ruble pentru 19 luni. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu 2% față de sfârșitul lunii precedente;

Din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.

Câtă dobândă mai mult va trebui să plătească un om de afaceri în raport cu împrumutul luat?

Pentru a produce un anumit produs B care conține 40% alcool, Alexey poate achiziționa materii prime de la doi furnizori A și B. Furnizorul A oferă o soluție de alcool de 90% în recipiente de 1000 de litri la un preț de 100 de mii de ruble. per recipient. Furnizorul B oferă o soluție de alcool de 80% în recipiente de 2000 de litri la un preț de 160 de mii de ruble. per recipient. Produsul B obtinut in timpul productiei este imbuteliat in sticle de 0,5 litri. Care este suma minimă pe care Alexey ar trebui să o cheltuiască pe materii prime dacă intenționează să producă exact 60.000 de sticle de produs B?

Vladimir deține două fabrici pentru producția de frigidere. Productivitatea primei plante nu depășește 950 de frigidere pe zi. Productivitatea celei de-a doua fabrici a fost inițial de 95% din productivitatea primei. După punerea în funcțiune a unei linii suplimentare, a doua fabrică a crescut producția de frigidere pe zi cu exact 23% din numărul de frigidere produse la prima fabrică și a început să producă peste 1.000 dintre ele. Câte frigidere producea fiecare plantă pe zi înainte de reconstrucția celei de-a doua fabrici?

La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu 2% față de sfârșitul lunii precedente;

Din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.

Se știe că în a patra lună de împrumut trebuie să plătiți 54 de mii de ruble. Ce sumă trebuie returnată băncii pe toată perioada împrumutului?

În iulie, clientul a contractat un împrumut în valoare de 8,8 milioane de ruble timp de câțiva ani.

Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

La începutul fiecărui an următor, soldul datoriei crește cu 25% față de sfârșitul anului precedent.
-nainte de 1 iulie a fiecarui an, clientul trebuie sa ramburseze o parte din datoria catre banca in asa fel incat, fata de 1 iulie, datoria sa scada anual cu aceeasi suma.

Se știe că ultima plată va fi de 1 milion de ruble. Aflați suma totală a plăților pe care clientul le va plăti către bancă.

Prietenii Polina și Christina visează să devină modele. Pe 1 ianuarie au decis să înceapă să slăbească. În același timp, greutatea Polinei s-a dovedit a fi cu 10% mai mare decât a Christinei.

În februarie, Christina plănuiește să piardă încă 2%.

A) Care este cel mai mic procent întreg de care are nevoie Polina pentru a pierde în greutate în februarie, astfel încât până la 1 martie greutatea ei să devină mai mică decât cea a Christinei?

B) Cât va cântări Christina până la sfârșitul lunii februarie, dacă se știe că la 1 ianuarie Polina cântărea 55 kg?

Depozitul este planificat să fie deschis timp de patru ani. Depozitul inițial este un număr întreg de milioane de ruble. La sfârșitul fiecărui an, contribuția crește cu 10% față de mărimea ei la începutul anului și, în plus, la începutul celui de-al treilea și al patrulea an, contribuția este completată anual cu 3 milioane de ruble. Găsiți cea mai mare sumă din depozitul inițial, la care după patru ani depozitul va fi mai mic de 25 de milioane de ruble.

Fiecare dintre cele două fabrici are 20 de angajați. La prima fabrică, un muncitor produce 2 părți A sau 2 părți B pe schimb.

Ambele fabrici furnizează piese fabricii, din care asamblează un produs, a cărui fabricare necesită 1 parte A și 1 parte B. În același timp, fabricile convin între ele să producă piese astfel încât cel mai mare număr de produse poate fi asamblat. Câte produse poate asambla planta pe schimb în astfel de condiții?

La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu 2% față de sfârșitul lunii precedente;

Din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.

Se știe că în a cincea lună (de la 2 iunie la 14 iunie) de împrumut trebuie să plătiți băncii 44 de mii de ruble. Ce sumă trebuie plătită băncii pe toată perioada împrumutului?

Fermierul are 2 terenuri, fiecare cu o suprafata de 10 hectare. Pe fiecare câmp se pot cultiva cartofi și sfeclă, câmpul poate fi împărțit între aceste culturi în orice proporție. Randamentul cartofului în primul câmp este de 300 c/ha, iar în al doilea câmp - 200 c/ha. Randamentul de sfeclă în primul câmp este de 200 c/ha, iar în al doilea - 300 c/ha.

Un fermier poate vinde cartofi cu 4.000 de ruble. pe o sută de greutate și sfeclă la un preț de 5.000 de ruble. la sută. Care este cel mai mare venit pe care îl poate câștiga un fermier?

Atelierul a primit o comandă pentru producția a 2.000 de piese de tip A și 14.000 de piese de tip B. Fiecare dintre cei 146 de muncitori din atelier petrece timp la fabricarea unei piese de tip A, timp în care ar putea produce 2 piese de tipul. B. Cum ar trebui să fie împărțiți muncitorii atelierului în două echipe pentru a finaliza comanda în cel mai scurt timp, cu condiția ca ambele echipe să înceapă să lucreze în același timp, iar fiecare dintre echipe să fie ocupată cu producția de piese de un singur tip?

Fiecare dintre cele două fabrici are 100 de angajați. La prima fabrică, un muncitor produce 3 părți A sau 1 parte B pe schimb.

Ambele fabrici furnizează piese fabricii, din care asamblează un produs, a cărui fabricare necesită 1 parte A și 3 părți B. În același timp, fabricile convin între ele să producă piese astfel încât cel mai mare număr de produse pot fi asamblate. Câte produse poate asambla planta pe schimb în astfel de condiții?

Pe 17 decembrie 2014, Anna a împrumutat de la bancă 232.050 de ruble cu 10% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: la 17 decembrie a fiecărui an, banca percepe dobândă pentru suma rămasă a datoriei, apoi Anna transferă X ruble către bancă. Care trebuie să fie suma X pentru ca Anna să ramburseze integral datoria în patru plăți egale?

Acestea sunt:
- la data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu 3% fata de sfarsitul lunii precedente;
- din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
- În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.
Ce sumă trebuie returnată băncii în primul an (primele 12 luni) de împrumut?

Conform planului de afaceri, este planificată să investească 10 milioane de ruble în proiectul de patru ani. La sfârșitul fiecărui an, se preconizează creșterea fondurilor investite cu 15% față de începutul anului. Dobânda acumulată rămâne investită în proiect. În plus, imediat după acumularea dobânzii, sunt necesare investiții suplimentare: un număr întreg n milioane de ruble în primul și al doilea an, precum și un număr întreg m milioane de ruble în al treilea și al patrulea an.

Aflați cele mai mici valori ale lui n și m pentru care investiția inițială se va dubla cel puțin în doi ani și cel puțin tripla în patru ani

În două regiuni sunt 100 de muncitori fiecare, fiecare dintre ei dispus să lucreze 10 ore pe zi la minerit de aluminiu sau nichel. În prima zonă, un muncitor extrage 0,3 kg de aluminiu sau 0,1 kg de nichel pe oră. În a doua regiune, pentru a extrage x kg de aluminiu pe zi necesită x^2 ore-om de muncă, iar pentru a extrage q kg de nichel pe zi necesită y^2 ore-om de muncă.

Ambele regiuni furnizează metalul extras fabricii, unde se produce un aliaj de aluminiu și nichel pentru nevoi industriale, în care 2 kg de aluminiu reprezintă 1 kg de nichel. În același timp, regiunile convin între ele să exploateze metale astfel încât fabrica să poată produce cea mai mare cantitate de aliaj. Câte kilograme de aliaj poate produce zilnic planta în astfel de condiții?

Pentru câți ani intenționați să contractați un împrumut dacă știți că suma totală a plăților după rambursarea integrală a acestuia va fi de 18 milioane de ruble?

Fermierul are două câmpuri, fiecare cu o suprafață de 10 hectare. Pe fiecare câmp se pot cultiva cartofi și sfeclă, câmpurile pot fi împărțite între aceste culturi în orice proporție. Randamentul cartofului în primul câmp este de 500 c/ha, iar în al doilea câmp - 300 c/ha. Randamentul de sfeclă în primul câmp este de 300 c/ha, iar în al doilea - 500 c/ha.
Un fermier poate vinde cartofi cu 2.000 de ruble. pe o sută de greutate și sfeclă - la un preț de 3.000 de ruble. la sută. Care este cel mai mare venit pe care îl poate câștiga un fermier?

Pe 10 iunie am luat un credit de la bancă pe 15 luni. Mai mult, în a 3-a zi a fiecărei luni datoria crește cu un% față de sfârșitul lunii precedente, din 4 până în 9 a fiecărei luni o parte din datorie trebuie plătită, iar pe 10 datoria să fie plătită. aceeași sumă minus datoriile din data de 10 a lunii precedente.

La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu 1% față de sfârșitul lunii precedente;

Din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;

În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente. Se știe că în primele 12 luni trebuie să plătiți băncii 177,75 mii de ruble. Cât plănuiți să împrumutați?

Un antreprenor a cumpărat o clădire și plănuiește să deschidă un hotel în ea. Hotelul poate avea camere standard cu o suprafață de 21 de metri pătrați și apartamente cu o suprafață de 49 de metri pătrați metri patrati. suprafata totala, care poate fi alocata pentru camere este de 1099 mp. Antreprenorul poate împărți această zonă între diferite tipuri de camere după cum dorește. O cameră obișnuită aduce hotelului 2.000 de ruble pe zi, iar o cameră de lux aduce 4.500 de ruble pe zi. Care este cea mai mare sumă de bani pe care o poate câștiga un antreprenor din hotelul său?

- În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.

Se știe că în ultimele 12 luni trebuie să plătiți băncii 1597,5 mii de ruble. Cât plănuiți să împrumutați?

Pe 15 ianuarie este planificată contractarea unui împrumut bancar pe 14 luni. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- La data de 1 a fiecarei luni, datoria creste cu r% fata de sfarsitul lunii precedente;
- în perioada 2 - 14 a fiecărei luni este necesară achitarea unei părți din datorie;
- În ziua de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.
Se știe că suma totală a plăților după rambursarea integrală a împrumutului este de 15% mai mult decât suma, luat pe credit. Găsiți r.

La începutul anului 2001, Alexey a cumpărat o garanție pentru 7.000 de ruble. La sfârșitul fiecărui an, prețul hârtiei crește cu 2.000 de ruble. La începutul oricărui an, Alexey poate vinde hârtia și depune încasările într-un cont bancar. În fiecare an, suma din cont va crește cu 10%. La începutul în ce an Alexey ar trebui să vândă titlul, astfel încât la cincisprezece ani de la cumpărarea acestui titlu, suma din contul bancar să fie cea mai mare?

Gregory este proprietarul a două fabrici în orașe diferite. Fabricile produc exact aceleași mărfuri, dar fabrica situată în al doilea oraș folosește echipamente mai avansate.

Ca urmare, dacă muncitorii de la o fabrică situată în primul oraș lucrează în total t^2 ore pe săptămână, atunci în această săptămână produc 3t unități de marfă; dacă muncitorii de la o fabrică situată în al doilea oraș lucrează în total t^2 ore pe săptămână, atunci în această săptămână produc 4t unități de marfă.
- in fiecare ianuarie datoria creste cu 10% fata de sfarsitul anului precedent;
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară rambursarea unei părți a datoriei;
- în luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria pentru luna iulie a anului precedent.
Câte milioane de ruble a fost suma totală a plăților după rambursarea împrumutului?

În iulie, este planificată să se contracteze un împrumut bancar în valoare de 6 milioane de ruble pentru o anumită perioadă. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- in fiecare ianuarie datoria creste cu 20% fata de sfarsitul anului precedent;
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară rambursarea unei părți a datoriei;
- în luna iulie a fiecărui an, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria pentru luna iulie a anului precedent.
Pentru ce perioadă minimă ar trebui să contractați un împrumut, astfel încât cea mai mare plată anuală a împrumutului să nu depășească 1,8 milioane de ruble?

În iulie este planificat să se contracteze un împrumut în valoare de 4.026.000 de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- in fiecare ianuarie datoria creste cu 20% fata de sfarsitul anului trecut.
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesar să se achite o parte din datorie.
Câte ruble mai trebuie să plătiți dacă împrumutul este rambursat integral în patru plăți egale (adică în 4 ani) în comparație cu cazul în care împrumutul este rambursat integral în două plăți egale (adică în 2 ani)?

În iulie, este planificat să se contracteze un împrumut bancar în valoare de 100.000 de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
- in fiecare ianuarie datoria creste cu un% fata de sfarsitul anului precedent;
- din februarie până în iunie a fiecărui an este necesară achitarea unei părți din datorie.
Găsiți numărul a dacă se știe că împrumutul a fost rambursat integral în doi ani, iar în primul an au fost transferate 55.000 de ruble, iar în al doilea 69.000 de ruble.

Suma de 3.900 de mii de ruble a fost plasată în bancă la 50% pe an. La sfârșitul fiecăruia dintre primii patru ani de stocare, după calcularea dobânzii, deponentul a depus suplimentar aceeași sumă în cont. cantitate fixă. Până la sfârșitul celui de-al cincilea an, după acumularea dobânzii, s-a dovedit că mărimea depozitului a crescut cu 725% față de original. Ce sumă a adăugat investitorul la depozit anual?

Antreprenorul a luat un împrumut de la bancă în valoare de 9.930.000 de ruble la 10% pe an. Schema de rambursare a creditului: o dată pe an clientul trebuie să plătească băncii aceeași sumă, care constă din două părți. Prima parte reprezintă 10% din valoarea datoriei rămase, iar a doua parte are ca scop achitarea sumei datoriei rămase. În fiecare an următor, se percepe dobândă numai pentru suma rămasă a datoriei. Ce ar trebui să fie suma anuala plăți (în ruble), astfel încât întreprinzătorul să ramburseze integral împrumutul în trei plăți egale?

În acest articol vom lua în considerare rezolvarea problemelor de la Sarcina 17, în care este necesară distribuirea optimă a producției pentru a obține un profit maxim.

Sarcina 1. Fabrica de conserve produce compoturi de fructe în două tipuri de recipiente - sticlă și tablă. Capacitatea de producție a fabricii permite producerea a 90 de chintale de compoturi în recipiente de sticlă sau 80 de chintale în recipiente de tablă pe zi. Pentru a îndeplini cerințele de sortiment stabilite de lanțurile de retail, în fiecare tip de container trebuie să fie produse cel puțin 20 de chintale de produse. Tabelul arată costul și prețul de vânzare al plantei pe 1 chintală de produse pentru ambele tipuri de containere.

Presupunând că toate produsele fabricii sunt la cerere (vândute fără rezervă), găsiți profitul maxim posibil al fabricii într-o zi (profitul este diferența dintre prețul de vânzare al tuturor produselor și costul acestuia).

Valoarea profitului depinde de modul în care va fi distribuită capacitatea de producție a fabricii, adică ce parte din capacitate va fi direcționată către producția de compoturi în recipiente de sticlă și ce parte - în tablă. Vom lua ca necunoscută valoarea de care depinde profitul.

Fie ca valoarea să fie partea din capacitatea fabricii care vizează producerea de compoturi în recipiente de sticlă. Apoi, capacitatea rămasă, adică este destinată producerii de compoturi în recipiente de tablă.

În acest caz, planta va produce chintale de compot în recipiente de sticlă și chintale în recipiente de tablă.

Profitul dintr-o sută de produs este egal cu diferența dintre prețul de vânzare și cost. Prin urmare

1 chintal de compoturi in recipiente de sticla aduce profit RUR

1 chintal de compoturi în recipiente de tablă aduce un profit de ruble

Ca urmare, profitul primit, în funcție de

Să simplificăm expresia funcției

Coeficientul la este mai mare decât zero, prin urmare, aceasta este o funcție crescătoare și, cu cât valoarea este mai mare, cu atât profitul este mai mare. Dar, în funcție de condițiile problemei, este imposibil să se dedice toată capacitatea producției de compoturi în recipiente de sticlă: Pentru a îndeplini condițiile de sortiment impuse de lanțurile de retail, în fiecare tip de container trebuie să fie produse cel puțin 20 de chintale de produse.

Să aflăm ce parte din capacitate trebuie să fie dedicată producției de compoturi în recipiente de tablă:

Este necesar să se aloce o parte din capacitatea totală a fabricii pentru producția de compoturi în recipiente de tablă, prin urmare, maximul tuturor capacităților poate fi alocat producției de compoturi în recipiente de sticlă.

Răspuns: .

Sarcina 2. Fermierul are două câmpuri, fiecare cu o suprafață de 10 hectare. Pe fiecare câmp se pot cultiva cartofi și sfeclă, câmpurile pot fi împărțite între aceste culturi în orice proporție. Randamentul cartofului în primul câmp este de 500 c/ha, iar în al doilea câmp - 300 c/ha. Randamentul de sfeclă în primul câmp este de 300 c/ha, iar în al doilea câmp – 500 c/ha.

Un fermier poate vinde cartofi cu 5.000 de ruble. la sută, și sfeclă - la un preț de 8.000 de ruble. la sută. Care este cel mai mare venit pe care îl poate primi un fermier?

(din colecția Sarcini tipice de testare la matematică, editată de I. V. Yashchenko. 2016)

Venitul fermierului depinde de modul în care este distribuită suprafața fiecărui câmp între plantarea de cartofi și sfeclă.

Lăsați fermierul să aloce un hectar în primul câmp pentru cartofi. Apoi a mai rămas un hectar pentru sfeclă.

Randamentul de cartofi în primul câmp este de 500 c/ha, iar randamentul de sfeclă este de 300 c/ha.

În acest caz, profitul din primul câmp va fi - avem o funcție crescătoare care ia cea mai mare valoare la maximum posibil. Întrucât fermierul nu se confruntă cu restricții privind distribuția suprafețelor de plantare între cartofi și sfeclă, este profitabil pentru el să dea întregul prim câmp cartofilor, atunci va obține un profit:

Freca.

Să facem același lucru cu al doilea câmp.

Lăsați fermierul să aloce un hectar în al doilea câmp pentru cartofi. Apoi a mai rămas un hectar pentru sfeclă.

Randamentul de cartofi în al doilea câmp este de 300 c/ha, iar randamentul de sfeclă este de 500 c/ha.

Dacă vă gândiți bine, nici măcar nu trebuie să creați o funcție aici, deoarece randamentul sfeclei din al doilea câmp este mai mare decât cel al cartofilor, iar costul unei sute de sfeclă este, de asemenea, mai mare. Prin urmare, este evident că este mai profitabil pentru fermier să cultive doar sfeclă în al doilea câmp. În acest caz, profitul din al doilea domeniu va fi

Freca.

Profitul total al fermierului este Rs.

Răspuns:

Examen de stat unificat la nivel de profil matematică

Lucrarea constă din 19 sarcini.
Partea 1:
8 sarcini cu răspuns scurt de nivel de dificultate de bază.
Partea 2:
4 întrebări cu răspuns scurt
7 sarcini cu răspunsuri detaliate nivel inalt dificultăți.

Timp de rulare - 3 ore 55 minute.

Exemple de sarcini de examinare de stat unificată

Rezolvarea sarcinilor de examen de stat unificat la matematică.

Pentru a o rezolva singur:

1 kilowatt-oră de energie electrică costă 1 rublă 80 de copeici.
Contorul de energie electrică a indicat 12.625 kilowați-oră la 1 noiembrie și 12.802 kilowați-oră la 1 decembrie.
Cât ar trebui să plătesc pentru electricitate pentru noiembrie?
Dați răspunsul în ruble.

Problema cu solutia:

Într-o piramidă triunghiulară regulată ABCS cu baza ABC, se cunosc următoarele muchii: AB = 5 rădăcini a lui 3, SC = 13.
Aflați unghiul format de planul de bază și linia dreaptă care trece prin mijlocul muchiilor AS și BC.

Soluţie:

1. Deoarece SABC este o piramidă regulată, ABC este un triunghi echilateral, iar fețele rămase sunt triunghiuri isoscele egale.
Adică, toate laturile bazei sunt egale cu 5 sqrt (3), iar toate marginile laterale sunt egale cu 13.

2. Fie D mijlocul lui BC, E mijlocul lui AS, SH înălțimea coborâtă din punctul S la baza piramidei, EP înălțimea coborâtă din punctul E până la baza piramidei.

3. Găsiți AD din triunghiul dreptunghic CAD folosind teorema lui Pitagora. Se dovedește că 15/2 = 7,5.

4. Deoarece piramida este regulată, punctul H este punctul de intersecție al altitudinilor/medianelor/bisectoarelor triunghiului ABC și, prin urmare, împarte AD în raportul 2:1 (AH = 2 AD).

5. Aflați SH din triunghiul dreptunghic ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, conform teoremei lui Pitagora SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Triunghiurile AEP și ASH sunt ambele unghiuri drepte și au un unghi comun A, deci similar. După condiție, AE = AS/2, ceea ce înseamnă AP = AH/2 și EP = SH/2.

7. Rămâne să luăm în considerare triunghiul dreptunghic EDP (pe noi ne interesează doar unghiul EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Tangenta unghiului EDP = EP/DP = 6/5,
Unghi EDP = arctan(6/5)

Răspuns:

Examen de stat unificat 2019 la matematică sarcina 17 cu soluție

Versiunea demonstrativă a examenului de stat unificat 2019 la matematică

Examen de stat unificat la matematică 2019 în format pdf Nivel de bază | Nivel de profil

Teme de pregătire pentru examenul unificat de stat la matematică: nivel de bază și de specialitate cu răspunsuri și soluții.

Matematică financiară

Pentru finalizarea corectă a sarcinii, fără erori, veți primi 3 puncte.

Durează aproximativ 35 de minute.

Pentru a rezolva sarcina 17 din matematică la nivel de profil, trebuie să știți:

1. Sarcina este împărțită în mai multe tipuri:
   • sarcini legate de bănci, depozite și împrumuturi;
   • probleme de alegere optimă.
2. Formula de calcul a plății lunare: S credit = S/12 t
3. Formula de calcul a dobânzii simple: S=α (1 + tp/m)
4. Formula de calcul interes compus: C = x (1 + a%)n

Procent - este o sutime din orice valoare.

• x*(1 + p/100) - valoare X crescut de p%
• x*(1 - k/100) - valoare X a scăzut cu k%
• x*(1 + p/100) k - valoare X crescut de p% k o singura data
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – valoare X mai întâi crescut cu p%, iar apoi a scăzut cu k%

Sarcini pentru rambursarea împrumutului în plăți egale:

Suma împrumutului este considerată ca X. Interes bancar - A. Rambursare a creditului - S.

La un an de la dobânda se acumulează și suma este plătită S valoarea datoriei - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Valoarea datoriei după 2 ani: (xp – S)p – S
• Valoarea datoriei după 3 ani: ((xp – S)p – S)p – S
• Suma datoriei prin n ani: xp n – S(p n-1 + … + p 3 + p 2 + p + 1)

Sarcini pentru antrenament

Pe 15 ianuarie, este planificat să contractați un împrumut bancar pentru șase luni în valoare de 1 milion de ruble. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

• La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu r la sută față de sfârșitul lunii precedente, unde r- întreg;
• din 2 până în 14 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
• În data de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie o anumită sumă conform următorului tabel.

Găsiți cea mai mare valoare r, în care suma totală a plăților va fi mai mică de 1,2 milioane de ruble.


Soluţie

1. 9 luni. Conditiile de returnare sunt urmatoarele:

   • La 1 a fiecărei luni datoria crește cu r la sută față de sfârșitul lunii precedente și r− întreg;
   • din 2 până în 19 a fiecărei luni este necesară rambursarea unei părți din datorie;
   • În a 20-a zi a fiecărei luni, datoria trebuie să fie o anumită sumă prezentată în următorul tabel:

   Găsiți cea mai mare valoare a lui r la care suma totală a plăților nu depășește 2 milioane de ruble.

   
   Soluţie

2. Alice va lua un împrumut bancar pentru 10 luni. Angajații băncii i-au furnizat următoarele informații despre împrumut:

   • La sfârșitul lunii, suma rămasă a creditului crește cu aceeași sumă lunară dobândăși se reduce cu suma plătită de Alice.
   • Sumele plății împrumutului la sfârșitul fiecărei luni sunt aceleași și sunt selectate astfel încât suma împrumutului să scadă uniform în fiecare lună.
   • Suma totală de bani plătită de Alice va depăși suma împrumutului cu 60%.

   Găsiți rata lunară a dobânzii la împrumut.

   
   Soluţie

3. În 2014 standard salariu pe persoană pe lună în Teritoriul Primorsky a fost de 23.040 de ruble. În fiecare an, creșterea procentuală a venitului a fost de 50. Și în teritoriul Khabarovsk, salariul standard pe persoană pe lună în 2014 a fost de 45.000 de ruble. În fiecare an, procentul din venitul total al locuitorilor teritoriului Khabarovsk a crescut cu 44 timp de trei ani, în fiecare an procentul populației a crescut cu q. Salariu lunar standard în Primorsky Krai și regiunea Khabarovsk egalat în 2017. Găsiți q.