Šiandien šiek tiek pailsėsime nuo standartinių logaritmų, integralų, trigonometrijos ir t.t., o kartu pažvelgsime į svarbesnę matematikos valstybinio egzamino problemą, kuri yra tiesiogiai susijusi su mūsų atsilikusiu Rusijos žaliavų ūkiu. Tiksliau tariant, mes apsvarstysime problemą dėl indėlių, palūkanų ir paskolų. Mat antroje matematikos unifikuoto valstybinio egzamino dalyje neseniai buvo papildyti uždaviniai su procentais. Iš karto padarysiu išlygą, kad šiai problemai spręsti pagal Vieningo valstybinio egzamino specifikacijas siūlomi iš karto trys pagrindiniai taškai, t.y., egzaminuotojai šią užduotį laiko viena sunkiausių.

Tuo pačiu metu, norėdami išspręsti bet kurią iš nurodytų uždavinių iš vieningo valstybinio matematikos egzamino, turite žinoti tik dvi formules, kurių kiekviena yra gana prieinama bet kuriam mokyklos absolventui, tačiau dėl man nežinomų priežasčių šios formulės yra visiškai ignoruojamas tiek mokyklos mokytojų, tiek visokių problemų rengimosi vieningam valstybiniam egzaminui rengėjų. Todėl šiandien aš jums ne tik papasakosiu, kas yra šios formulės ir kaip jas taikyti, bet pateiksiu kiekvieną iš šių formulių tiesiogine prasme prieš jūsų akis, remdamasis užduotimis iš atviras bankas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas.

Todėl pamoka pasirodė gana didelė, gana informatyvi, todėl įsitaisykite patogiai ir mes pradėsime.

Mes investuojame pinigus į banką

Visų pirma, norėčiau padaryti nedidelį nukrypimą, susijusį su finansais, bankais, paskolomis ir indėliais, kurių pagrindu gausime formules, kuriomis spręsime šią problemą. Taigi, šiek tiek pailsėkime nuo egzaminų, nuo artėjančių mokyklos problemų ir pažvelkime į ateitį.

Tarkime, jūs užaugote ir ketinate pirkti butą. Tarkime, jūs ketinate pirkti ne kokį blogą butą pakraštyje, o geros kokybės butą už 20 milijonų rublių. Tuo pačiu darykime prielaidą, kad gavote daugmaž normalų darbą ir uždirbate 300 tūkstančių rublių per mėnesį. Tokiu atveju galite sutaupyti maždaug tris milijonus rublių per metus. Žinoma, per mėnesį uždirbdamas 300 tūkstančių rublių, per metus gausi kiek didesnę sumą – 3 600 000 – bet tegul šie 600 000 būna skirti maistui, drabužiams ir kitiems kasdieniams buities džiaugsmams. Bendri įvesties duomenys yra tokie: jums reikia uždirbti dvidešimt milijonų rublių, bet mes turime tik tris milijonus rublių per metus. Kyla natūralus klausimas: kiek metų reikia taupyti po tris milijonus, kad gautume tuos pačius dvidešimt milijonų? Tai laikoma elementaria:

\[\frac(20)(3)=6,....\iki 7\]

Tačiau, kaip jau pažymėjome, jūs uždirbate 300 tūkstančių rublių per mėnesį, tai reiškia, kad jūs protingi žmonės ir pinigų nepadėsi „po pagalve“, o nuneši į banką. Ir todėl kasmet bus kaupiamos palūkanos už tuos indėlius, kuriuos atnešite į banką. Tarkime, renkatės patikimą, bet tuo pačiu daugiau ar mažiau pelningą banką, todėl jūsų indėliai kasmet augs 15% per metus. Kitaip tariant, galime teigti, kad suma jūsų sąskaitose kasmet padidės 1,15 karto. Leiskite man priminti jums formulę:

Paskaičiuokime, kiek pinigų bus jūsų sąskaitose po kiekvienų metų:

Pirmaisiais metais, kai tik pradėsite taupyti, palūkanos nesikaups, t.y. metų pabaigoje sutaupysite tris milijonus rublių:

Antrųjų metų pabaigoje palūkanos jau bus skaičiuojamos už tris milijonus rublių, likusius nuo pirmųjų metų, t.y. turime padauginti iš 1,15. Tačiau antraisiais metais pranešėte dar apie tris milijonus rublių. Žinoma, palūkanos už šiuos tris milijonus dar nesusikaupė, nes antrųjų metų pabaigoje sąskaitoje tik atsirado šie trys milijonai:

Taigi, treti metai. Trečiųjų metų pabaigoje nuo šios sumos bus skaičiuojamos palūkanos, t. y. visa ši suma turi būti padauginta iš 1,15. Ir vėl visus metus sunkiai dirbote ir sutaupėte tris milijonus rublių:

\[\kairė(3m\ctaškas 1,15+3m \dešinė)\ctaškas 1,15+3m\]

Paskaičiuokime dar ketvirtus metus. Vėlgi, visa suma, kurią turėjome trečių metų pabaigoje, dauginama iš 1,15, t.y. Už visą sumą bus skaičiuojamos palūkanos. Tai apima palūkanas už palūkanas. Ir prie šios sumos pridedami dar trys milijonai, nes per ketvirtus metus taip pat dirbote ir taip pat taupėte:

\[\left(\left(3m\ctaškas 1,15+3m \dešinė)\ctaškas 1,15+3m \dešinė)\ctaškas 1,15+3m\]

Dabar atverkime skliaustus ir pažiūrėkime, kokią sumą turėsime iki ketvirtųjų pinigų taupymo metų pabaigos:

' ,15)^(2))+3m\ctaškas 1,15+3m \dešinėn)\ctaškas 1,15+3m= \\& =3m\ctaškas ((1,15)^(3 ))+3m\ctaškas ((1.15)^(2))+3m\cdot 1.15+3m= \\& =3m\left(((1.15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1.15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1.15+((1.15)^(2))+((1.15) ^(3)) \right) \\\end(lygiuoti)\]

Kaip matote, skliausteliuose turime geometrinės progresijos elementus, t.y. turime geometrinės progresijos elementų sumą.

Priminsiu, kad jei geometrinė progresija pateikiama elementu $((b)_(1))$, taip pat vardikliu $q$, tada elementų suma bus apskaičiuojama pagal šią formulę:

Ši formulė turi būti žinoma ir aiškiai taikoma.

Atkreipkite dėmesį: formulė n- elementas skamba taip:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Dėl šio laipsnio daugelis studentų susipainioja. Iš viso mes turime tik n už sumą n- elementai, ir jis pats n Elementas turi $n-1$ laipsnį. Kitaip tariant, jei dabar bandysime apskaičiuoti geometrinės progresijos sumą, turime atsižvelgti į šiuos dalykus:

\[\begin(lygiuoti)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(lygiuoti)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1.15)^(4))-1)(1.15-1)\]

Apskaičiuokime skaitiklį atskirai:

\[((1.15)^(4))=((\left(((1.15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1.3225 \right ))^(2) )=1,74900625\apie 1,75\]

Iš viso, grįžę prie geometrinės progresijos sumos, gauname:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

Dėl to gauname, kad po ketverių metų taupymo mūsų pradinė suma padidės ne keturis kartus, lyg būtume ne pinigus įdėję į banką, o penkis kartus, t.y., penkiolika milijonų. Užrašykime tai atskirai:

4 metai → 5 kartus

Žvelgdamas į ateitį, pasakysiu, kad jei taupytume ne ketverius, o penkerius metus, tai galiausiai mūsų santaupų suma padidėtų 6,7 karto:

5 metai → 6,7 karto

Kitaip tariant, iki penktų metų pabaigos sąskaitoje turėtume tokią sumą:

Tai yra, penktųjų taupymo metų pabaigoje, atsižvelgiant į palūkanas už indėlį, jau būtume gavę per dvidešimt milijonų rublių. Taigi, visa taupomoji sąskaita dėl banko palūkanos sumažėtų nuo beveik septynerių iki penkerių metų, t.y., beveik dvejais metais.

Taigi, nors bankas kredituoja pakankamai mažas procentas mūsų indėlių (15%), jau po penkerių metų tie patys 15% padidina mūsų metines pajamas. Tuo pačiu metu pagrindinis multiplikatorius atsirado pastaraisiais metais ir netgi, veikiau Praeitais metais santaupų.

Kodėl visa tai parašiau? Žinoma, tai nėra skatinama nunešti pinigus į banką. Nes jei tikrai nori padidinti savo santaupas, tai jas reikia investuoti ne į banką, o į realų verslą, kur tos pačios palūkanos, t.y pelningumas sąlygomis. Rusijos ekonomika retai nukrenta žemiau 30%, t. y. dvigubai daugiau nei banko indėliai.

Tačiau visose šiose diskusijose tikrai naudinga formulė, leidžianti per metinių įmokų sumą, taip pat per banko skaičiuojamas palūkanas rasti bendrą indėlio sumą. Taigi užsirašykime:

\[\tekstas(Vklad)=\tekstas(platezh)\frac(((\tekstas(%))^(n))-1)(\tekstas(%)-1)\]

Pats procentas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Taip pat reikia žinoti šią formulę, kaip ir pagrindinę indėlio sumos formulę. Ir, savo ruožtu, pagrindinė formulė gali žymiai sumažinti skaičiavimus tose problemose su procentais, kai reikia apskaičiuoti įnašą.

Kodėl verta naudoti formules, o ne lenteles?

Tikriausiai daugeliui kils klausimas: kam tas sudėtingumas? Ar negalima kiekvienų metų tiesiog surašyti ant lentelės, kaip tai daroma daugelyje vadovėlių, suskaičiuoti kiekvienus metus atskirai, o tada suskaičiuoti bendrą įnašo sumą? Žinoma, galite visiškai pamiršti geometrinės progresijos sumą ir viską apskaičiuoti naudodami klasikinius planšetinius kompiuterius - tai daroma daugumoje kolekcijų, skirtų pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui. Tačiau, pirma, labai padidėja skaičiavimų apimtis, antra, dėl to padidėja klaidos tikimybė.

Ir apskritai, vietoj šios nuostabios formulės naudoti stalus yra tas pats, kas statybvietėje kasti tranšėjas rankomis, o ne naudoti šalia stovintį ir pilnai veikiantį ekskavatorių.

Na, arba tas pats, kas penkis padauginti iš dešimties nenaudojant daugybos lentelės, o dešimt kartų iš eilės pridedant penkis. Tačiau aš jau nukrypau, todėl dar kartą pakartosiu svarbiausią mintį: jei yra koks nors būdas supaprastinti ir sutrumpinti skaičiavimus, tuomet reikėtų naudoti tokį metodą.

Palūkanos už paskolas

Mes nagrinėjome indėlius, todėl pereiname prie kitos temos, būtent, paskolų palūkanų.

Taigi, kol taupote pinigus, kruopščiai planuodami biudžetą, galvodami apie būsimą butą, kurso draugą, o dabar – paprastą bedarbį, nusprendėte gyventi šiai dienai ir tiesiog paėmėte paskolą. Tuo pačiu metu jis vis tiek erzins ir juoksis iš jūsų sakydamas, kad taip kredito telefonas ir naudotas automobilis, paimtas kreditu, o tu vis tiek važiuoji metro ir naudojiesi senu mygtuku telefonu. Žinoma, jūsų buvęs klasiokas turės brangiai sumokėti už visus šiuos pigius „pasirodymus“. Kiek tai brangu - tai mes dabar paskaičiuosime.

Pirma, trumpa įžanginė informacija. Tarkime, jūsų buvęs klasiokas paėmė du milijonus rublių už paskolą. Be to, pagal susitarimą jis turi mokėti x rublius per mėnesį. Tarkime, jis paėmė paskolą su 20% metine palūkanų norma, kuri dabartinėmis sąlygomis atrodo visai neblogai. Be to, tarkime, kad paskolos terminas yra tik trys mėnesiai. Pabandykime visus šiuos dydžius sujungti į vieną formulę.

Taigi pačioje pradžioje, kai tik jūsų buvęs klasiokas išėjo iš banko, jo kišenėje yra du milijonai, ir tai yra jo skola. Be to, nepraėjo metai ir ne mėnuo, bet tai tik pati pradžia:

Tada po vieno mėnesio nuo skolos sumos bus skaičiuojamos palūkanos. Kaip jau žinome, norint apskaičiuoti palūkanas, pakanka padauginti pradinę skolą iš koeficiento, kuris apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Mūsų atveju mes kalbame apie apie 20% metinį tarifą, t.y. galime rašyti:

Tai sumos, kuri bus kaupiama per metus, koeficientas. Tačiau mūsų kurso draugas nėra labai protingas ir jis neskaitė sutarties, o iš tikrųjų jam buvo suteikta paskola ne po 20% per metus, o po 20% per mėnesį. O iki pirmo mėnesio pabaigos nuo šios sumos bus skaičiuojamos palūkanos, kurios padidės 1,2 karto. Iš karto po to asmuo turės sumokėti sutartą sumą, t. y. x rublius per mėnesį:

\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

Ir vėl mūsų vaikinas sumoka $x$ rublių.

Tada iki trečio mėnesio pabaigos jo skolos suma vėl padidėja 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2-x\]

O pagal sąlygą jis turi visiškai atsiskaityti per tris mėnesius, t.y., atlikus paskutinį trečdalį, jo skolos suma turi būti lygi nuliui. Galime parašyti tokią lygtį:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2 - x=0\]

Nuspręskime:

1 \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\ctaškas ((1,2)^(2))+\ctaškas 1,2+ \\& 2m\ctaškas ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end (lygiuoti)\]

Prieš mus vėl yra geometrinė progresija, tiksliau, trijų geometrinės progresijos elementų suma. Perrašykime jį elementų didėjimo tvarka:

Dabar turime rasti trijų geometrinės progresijos elementų sumą. Užsirašykime:

\[\begin(lygiuoti)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(lygiuoti)\]

Dabar suraskime geometrinės progresijos sumą:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Reikėtų prisiminti, kad geometrinės progresijos su tokiais parametrais suma $\left(((b)_(1));q \right)$ apskaičiuojama pagal formulę:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Tai yra formulė, kurią ką tik naudojome. Šią formulę pakeičiame savo išraiškoje:

Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, turime išsiaiškinti, kam yra $((1,2)^(3))$. Deja, šiuo atveju nebegalime jo parašyti kaip paskutinį kartą dvigubo kvadrato pavidalu, bet galime apskaičiuoti taip:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1.44\cdot 1.2 \\& ((1,2)^(3))=1.728 \\\end(lygiuoti)\]

Perrašykime savo išraišką:

Tai klasikinė linijinė išraiška. Grįžkime prie šios formulės:

Tiesą sakant, jei tai apibendrintume, gautume formulę, jungiančią palūkanas, paskolas, mokėjimus ir terminus. Formulė yra tokia:

Štai, svarbiausia šios dienos vaizdo pamokos formulė, kurios pagalba apskaičiuojama ne mažiau kaip 80% visų antroje dalyje pateikto vieningo valstybinio matematikos egzamino ekonominių uždavinių.

Dažniausiai realiose užduotyse jūsų bus paprašyta sumokėti arba, kiek rečiau, paskolą, t. y. visos skolos, kurią mūsų klasės draugas turėjo pačioje mokėjimų pradžioje. Esant sudėtingesnėms problemoms, jūsų bus paprašyta rasti procentą, tačiau labai sudėtingoms, kurias išanalizuosime atskiroje vaizdo pamokoje, jūsų bus paprašyta rasti laikotarpį, per kurį, atsižvelgiant į paskolos ir mokėjimo parametrus, mūsų bedarbis bendraklasis galės pilnai atsiskaityti iš banko.

Galbūt dabar kas nors pagalvos, kad esu aršus paskolų, finansų ir apskritai priešininkas bankų sistema. Taigi, nieko panašaus! Priešingai, aš tuo tikiu kredito priemones yra labai naudingi ir nepaprastai reikalingi mūsų ekonomikai, tačiau tik su sąlyga, kad paskola bus paimta verslo plėtrai. Kraštutiniu atveju galite imti paskolą būstui įsigyti, t. y. hipotekai, arba nelaimės atveju. medicininis gydymas- štai, kitų priežasčių imti paskolą tiesiog nėra. Ir visokie bedarbiai, kurie ima paskolas „pasipuikavimui“ pirkti ir tuo pačiu visai negalvoja apie pasekmes galiausiai ir tampa mūsų ekonomikos krizių ir problemų priežastimi.

Grįžtant prie šios dienos pamokos temos, noriu pastebėti, kad žinoti šią paskolas, mokėjimus ir palūkanas jungiančią formulę reikia tiek pat, kiek geometrinės progresijos suma. Būtent šių formulių pagalba sprendžiamos realios ekonominės problemos iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino. Na, o dabar, kai visa tai puikiai žinote, supratę, kas yra paskola ir kodėl neturėtumėte jos imti, pereikime prie realių ekonominių problemų sprendimo iš vieningo valstybinio matematikos egzamino.

Realių uždavinių sprendimas iš vieningo valstybinio matematikos egzamino

1 pavyzdys

Taigi, pirmoji užduotis:

2014 m. gruodžio 31 d. Aleksejus iš banko paėmė 9 282 000 rublių kreditą su 10% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (t.y. padidina skolą 10%), tada Aleksejus perveda bankui X rublius. Kokia turėtų būti X suma, kad Aleksejus sumokėtų skolą keturiais vienodais mokėjimais (t. y. per ketverius metus)?

Taigi, tai yra kredito problema, todėl iš karto užrašome savo formulę:

Paskola mums žinoma - 9 282 000 rublių.

Dabar nagrinėsime procentus. Mes kalbame apie 10 proc. Todėl galime juos išversti:

Galime sudaryti lygtį:

Gavome įprastą tiesinę lygtį $x$, nors ir su gana dideliais koeficientais. Pabandykime tai išspręsti. Pirmiausia suraskime išraišką $((1,1)^(4))$:

$\begin(lygiuoti)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(lygiuoti)$

Dabar perrašykime lygtį:

\/ \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)( 1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641 \cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Štai ir viskas, mūsų interesų problema išspręsta.

Žinoma, tai buvo tik paprasčiausias uždavinys su procentais iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino. Greičiausiai tokia užduotis realiame egzamine nepasirodys. Ir jei taip, laikyk, kad tau labai pasisekė. Na, o tiems, kurie mėgsta skaičiuoti ir nemėgsta rizikuoti, pereikime prie kitų sudėtingesnių užduočių.

2 pavyzdys

2014 m. gruodžio 31 d. Stepanas iš banko paėmė 4 004 000 rublių kreditą su 20% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas nuo likusios skolos sumos (t.y. padidina skolą 20%), tada Stepanas atlieka mokėjimą bankui. Stepanas visą skolą sumokėjo 3 vienodais mokėjimais. Kiek rublių jis duotų mažiau bankui, jei galėtų sumokėti skolą 2 lygiomis išmokomis?

Turime problemų dėl paskolų, todėl užrašome savo formulę:

\[\]\

Ką mes žinome? Pirma, mes žinome bendrą kredito sumą. Žinome ir procentus. Raskime koeficientą:

Kalbant apie $n$, turite atidžiai perskaityti problemos teiginį. Tai yra, pirmiausia reikia paskaičiuoti, kiek jis sumokėjo už trejus metus, t.y. $n=3$, o tada dar kartą atlikti tuos pačius veiksmus, bet skaičiuoti mokėjimus už dvejus metus. Parašykime lygtį tuo atveju, kai įmoka mokama per trejus metus:

Išspręskime šią lygtį. Bet pirmiausia suraskime išraišką $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1.44\cdot 1.2 \\& ((1,2)^(3))=1.728 \\\end(lygiuoti)\]

Perrašykime savo išraišką:

\/ 200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Iš viso mūsų mokėjimas bus 1 900 800 rublių. Tačiau atkreipkite dėmesį: problemą, kurią turėjome rasti mėnesinis mokestis, ir kiek iš viso Stepanas mokės už tris vienodas įmokas, t.y. už visą naudojimosi paskola laiką. Todėl gautą vertę reikia dar kartą padauginti iš trijų. Suskaičiuokime:

Iš viso Stepanas sumokės 5 702 400 rublių už tris vienodus mokėjimus. Tiek jam kainuos naudotis paskola trejiems metams.

Dabar panagrinėkime antrąją situaciją, kai Stepanas susiėmė, susitvarkė ir visą paskolą sumokėjo ne trimis, o dviem lygiomis įmokomis. Užrašome tą pačią formulę:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Bet tai dar ne viskas, nes dabar paskaičiavome tik vieną iš dviejų įmokų, tad iš viso Stepanas mokės lygiai dvigubai daugiau:

Puiku, dabar esame arčiau galutinio atsakymo. Tačiau atkreipkite dėmesį: galutinio atsakymo dar negavome, nes už trejus metus Stepanas mokės 5 702 400 rublių, o už dvejų metų mokėjimus – 5 241 600 rublių, t.y. šiek tiek mažiau. Kiek mažiau? Norėdami tai sužinoti, iš pirmosios mokėjimo sumos turite atimti antrą mokėjimo sumą:

Bendras galutinis atsakymas yra 460 800 rublių. Kiek tiksliai sutaupys Stepanas, jei mokės ne už trejus, o už dvejus.

Kaip matote, formulė, jungianti palūkanas, terminus ir mokėjimus, žymiai supaprastina skaičiavimus, palyginti su klasikinėmis lentelėmis, ir, deja, dėl nežinomų priežasčių daugumoje problemų rinkinių vis dar naudojamos lentelės.

Atskirai noriu atkreipti dėmesį į terminą, kuriam buvo paimta paskola, ir į mėnesinių įmokų dydį. Faktas yra tas, kad šis ryšys nėra tiesiogiai matomas iš mūsų užrašytų formulių, tačiau jo supratimas yra būtinas norint greitai ir efektyvus sprendimas tikros egzaminų problemos. Tiesą sakant, šis ryšys yra labai paprastas: kuo ilgesniam laikui imama paskola, tuo mažesnė suma bus mėnesinėse įmokose, tačiau tuo didesnė suma kaupsis per visą naudojimosi paskola laikotarpį. Ir atvirkščiai: kuo trumpesnis terminas, tuo didesnė mėnesinė įmoka, tačiau galutinė permoka mažesnė, o bendra paskolos kaina mažesnė.

Žinoma, visi šie teiginiai bus lygūs tik tuo atveju, jei paskolos suma ir palūkanų norma abiem atvejais bus vienodos. Apskritai, kol kas tiesiog atsiminkite šį faktą – jis bus naudojamas sprendžiant sudėtingiausias šios temos problemas, tačiau kol kas išanalizuosime paprastesnę problemą, kur tereikia rasti bendrą pradinės paskolos sumą.

3 pavyzdys

Taigi, dar viena užduotis už nuopelnus ir taip pat paskutinė užduotis šios dienos vaizdo pamokoje.

2014 m. gruodžio 31 d. Vasilijus iš banko paėmė tam tikrą sumą 13% metinių paskolų. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas nuo likusios skolos sumos (t.y. padidina skolą 13%), tada Vasilijus perveda bankui 5 107 600 rublių. Kokią sumą Vasilijus paėmė iš banko, jei sumokėjo skolą dviem lygiomis išmokomis (per dvejus metus)?

Taigi, visų pirma, ši problema vėlgi susijusi su paskolomis, todėl užrašome savo nuostabią formulę:

Pažiūrėkime, ką žinome iš problemos teiginio. Pirma, mokėjimas yra 5 107 600 rublių per metus. Antra, tai yra procentas, todėl galime rasti koeficientą:

Be to, pagal problemos sąlygas Vasilijus iš banko paėmė paskolą dvejiems metams, t.y. sumokėta dviem vienodais mokėjimais, todėl $n=2$. Viską pakeiskime ir taip pat atkreipkime dėmesį, kad paskola mums nežinoma, t.y. sumą, kurią jis paėmė, ir pažymėkime ją $x$. Mes gauname:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Perrašykime savo lygtį atsižvelgdami į šį faktą:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1.2769-1)(0.13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\ frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769)\ =4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(lygiuoti)\]

Štai viskas, tai yra galutinis atsakymas. Būtent tokią sumą Vasilijus kreditu paėmė pačioje pradžioje.

Dabar aišku, kodėl šioje problemoje mūsų prašoma paimti paskolą tik dvejiems metams, nes čia yra dviženkliai procentai, ty 13 proc., o paskaičiavus kvadratu gaunamas gana „žiaurus“ skaičius. Bet tai ne riba – kitoje atskiroje pamokoje nagrinėsime sudėtingesnes problemas, kur reikės rasti paskolos terminą, o palūkanų norma bus vienas, du ar trys procentai.

Apskritai išmokite spręsti indėlių ir paskolų problemas, pasiruoškite egzaminams ir išlaikykite juos „puikiai“. Ir jei kas nors neaišku šios dienos vaizdo pamokos medžiagoje, nedvejokite - rašykite, skambinkite ir aš pasistengsiu jums padėti.

Balandžio 15 dieną planuojama iš banko pasiimti 900 tūkstančių rublių paskolą 11 mėnesių.
Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola išauga p%, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;

- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 iki 10 mėnesio skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną;
- 10 mėnesio 15 dieną skola siekė 200 tūkstančių rublių;
- iki 11 mėnesio 15 dienos skola turi būti grąžinta visa.
Raskite p, jei bankui iš viso buvo sumokėta 1021 tūkst.

Balandžio 15 d. planuojama paimti iš banko paskolą už 700 tūkstančių rublių (n + 1) mėnesiui.
Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos vienu mokėjimu;
- kiekvienos dienos 15 dieną nuo 1 iki n-tas mėnuo skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną;
- n-to mėnesio 15 dieną skola siekė 300 tūkstančių rublių;
- iki (n + 1) mėnesio 15 dienos skola turi būti grąžinta visa.
Raskite n, jei bankui iš viso buvo sumokėta 755 tūkst.

Rugpjūčio 15 dieną planuojama iš banko pasiimti 1100 tūkstančių rublių paskolą 31 mėnesiui.
Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, palyginti su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 2 proc.;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos vienu mokėjimu;
- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 iki 30 mėnesio skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną;
- iki 31 mėnesio 15 dienos skola turi būti grąžinta visa.
Kiek tūkstančių rublių yra skola 30 mėnesio 15 dieną, jei bankui iš viso sumokėta 1503 tūkst.

Kovo 15 dieną planuojama paimti banko paskolą tam tikrai sumai 11 mėnesių.
Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola išauga 1% lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos vienu mokėjimu;
- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 dienos iki 10 dienos skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola;
- 10 mėnesio 15 dieną skola bus 300 tūkstančių rublių;

Kokią sumą planuojama pasiskolinti, jei bendra įmokų suma po visiško grąžinimo yra 1388 tūkst.

Gruodžio 15 d. planuojama paimti banko paskolą 11 mėn.
Jo grąžinimo sąlygos yra šios:


- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 iki 10 dienos skola turi būti 80 tūkstančių rublių mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną;
- iki 11 mėnesio 15 dienos paskola turi būti pilnai grąžinta.
Kokia skola bus 10 mėnesio 15 dieną, jei bendra įmokų suma po pilnas grąžinimas paskola bus 1198 tūkstančiai rublių?

Gruodžio 15 dieną planuojama paimti banko paskolą 300 tūkstančių rublių 21 mėnesiui. Grąžinimo sąlygos yra tokios:

- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 dienos iki 20 dienos skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola;
- 20 mėnesio 15 dieną skola bus 100 tūkstančių rublių;

Raskite bendrą mokėjimų sumą po to, kai bus visiškai grąžinta paskola.

Gruodžio 15 dieną planuojama paimti banko paskolą 1 000 000 rublių (n+1) mėnesiui. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
-kiekvieno mėnesio 1 dieną skola padidėja r%, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 iki n-oji skola turi būti 40 tūkstančių rublių mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną;
- n-ojo mėnesio 15 dieną skola bus 200 tūkstančių rublių;
- iki (n + 1) mėnesio 15 dienos paskola turi būti visiškai grąžinta.
Raskite r, jei žinoma, kad bendra mokėjimų suma po visiško paskolos grąžinimo bus 1378 tūkst.

Gruodžio 15 d. planuojama paimti banko paskolą 21 mėn. Grąžinimo sąlygos yra tokios:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola išauga 3%, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
- kiekvieno mėnesio 15 dieną nuo 1 iki 20 dienos skola turi būti 30 tūkstančių rublių mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną;
- iki 21 mėnesio 15 dienos paskola turi būti visiškai grąžinta.
Kokią sumą planuojama pasiskolinti, jei bendra įmokų suma po visiško grąžinimo yra 1 604 tūkst.

Gegužės 25 dieną planuojama pasiimti banko paskolą 1,5 metų. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola išauga 7% lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 1 iki 10 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
– Kiekvieno mėnesio 25 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė už praėjusio mėnesio 25 dieną.
Kokią sumą reikia sumokėti bankui, jei vidutinė mėnesio įmoka per visą paskolos laikotarpį yra 18 500 rublių?

Baldų gamykla gamina knygų lentynas ir bufetes. Vienos knygų spintos gamybai reikia 4/3 m^2 medžio drožlių plokštės, 4/3 m^2 pušies plokštės ir 2/3 žmogaus darbo valandos. Vienos indaujos gamybai reikia 2 m^2 medžio drožlių plokštės, 1,5 m^2 pušies plokštės ir 2 žmogaus valandų darbo laiko. Vienos knygų spintos pardavimo pelnas yra 500 rublių, o bufetas - 1200 rublių. Per vieną mėnesį gamykla disponuoja: 180 m^2 medžio drožlių plokščių, 165 m^2 pušies lentų ir 160 darbo valandų. Koks yra didžiausias numatomas mėnesio pelnas?

Tam tikra įmonė gamina dviejų rūšių – A ir B – produkciją, naudodama trijų rūšių išteklius: M, N ir K. Išteklių naudojimo normos ir jų atsargos pateiktos lentelėje.

Parduodant gaminius reikia nustatyti didžiausias galimas įmonės pajamas, jei A ir B produktų kainos yra atitinkamai 1500 ir 900 rublių už atitinkamos prekės vienetą. Atsakymą nurodykite tūkstančiais rublių.

Trijų vienuoliktų klasių berniukai Kovo 8-osios šventei nupirko gėles mergaitėms. Jei kiekvienai pirmokai padovanosite po 3 gėles, antros klasės mergaitei po 5 gėles, o trečiokei po 7 gėles, tuomet jums reikės ne mažiau kaip 40 ir ne daugiau kaip 50 gėlių.

Jei kiekvienai mergaitei pirmoje klasėje padovanosite 5 gėles, kiekvienai antroje klasėje - 7 gėles, o kiekvienai trečioje klasėje - 3 gėles, tada jums reikės tiek pat gėlių, kiek kiekvienai mergaitei pirmos klasės po 7 gėles, o kiekvienai antros klasės mergaitei – po 3 gėles, o kiekvienai trečios klasės mergaitei – po 5 gėles. Raskite bendrą mergaičių, besimokančių 11 klasėje, skaičių, jei žinoma, kad trečioje klasėje yra daugiau mergaičių nei antroje.

Indėlio suma kiekvieno mėnesio pirmą dieną didėjo 2%, palyginti su praėjusio mėnesio pirmosios dienos suma. Panašiai plytų kaina kas mėnesį didėjo 36 proc. Atidėję plytų pirkimą, gegužės 1 dieną į banką įnešė tam tikrą sumą. Kiek mažiau tokiu atveju galima nusipirkti plytų tų pačių metų liepos 1 dieną už visą iš banko gautą sumą kartu su palūkanomis?

Ruošiantis Naujiesiems metams buvo nuspręsta įsigyti keletą dviejų rūšių eglutės papuošalų, su sąlyga, kad papuošimų kaina skirtingi tipai neturėtų skirtis daugiau nei 2 rubliais. Perkant 7 pirmojo tipo dekoracijas ir 8 antrojo, teks sumokėti daugiau nei 165 rublius. Perkant 8 pirmojo tipo dekoracijas ir 7 antrojo, teks sumokėti mažiau nei 165 rublius. Raskite kiekvienos rūšies apdailos kainą.

Dviejų vienuoliktų klasių berniukai nupirko gėles mergaitėms šventei Kovo 8-ąją. Jei kiekvienai pirmos klasės mergaitei bus įteiktos 3 gėlės, o antros klasės mergaitei – po 7 gėles, tuomet reikės mažiau nei 70 gėlių. Jei kiekvienai pirmos klasės mergaitei padovanosite po 7 gėles, o antroje klasėje – po 3 gėles, tuomet prireiks daugiau nei 70 gėlių. Raskite mergaičių, besimokančių 11 klasėje, skaičių, jei mergaičių skaičiai klasėse skiriasi mažiau nei trimis.

Gamykloje yra trijų tipų surinkimo linijos: A, B, C. Kiekviena iš jų gamina dviejų rūšių gaminius. Kiekvienos linijos pagamintų kiekvienos rūšies produktų skaičius pateikiamas lentelėje.

Pagal sutartį numatoma pagaminti 1030 pirmos rūšies gaminių ir 181 antrosios rūšies gaminį. Koks yra mažiausias surinkimo linijų skaičius, kurį galima naudoti?

Tarp miestų A ir B skrenda trijų tipų orlaiviai, kuriems keleivių ir krovinių konteinerių gabenimo galimybės pateiktos lentelėje

Pagal sutarties sąlygas turi būti pervežta 1790 keleivių ir 195 krovinių konteineriai. Raskite mažiausią reikalingą lėktuvų skaičių.

Rūda išgaunama dviejose kasyklose: pirmoje kasykloje po 100 tonų per dieną, antroje – 220 tonų per dieną. Kasama rūda apdorojama dviejose gamyklose. Pirmasis gali perdirbti ne daugiau kaip 200 tonų rūdos per dieną, o antrasis - ne daugiau kaip 250 tonų rūdos per dieną. Vienos tonos rūdos transportavimo iš kasyklos į gamyklą kaina pateikta lentelėje.

Raskite mažiausią pristatymo kainą.

Indėlininkas nusprendė įdėti 1000 tūkstančių rublių į banką 1 metų laikotarpiui. Bankas siūlo dvi strategijas: pirmoji – imti 7% metinį mokestį, jei dedamas visas indėlis. Arba siūloma įnašą skaidyti į tris dalis. Tuomet mažesnė dalis bus apmokestinta 15%, vidutinė - 10%, o didesnė dalis - 5% per metus. Kokį didžiausią pelną gali gauti investuotojas, jei didesnė dalis nuo mažesnės turi skirtis ne mažiau kaip 100 tūkst., bet ne daugiau kaip 300 tūkst.

Paskolos gavėjas pasiskolino iš banko 3 metams 691 000 rublių sumą su 10% per metus su sąlyga, kad antrasis mokėjimas bus dvigubai didesnis nei pirmasis, o trečiasis - tris kartus didesnis už pirmąjį, o mokėjimai buvo atlikti priskaičiavus palūkanas nuo paskolos likučio. Kokia buvo pirmos įmokos suma?

Lapkričio 16 d. Nikita iš banko paėmė 1 mln. šešiems mėnesiams. Paskolos grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieno mėnesio 28 dieną skola išauga 10% lyginant su einamojo mėnesio 16 diena;

Nuo kiekvieno mėnesio 1 iki 10 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Vėluojant mokėti mokėjimus (nuo 1 iki 5 dienų), skaičiuojamos papildomos netesybos: už kiekvieną pradelstą dieną 1% nuo sumos, kurią reikėjo sumokėti einamąjį mėnesį;

Kiekvieno mėnesio 16 dieną skola turi būti tam tikra suma pagal lentelę:

Nustatykite, kiek tūkstančių rublių Nikita sumokės bankui daugiau nei paimta paskola, jei žinoma, kad jis mokėjo gruodžio 7, sausio 12, vasario 10, kovo 9, balandžio 1 ir gegužės 15 dienomis.

Larinas 17) Ivanas Petrovičius gavo paskolą iš banko tam tikru procentu per metus. Po metų, norėdamas grąžinti paskolą, jis grąžino bankui 1/6 visos sumos, kurią iki tol buvo skolingas bankui. O po metų, norėdamas visiškai grąžinti paskolą, Ivanas Petrovičius įnešė į banką sumą, kuri buvo 20% didesnė už gautą paskolą. Kokios metinės palūkanos už paskolą iš šio banko?

Pieštukai yra dviejose dėžutėse: pirmoje – raudoni, antroje – mėlyni, o raudonų buvo mažiau nei mėlynų. Pirma, 40% pieštukų iš pirmosios dėžutės buvo perkelti į antrąją. Tada 20% antroje dėžutėje esančių pieštukų buvo perkelti į pirmąjį, o pusė perkeltų pieštukų buvo mėlyni. Po to pirmoje dėžutėje buvo 26 raudonais pieštukais daugiau nei antroje, o bendras pieštukų skaičius antroje dėžutėje, palyginti su originalu, padidėjo daugiau nei 5%. Raskite bendrą mėlynų pieštukų skaičių.

Liepą Viktoras planuoja pasiimti 2,5 milijono rublių paskolą. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, lyginant su praėjusiais metais, padidėja 20 proc.;

Nuo kiekvienų metų vasario iki birželio Viktoras turi sumokėti dalį skolos.

Kokiam minimaliam metų skaičiui Viktoras gali imti paskolą, kad metinių mokėjimų buvo ne daugiau kaip 760 tūkstančių rublių?

Po kiek pilnų metų Sergejus savo sąskaitoje turės bent 950 000 rublių, jei kasmet į sąskaitą ketina įnešti 260 000 rublių, su sąlyga, kad bankas vieną kartą per metus gruodžio 31 d. ims 10% nuo turimos sumos.

Mitrofanas nori pasiimti 1,7 mln. Paskola grąžinama kartą per metus lygiomis sumomis (išskyrus, galbūt, paskutinę) suskaičiavus palūkanas. Palūkanų norma yra 10% per metus. Kokiam minimaliam metų skaičiui Mitrofan gali imti paskolą, kad metinės įmokos būtų ne didesnės kaip 300 tūkstančių rublių?

2016 m. gruodžio 31 d. Vasilijus iš banko paėmė 5 460 000 rublių kreditą su 20% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia – kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas nuo likusios skolos sumos (tai yra padidina skolą 20%), tada Vasilijus perveda bankui x rublius. Kokia turėtų būti suma, skirta Vasilijui sumokėti skolą trimis lygiomis išmokomis (ty per trejus metus)?

Rugpjūčio mėnesį planuojama paimti banko paskolą tam tikrai sumai. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvienų metų vasario–liepos mėnesiais reikia sumokėti skolos dalį, lygią 1 080 tūkstančių rublių. Kiek tūkstančių rublių buvo pasiskolinta iš banko, jei žinoma, kad paskola buvo visiškai grąžinta per tris vienodus mokėjimus (tai yra per 3 metus)?

Pensijų fondas valdo vertybinius popierius, kurie t metų pabaigoje kainuoja [b]10t tūkst. rublių (t = 1;2;3;...). Bet kurių metų pabaigoje pensijų fondas gali parduoti vertybinius popierius ir įnešti pinigus į banko sąskaitą, o kiekvienų paskesnių metų pabaigoje suma sąskaitoje padidės 1+r kartus. Pensijų fondas metų pabaigoje nori parduoti vertybinius popierius, kad dvidešimt penktų metų pabaigoje suma jo sąskaitoje būtų didžiausia. Skaičiavimai parodė, kad tam vertybiniai popieriai turi būti parduodami griežtai vienuoliktų metų pabaigoje. Prie ko teigiamas vertes ar tai įmanoma?

Vadimas yra dviejų gamyklų savininkas skirtingi miestai. Gamyklos gamina lygiai tokius pačius produktus, naudodamos tas pačias technologijas. Jei vienoje iš gamyklų darbuotojai iš viso dirba t^2 valandas per savaitę, tai per šią savaitę jie pagamina t prekių vienetų. Už kiekvieną darbo valandą gamykloje, esančioje pirmame mieste, Vadimas moka darbuotojui 500 rublių, o gamykloje, esančioje antrame mieste - 300 rublių. Vadimas yra pasirengęs skirti 1 200 000 rublių per savaitę atlyginimams darbuotojams. Koks yra didžiausias vienetų skaičius, kurį šiose dviejose gamyklose galima pagaminti per savaitę?

2016 metų liepą Inga planuoja šešeriems metams pasiimti 4,2 mln. rublių paskolą. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

2017, 2018, 2019 ir 2020 m. liepos mėn. skola išlieka lygi 4,2 mln.

2021 ir 2022 m. mokėjimai yra vienodi;

Iki 2022 metų liepos mėnesio skola bus visiškai sumokėta.

Kiek milijonų rublių paskutinis mokėjimas ar bus daugiau nei pirmasis?

2016 m. liepos mėn. Timuras ketveriems metams planuoja pasiimti banko paskolą S milijono rublių sumai, kur S yra sveikas skaičius. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 15 proc.

Mokėjimas turi būti atliktas kartą per metus nuo vasario iki birželio;

Kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti paskolos dalis pagal šią lentelę:

Raskite didžiausią S vertę, kuriai esant bendra Timuro mokėjimų suma bus mažesnė nei 30 milijonų rublių.

2020 m. liepos mėn. planuojama paimti banko paskolą 400 000 rublių. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola išauga r%, lyginant su praėjusių metų pabaiga;

Raskite skaičių r, jei žinoma, kad paskola buvo visiškai grąžinta per dvejus metus, o pirmaisiais metais buvo pervesta 330 000, o antraisiais - 121 000 rublių.

2020 metų liepą planuojama paimti banko paskolą tam tikrai sumai. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 20 proc.;

Kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais dalį skolos reikia sumokėti vienu mokėjimu

Kiek rublių buvo paimta iš banko, jei žinoma, kad paskola buvo visiškai grąžinta trimis lygiomis įmokomis (tai yra per 3 metus) ir įmokų suma 77 200 rublių viršija paimtą iš banko sumą?

Liepos mėnesį planuojama paimti banko paskolą tam tikrai sumai. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola išauga r%, lyginant su praėjusių metų pabaiga;

Nuo kiekvienų metų vasario iki birželio reikia sumokėti dalį skolos

Raskite r jei žinoma, kad sumokėjus 777 600 rublių paskola bus grąžinta per 4 metus, o jei kasmet mokėsite 1 317 600 rublių, tai paskola bus visiškai grąžinta per 2 metus?

Liepą tam tikram laikotarpiui (sveikai metų skaičiui) planuojama paimti banko paskolą 18 milijonų rublių. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 10 proc.;


Kiek metų buvo paimta paskola, jei žinoma, kad bendra įmokų suma po jos grąžinimo buvo 27 milijonai rublių?

Liepą tam tikram laikotarpiui (sveikai metų skaičiui) planuojama paimti banko paskolą 9 mln. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 20 proc.;
- kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais būtina grąžinti dalį skolos;
- kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola už praėjusių metų liepą.

Kokia bus bendra įmokų suma visiškai grąžinus paskolą, jei didžiausia metinė įmoka yra 3,6 milijono rublių?

2026 metų liepą planuojama paimti banko paskolą trejiems metams S milijono rublių sumai, kur S yra sveikas skaičius. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 20 proc.

Kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais dalį skolos reikia sumokėti vienu mokėjimu

Kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti paskolos dalis pagal šią lentelę

Raskite didžiausią S vertę, kuriai esant kiekvienas mokėjimas bus mažesnis nei 5 milijonai rublių.

Pensijų fondui priklauso vertybiniai popieriai, kainuojantys t^2 rublius. kiekvienų metų pabaigoje t(t=1;2...) bet kurių metų pabaigoje pensijų fondas gali parduoti vertybinius popierius ir įnešti pinigų į banko sąskaitą, o kiekvienų paskesnių metų pabaigoje paskyra padidės (1+ r) vieną kartą. Pensijų fondas nori parduoti vertybinius popierius metų pabaigoje, kad dvidešimt penktų metų pabaigoje jo sąskaitoje būtų didžiausia suma.Skaičiavimai parodė, kad tam vertybinius popierius reikia parduoti griežtai 2010 m. dvidešimt pirmieji metai. Kokiam teigiamam r tai įmanoma?

Zoologijos sodas platina 111 kg. mėsa tarp lapių, leopardų ir liūtų. Kiekviena lapė turi teisę į 2 kg. mėsa, leopardas - 14 kg, liūtas 21 kg. Yra žinoma, kad kiekvieną liūtą kasdien aplanko 230 lankytojų, kiekvienam leopardui – 160, lapei po 20. Kiek lapių, leopardų ir liūtų turėtų būti zoologijos sode, kad šių gyvūnų kasdien būtų kuo daugiau lankytojų?

Akcininkų susirinkime buvo nuspręsta didinti įmonės pelną plečiant produkcijos asortimentą. Ekonominė analizė tai parodė

1) papildomos pajamos kiekvienam naujos rūšies produktai bus lygūs 70 milijonų rublių. metais;

2) papildomos vieno naujo tipo kūrimo išlaidos sieks 11 milijonų rublių. per metus, o kiekvienam paskesniam tipui sukurti reikės 7 milijonų rublių. per metus yra daugiau išlaidų nei ankstesnės plėtros. Raskite didžiausio galimo pelno padidėjimo vertę.

Pilietis 4 metams įnešė į banką 1 milijoną rublių. Kiekvienų metų pabaigoje prie neapmokėtos sumos pridedama 10 proc. Jis nusprendė atsiimti tą pačią pinigų sumą kiekvienų pirmųjų 3 metų pabaigoje (sukaupus palūkanas). Ši suma turėtų būti tokia, kad po 4 metų po 4 metų palūkanų kaupimo jo sąskaitoje būtų bent 1200 tūkst. Kuris maksimali suma pilietis gali išsinuomoti. Suapvalinkite savo atsakymą iki artimiausio tūkstančio.

Sasha ir Pasha įdėjo po 100 tūkstančių rublių. bankui po 10% per metus trejus metus. Tuo pačiu metu Paša po metų atsiėmė n tūkstančių rublių. (n yra sveikas skaičius), o po metų jis vėl pranešė n tūkstančių rublių. savo lėšomis. Už tai, kas yra mažiausia n, po trejų metų skirtumas tarp Sašos ir Pašos sąskaitose esančių sumų bus ne mažesnis kaip 3 tūkst.

Planuojama išduoti paskolą už sveiką skaičių milijonų rublių 5 metams. Kiekvienų paskolos metų viduryje paskolos gavėjo skola, palyginti su metų pradžia, padidėja 10 proc. Pasibaigus 1, 2 ir 3 metams, paskolos gavėjas moka tik paskolos palūkanas, o skola lieka lygi pradinei. Pasibaigus 4 ir 5 metams, skolininkas moka vienodus mokėjimus, grąžindamas visą skolą. Raskite didžiausią paskolos dydį, kai bendra skolininko mokėjimų suma bus mažesnė nei 6 milijonai rublių.

Ūkininkas turi du laukus, kurių kiekvieno plotas po 10 hektarų. Kiekviename lauke galite auginti bulves ir burokėlius, laukus galima padalyti tarp šių kultūrų bet kokia proporcija. Pirmajame lauke bulvių derlius – 300 c/ha, o antrame – 200 c/ha. Burokėlių derlius pirmame lauke 200 c/ha, o antrajame - 300 c/ha.

Ūkininkas gali parduoti bulves už 10 000 rublių. už šimtą svorio, o burokėliai - už 18 000 rublių kainą. procento centnerio. Kokias didžiausias pajamas gali gauti ūkininkas?

Naujųjų metų išvakarėse Kalėdų seneliai po lygiai saldainių dėdavo į dovanų maišelius, o šie maišeliai būdavo į maišelius, po 2 maišelius viename maiše. Galima būtų tuos pačius saldainius dėti į maišelius, kad kiekviename būtų 5 saldainiais mažiau nei anksčiau, bet tada kiekviename maiše būtų 3 maišeliai ir reikėtų 2 maišeliais mažiau. Kiek daugiausia saldainių galėtų išdalinti Kalėdų seneliai?

Pirmasis automobilis iš taško A į tašką B išvažiavo 80 km/h greičiu, o po kurio laiko pastoviu greičiu išvažiavo antrasis. 20 minučių sustojęs taške B, antrasis automobilis važiavo atgal tokiu pat greičiu. Nuvažiavęs 48 km, jis pasitiko pirmą iš priešingos krypties atvažiuojantį automobilį, o tuo metu, kai į tašką B atvyko pirmasis automobilis, nuo B buvo už 120 km. Raskite atstumą nuo A iki pirmojo susitikimo vietos, jei atstumas tarp taškų A ir B yra 480 km.

Parduotuvė gavo I ir II klasės prekių už 4,5 mln. Jei visos prekės bus parduodamos už antros rūšies kainą, nuostolis bus 0,5 milijono rublių, o jei visos prekės bus parduodamos už pirmos klasės kainą, tada bus gautas 0,3 milijono rublių pelnas. Už kokią sumą buvo pirktos I ir II klasės prekės atskirai?

Dvi kasyklos gamina aliuminį ir nikelį. Pirmojoje kasykloje dirba 80 darbininkų, kurių kiekvienas nori dirbti po 5 valandas per dieną. Šiuo atveju vienas darbuotojas per valandą išgauna 1 kg aliuminio arba 2 kg nikelio. Antroje kasykloje dirba 200 darbuotojų, kurių kiekvienas nori dirbti po 5 valandas per dieną. Šiuo atveju vienas darbuotojas per valandą pagamina 2 kg aliuminio arba 1 kg nikelio.

Abi kasyklos tiekia iškastą metalą į gamyklą, kurioje pramonės reikmėms gaminamas aliuminio ir nikelio lydinys, kuriame 2 kg aliuminio sudaro 1 kg nikelio. Tuo pačiu metu kasyklos susitaria tarpusavyje išgauti metalus, kad gamykla galėtų pagaminti didžiausią lydinio kiekį. Kiek kilogramų lydinio augalas gali pagaminti per dieną tokiomis sąlygomis?

Tam tikra įmonė patiria 300 milijonų rublių nuostolių. metais. Kad tai būtų pelninga, buvo pasiūlyta didinti prekių asortimentą. Skaičiavimai parodė, kad papildomos pajamos, priskirtinos kiekvienai naujai produkto rūšiai, sieks 84 milijonus rublių. per metus, o papildomos išlaidos bus lygios 5 milijonams rublių. per metus, kai įsisavina vieną naują rūšį, tačiau norint įvaldyti kiekvieną kitą, reikės 5 milijonų rublių. per metus yra daugiau išlaidų nei ankstesnės plėtros. Koks yra minimalus naujų produktų tipų skaičius, kurį reikia sukurti, kad įmonė taptų pelninga? Koks yra didžiausias metinis pelnas, kurį įmonė gali pasiekti didindama produktų asortimentą?

Plėtros kaina elektroninė versija vadovėlis
kai kurie leidiniai yra lygūs 800 tūkstančių rublių. Išlaidos
už x tūkstančius tokių elektroninių vadovėlių pagaminimo
šioje leidykloje yra lygūs (x^2+6x+22100) tūkstančiams rublių
metais. Jei vadovėliai parduodami rubliais. už vienetą,
tada leidyklos vienerių metų pelnas bus ax-(x^2+6x+22100).
Leidykla vadovėlių pagamins tokiais kiekiais kaip
kad pelnas būtų didžiausias. Kokia mažiausia a reikšme
Ar vadovėlio kūrimas atsipirks ne daugiau nei per 2 metus?

Lapkričio 16 dieną dvyniai Sasha ir Pasha paėmė 500 tūkstančių rublių banko paskolą. kiekvienas keturių mėnesių laikotarpiui. Paskolos grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieno mėnesio 28 dieną skola išauga 10% lyginant su einamojo mėnesio 16 diena;

Nuo kiekvieno mėnesio 1 iki 15 dienos reikia sumokėti dalį skolos; Kiekvieno mėnesio 16 dieną skola turi būti tam tikra suma pagal kiekvienam iš jų siūlomą lentelę:

Kuris brolis sumokės bankui per keturis mėnesius? mažesnė suma? Kiek rublių?

2016 m. kovo 1 d. Valerijus įnešė į banką 100 tūkst. 10% per metus 4 metus. Per dvejus metus jis planuoja iš savo sąskaitos išsiimti n tūkstančių rublių. (n yra sveikas skaičius), kad iki 2020 m. kovo 1 d. jo sąskaitoje būtų ne mažiau kaip 130 tūkst. Kuris didžiausia suma n Ar Valerijus gali išsiimti iš savo sąskaitos 2018 m. kovo 1 d.?

Vienas prie kito eina du pėstieji: vienas iš A į B, o kitas iš B į A. Jie išvažiavo tuo pačiu metu, o kai pirmasis nuėjo pusę kelio, antrasis turėjo dar 1,5 valandos, o kai antras nuėjo pusę kelio, pirmasis Dar liko 45 minutės. Kiek minučių pirmas pėstysis baigs kelionę anksčiau nei antrasis?

2017 m. sausio pradžioje planuojama iš banko pasiimti paskolą už S milijonus rublių, kur S yra sveikas skaičius, 4 metams. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną liepą skola, palyginti su einamųjų metų pradžia, padidėja 10 proc.
- kiekvienų metų rugpjūčio – gruodžio mėnesiais būtina grąžinti dalį skolos;
- kiekvienų metų sausio mėnesį skola turi būti paskolos dalis pagal šią lentelę:

Raskite didžiausią S vertę, kuriai esant skirtumas tarp didžiausių ir mažiausių mokėjimų neviršys 2 milijonų rublių.

Už „Klasikinį“ indėlį bankas planuoja kasmet sukaupti 12% kiekvienų metų pabaigoje, o už „Bonusą“ - pirmaisiais metais padidinti indėlio sumą 7% ir tuo pačiu sveikuoju skaičiumi n procentų. vėlesniais metais.

Raskite mažiausią n reikšmę, kuriai esant per 4 saugojimo metus bus įdėtas „Premija“. pelningiau nei užstatas„Klasikinis“ su vienodomis pradinių įnašų sumomis.

2017 metų gegužę planuojama šešeriems metams paimti S milijonų rublių banko paskolą. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną gruodį kiekvienais metais skola didėja 10 proc.;
- kiekvienų metų sausio – balandžio mėnesiais būtina grąžinti dalį skolos;
- 2018 m., 2019 m. ir 2020 m. gegužės mėn. skola išlieka S milijonai rublių;
- mokėjimai 2021, 2022 ir 2023 metais yra vienodi;
- iki 2023 m. gegužės mėn. skola bus visiškai sumokėta.

Raskite mažiausią sveikąjį skaičių S, kurio bendra mokėjimų suma neviršija 13 milijonų rublių.

Į specialybės „Įranga ir technika“ pirmąjį kursą įstojo 46 žmonės: 34 vaikinai ir 12 mergaičių. Jie suskirstyti į dvi grupes po 22 ir 24 žmones, kiekvienoje grupėje yra bent po vieną merginą. Koks turėtų būti pasiskirstymas tarp grupių, kad skaičių suma, lygi mergaičių procentui pirmoje ir antroje grupėse, būtų didžiausia?

Leo paėmė banko paskolą 40 mėnesių laikotarpiui. Pagal susitarimą Leo turi grąžinti paskolą mėnesinėmis įmokomis. Kiekvieno mėnesio pabaigoje prie likusios skolos sumos pridedami p% šios sumos, o po to sumokamas Levas.

Mėnesiniai mokėjimai parenkami taip, kad skola mažėtų tolygiai.

Žinoma, kad didžiausia Leo įmoka buvo 25 kartus mažesnė už pradinę skolos sumą. Rasti p.

2015 m. gruodžio 18 d. Andrejus iš banko paėmė 85 400 rublių kreditą su 13,5% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 18 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą, tada Andrejus perveda bankui X rublius. Kokia turėtų būti X suma, kad Andrejus visiškai sumokėtų skolą dviem vienodais mokėjimais?

Ivanas nori pasiskolinti 1 milijoną rublių. Paskola grąžinama kartą per metus lygiomis sumomis (išskyrus, galbūt, paskutinę) suskaičiavus palūkanas. Palūkanų norma yra 10% per metus. Kokiam minimaliam metų skaičiui Ivanas gali imti paskolą, kad metinės įmokos neviršytų 250 tūkstančių rublių?

2016 m. vasario 1 d. Andrejus Petrovičius iš banko paėmė 1,6 mln. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvieno kito mėnesio 1 dieną bankas ima 1% nuo likusios skolos sumos, tada Andrejus Petrovičius perveda mokėjimą bankui. Kokiam minimaliam mėnesių skaičiui Andrejus Petrovičius turėtų imti paskolą, kad galėtų mėnesinės įmokos neviršijo 350 tūkstančių rublių?

2015 m. lapkričio 12 d. Dmitrijus iš banko paėmė 1 803 050 rublių kreditą su 19% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų lapkričio 12 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą, tada Dmitrijus perveda bankui X rublius. Kokia turėtų būti X suma, kad Dmitrijus sumokėtų visą skolą trimis vienodais mokėjimais?

Dviem vienas kitam statmenais greitkeliais vienu metu jų sankryžos kryptimi pradeda judėti du automobiliai: vienas 80 km/h, kitas 60 km/h greičiu. Pradiniu laiko momentu kiekvienas automobilis yra 100 km atstumu nuo sankryžos. Nustatykite laiką po judėjimo pradžios, kai atstumas tarp automobilių bus mažiausias. Koks šis atstumas?

Arkadijus, Semjonas, Efimas ir Borisas įkūrė įmonę, kurios įstatinis kapitalas yra 200 000 rublių. Arkadijus įnešė 14% įstatinio kapitalo, Semjonas - 42 000 rublių, Efimas - 12% įstatinio kapitalo, o Borisas įnešė likusį kapitalą. Steigėjai susitarė metinį pelną padalyti proporcingai įneštai sumai įstatinis kapitalasįnašas. Kokia 500 000 rublių pelno suma tenka Borisui? Atsakymą pateikite rubliais.

Dviejuose regionuose dirba 250 darbuotojų, kurių kiekvienas nori dirbti 5 valandas per dieną, kasdamas aliuminį ar nikelį. Pirmoje srityje vienas darbuotojas per valandą išgauna 0,2 kg aliuminio arba 0,1 kg nikelio. Antrame regione, norint išgauti x kg aliuminio per dieną, reikia x^2 žmogaus darbo valandų, o norint išgauti q kg nikelio per dieną reikia y^2 žmogaus valandų darbo.

Dviejuose regionuose dirba po 50 darbuotojų, kurių kiekvienas nori dirbti po 10 valandų per dieną kasant aliuminį arba nikelį. Pirmoje srityje vienas darbuotojas per valandą išgauna 0,2 kg aliuminio arba 0,1 kg nikelio. Antroje srityje, norint išgauti x kg aliuminio per dieną, reikia x^2 žmogaus darbo valandų, o išgaunant kg nikelio per dieną reikia y^2 žmogaus valandų darbo.

Abu regionai iškastą metalą tiekia gamyklai, kur pramonės reikmėms gaminamas aliuminio ir nikelio lydinys, kuriame 1 kg aliuminio sudaro 2 kg nikelio. Tuo pačiu metu regionai tarpusavyje susitaria iškasti metalus, kad gamykla galėtų pagaminti didžiausią lydinio kiekį. Kiek kilogramų lydinio augalas gali pagaminti per dieną tokiomis sąlygomis?

Timofejus nori pasiimti 1,1 milijono rublių paskolą. Paskola grąžinama kartą per metus lygiomis sumomis (išskyrus, galbūt, paskutinę) suskaičiavus palūkanas. Palūkanų norma yra 10% per metus. Kokiam minimaliam metų skaičiui Timofey gali imti paskolą, kad metinės įmokos būtų ne didesnės kaip 270 tūkstančių rublių?

Galina 24 mėnesių laikotarpiui paėmė 12 milijonų rublių paskolą. Pagal susitarimą Galina kiekvieno mėnesio pabaigoje privalo grąžinti bankui dalį pinigų. Kiekvieną mėnesį bendra skolos suma didėja 3 proc., o vėliau mažėja suma, kurią Galina sumokėjo bankui mėnesio pabaigoje. Galinos mokamos sumos parenkamos taip, kad skolos suma mažėtų tolygiai, tai yra kas mėnesį ta pačia suma. Kiek daugiau rublių sugrįš Galina į banką pirmaisiais skolinimo metais, palyginti su antraisiais?

Sausio 15 d. planuojama paimti banko paskolą 15 mėnesių. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola išauga 3%, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;

Yra žinoma, kad aštuntasis mokėjimas sudarė 99,2 tūkst. Kokią sumą reikia grąžinti bankui per visą paskolos laikotarpį?

2014 m. gruodžio 31 d. Olegas iš banko paėmė tam tikrą sumą už kreditą tam tikru procentu per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia - kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą procentais), tada Olegas perveda kitą dalį. Jei kasmet sumokės 328 050 rublių, tai skolą grąžins per 4 metus. Jei po 587 250 rublių, tada 2 metus. Surasti.

Du identiški baseinai vienu metu pradėjo pildytis vandeniu. Pirmasis baseinas per valandą gauna 30 m^3 daugiau vandens nei antrasis. Tam tikru momentu dviejuose baseinuose kartu buvo tiek vandens, kiek kiekvieno iš jų tūris. Po to, po 2 valandų 40 minučių, pirmasis baseinas buvo užpildytas, o dar po 3 valandų 20 minučių – antrasis. Kiek vandens pateko į antrą baseiną per valandą? Kiek užtruko antrasis baseinas?

Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 2 proc.;

Nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.

Kiek procentų nuo paskolos sumos sudaro bendra pinigų suma, kurią reikia sumokėti bankui per visą paskolos laikotarpį?

Gruodžio 20 d. Valerijus paėmė banko paskolą 500 tūkstančių rublių. penkių mėnesių laikotarpiui. Paskolos grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieno mėnesio 5 dieną skola, palyginti su praėjusiu mėnesiu, padidėja sveikuoju skaičiumi n procentų;

Nuo kiekvieno mėnesio 6 iki 19 dienos reikia grąžinti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 20 dieną skola turi būti tam tikra suma pagal lentelę:

Raskite mažiausią n, kuriai esant mokėjimų suma, viršijanti paimtą paskolą (palūkanų mokėjimai), bus didesnė nei 200 tūkstančių rublių.

Trys skirtingo galingumo automatai turi pagaminti po 800 detalių. Pirmiausia buvo paleista pirmoji mašina, po 20 minučių – antra, dar po 35 minučių – trečia. Kiekvienas iš jų dirbo be gedimų ir sustojimų, o darbo metu buvo momentas, kai kiekviena mašina atliko tą pačią užduoties dalį. Kiek minučių prieš antrąjį trečiasis asmuo atliko mašinos darbą, jei pirmasis atliko užduotį praėjus 1 valandai 28 minutėms po trečiosios?

Dviejuose regionuose dirba 90 darbuotojų, kurių kiekvienas nori dirbti 5 valandas per dieną, kasdamas aliuminį ar nikelį. Pirmoje srityje vienas darbuotojas per valandą išgauna 0,3 kg aliuminio arba 0,1 kg nikelio. Antroje srityje reikia x^2 žmogaus darbo valandų, norint išgauti x kg aliuminio per dieną, o y^2 žmogaus darbo valandų reikia išgauti y kg nikelio per dieną.

Pramoniniams poreikiams gali būti naudojamas aliuminis arba nikelis, o 1 kg aliuminio galima pakeisti 1 kg nikelio. Kokia yra didžiausia metalų masė, kurią iš viso galima išgauti dviejuose regionuose pramonės reikmėms?

2016 metų liepą planuojama paimti banko paskolą trejiems metams S milijono rublių sumai, kur S yra sveikas skaičius. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 25 proc.
- kiekvienų metų vasario–birželio mėnesiais dalį skolos reikia sumokėti vienu mokėjimu;
- kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti paskolos dalis pagal toliau pateiktą lentelę.

Raskite mažiausią S vertę, kuriai esant kiekvienas mokėjimas bus daugiau nei 5 milijonai rublių

2016 m. rugpjūčio 1 d. Valerijus ketveriems metams banke atidarė „Papildymo“ sąskaitą su 10% per metus, investuodamas 100 tūkstančių rublių.

2017-08-01 ir 2019-08-01 į savo sąskaitą planuoja atsiskaityti n tūkst. Raskite mažiausią sveikąjį skaičių n, kad iki 2020 m. rugpjūčio 1 d. Valerijus savo sąskaitoje turėtų bent 200 tūkstančių rublių.

Sausio 15 dieną planuojama šešiems mėnesiams paimti banko paskolą 1 mln. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola padidėja r procentais, palyginti su praėjusio mėnesio pabaiga, kur r yra sveikas skaičius;

Nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tam tikra suma pagal šią lentelę

Raskite didžiausią r reikšmę, kuriai esant bendra mokėjimų suma bus mažesnė nei 1,2 milijono rublių.

Liepą keleriems metams buvo paimta 8,8 mln. Kiekvienų paskesnių metų pradžioje skolos likutis, lyginant su praėjusių metų pabaiga, padidėja 25 proc. Iki kiekvienų metų liepos 1 d. klientas privalo grąžinti dalį skolos taip, kad nuo liepos 1 d. skola kasmet mažėtų ta pačia suma. Paskutinis mokėjimas yra 1 milijonas rublių. Raskite bendrą mokėjimų bankui sumą.

Liepą tam tikram laikotarpiui (sveikai metų skaičiui) planuojama paimti banko paskolą 14 milijonų rublių. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 10 proc.
- kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais būtina grąžinti dalį skolos;
- kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola už praėjusių metų liepą

Kokia bus bendra mokėjimų suma visiškai grąžinus paskolą, jei mažiausia metinė įmoka yra 3,85 milijono rublių?

Metų pradžioje bendrovė „Zhilstroyservice“ išsirenka banką paskolai gauti iš kelių bankų, skolinančių skirtingomis palūkanomis. Gautą paskolą įmonė planuoja panaudoti taip: 75% paskolos bus skirta kotedžų statybai, o likusieji 25% – nekilnojamojo turto paslaugoms gyventojams teikti. Pirmasis projektas gali atnešti nuo 36% iki 44% pelno per metus, o antrasis - nuo 20% iki 24% per metus. Metų pabaigoje įmonė turi grąžinti paskolą bankui su palūkanomis ir tuo pačiu skaičiuoti grynasis pelnas iš šių veiklos rūšių ne mažiau kaip 13%, bet ne daugiau kaip 21% per metus visos gautos paskolos. Kokios turėtų būti žemiausios ir didžiausios paskolų palūkanos pasirinktiems bankams, kad įmonė būtų garantuota, kad pati gautų aukščiau nurodytą pelno lygį?

2012 m. sausio 15 d. bankas išdavė 1 milijono rublių paskolą. Jo grįžimo sąlygos buvo tokios:
- Kiekvienų metų sausio 1 d., palyginti su praėjusių metų pabaiga, skola didėja po %;
- dalis skolos sumokama kiekvienų metų sausio mėnesį, priskaičiavus palūkanas.
Paskola buvo grąžinta per dvejus metus, o pirmaisiais metais pervesta 600 tūkst., o antraisiais – 550 tūkst.
Surasti.

Naujos gamyklos statyba kainuoja 78 milijonus rublių. Gamybos kaina x tūkstančiai vienetų. Produktai tokioje gamykloje yra 0,5x²+2x+6 milijonai rublių per metus. Jei gamyklos produktai parduodami už r tūkstančius rublių už vienetą, tai įmonės pelnas (milijonais rublių) per metus bus (px-(0,5x²+2x+6)). Pastačius gamyklą, įmonė gamins produkciją tokiais kiekiais, kad pelnas būtų didžiausias. Esant kokiai minimaliai p vertei, gamyklos statyba atsipirks ne vėliau kaip per 3 metus?

2001 m. pradžioje Aleksejus įsigijo saugumo už 25 000 rublių. Kiekvienų metų pabaigoje popieriaus kaina pakyla 3000 rublių. Bet kurių metų pradžioje Aleksejus gali parduoti popierių ir įnešti pajamas į banko sąskaitą. Kiekvienais metais suma sąskaitoje didės 10 proc. Kokių metų pradžioje Aleksejus turėtų parduoti vertybinį popierių, kad po penkiolikos metų nuo šio vertybinio popieriaus įsigijimo suma banko sąskaitoje būtų didžiausia?

Kiekvienoje iš dviejų gamyklų dirba po 1800 žmonių. Pirmoje gamykloje vienas darbuotojas per pamainą pagamina 1 dalį A arba 2 dalis B. Antroje gamykloje reikia t^2 žmogaus pamainų, kad pagamintų t dalių (ir A, ir B).

Kiekvienoje iš dviejų gamyklų dirba po 200 žmonių. Pirmoje gamykloje vienas darbuotojas per pamainą pagamina 1 dalį A arba 3 dalis B. Antroje gamykloje reikia t^2 žmogaus pamainų, kad pagamintų t dalių (ir A, ir B).

Abi šios gamyklos tiekia gamyklai dalis, iš kurių surenka gaminį, kurio gamybai reikia 1 dalies A ir 1 dalies B. Tuo pačiu metu gamyklos susitaria gaminti dalis taip, kad būtų kuo daugiau gaminių. galima surinkti. Kiek gaminių gamykla gali surinkti per pamainą tokiomis sąlygomis?

Kiekvienoje iš dviejų gamyklų gaminamos dalys A ir B. Pirmoje gamykloje dirba 40 žmonių, o vienas darbuotojas per pamainą gamina 15 dalių A arba 5 dalis B. Antroje gamykloje dirba 160 žmonių, o vienas darbuotojas gamina 5 dalis A arba 5 dalis. 15 per pamainą detaliau V.

Abi šios gamyklos tiekia gamyklai dalis, iš kurių surenka gaminį, kurio gamybai reikalingos 2 dalys A ir 1 dalis B. Tuo pačiu metu gamyklos susitaria gaminti dalis taip, kad būtų kuo daugiau gaminių. galima surinkti. Kiek gaminių gamykla gali surinkti per pamainą tokiomis sąlygomis?

Norėdami pagaminti tam tikrą produktą B, kuriame yra 40% alkoholio, Aleksejus gali įsigyti žaliavų iš dviejų tiekėjų A ir B. Tiekėjas A siūlo 90% alkoholio tirpalą 1000 litrų kanistruose už 100 tūkstančių rublių. vienam kanistrui. Tiekėjas B siūlo 80% alkoholio tirpalą 2000 litrų talpos kanistruose už 160 tūkstančių rublių kainą. vienam kanistrui. Gamybos metu gautas produktas B išpilstomas į 0,5 litro talpos butelius. Kokią sumą Aleksejus mažiausiai turėtų išleisti žaliavoms, jei planuoja pagaminti lygiai 60 000 butelių produkto B?

2016 m. kovo 1 d. Ivanas Lvovičius įnešė 20 000 rublių. banko depozitas 1 metų laikotarpiui su mėnesinių palūkanų kaupimu ir kapitalizacija 21% per metus. Tai reiškia, kad kiekvieno mėnesio pirmą dieną indėlio suma didėja tiek pat palūkanų, skaičiuojant taip, kad per 12 mėnesių padidės lygiai 21%. Per kiek mėnesių indėlio suma pirmą kartą viršys 22 000 rublių?

Gegužės 15 dieną verslininkas planavo 19 mėnesių pasiimti 12 milijonų rublių banko paskolą. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 2 proc.;

Nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.

Kiek daugiau palūkanų už paimtą paskolą turės mokėti verslininkas?

Norėdami pagaminti tam tikrą produktą B, kuriame yra 40% alkoholio, Aleksejus gali įsigyti žaliavų iš dviejų tiekėjų A ir B. Tiekėjas A siūlo 90% alkoholio tirpalą 1000 litrų kanistruose už 100 tūkstančių rublių. vienam kanistrui. Tiekėjas B siūlo 80% alkoholio tirpalą 2000 litrų talpos kanistruose už 160 tūkstančių rublių kainą. vienam kanistrui. Gamybos metu gautas produktas B išpilstomas į 0,5 litro talpos butelius. Kokią sumą Aleksejus mažiausiai turėtų išleisti žaliavoms, jei planuoja pagaminti lygiai 60 000 butelių produkto B?

Vladimirui priklauso dvi šaldytuvų gamybos gamyklos. Pirmosios gamyklos produktyvumas neviršija 950 šaldytuvų per dieną. Antrosios gamyklos produktyvumas iš pradžių buvo 95% pirmojo produktyvumo. Pradėjus eksploatuoti papildomą liniją, antroji gamykla padidino šaldytuvų gamybą per dieną lygiai 23% nuo pirmojoje gamykloje pagamintų šaldytuvų skaičiaus ir pradėjo gaminti daugiau nei 1000 jų. Kiek šaldytuvų pagamino kiekviena gamykla per dieną prieš antrojo gamyklos rekonstrukciją?

Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 2 proc.;

Nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.

Yra žinoma, kad ketvirtą skolinimo mėnesį reikia sumokėti 54 tūkstančius rublių. Kokią sumą reikia grąžinti bankui per visą paskolos laikotarpį?

Liepos mėnesį klientas keleriems metams paėmė 8,8 milijono rublių paskolą.

Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Kiekvienų paskesnių metų pradžioje skolos likutis, lyginant su praėjusių metų pabaiga, padidėja 25 proc.
-iki kiekvienų metų liepos 1 d., klientas privalo grąžinti dalį skolos bankui taip, kad, palyginti su liepos 1 d., skola kasmet sumažėtų tiek pat.

Yra žinoma, kad paskutinis mokėjimas bus 1 milijonas rublių. Raskite bendrą mokėjimų sumą, kurią klientas sumokės bankui.

Draugės Polina ir Christina svajoja tapti modeliais. Sausio 1 dieną jie nusprendė pradėti lieknėti. Tuo pačiu metu Polinos svoris buvo 10% didesnis nei Christinos.

Vasario mėnesį Christina planuoja prarasti dar 2 proc.

A) Koks yra mažiausias sveikasis procentas, kurio Polinai reikia numesti svorio vasario mėnesį, kad iki kovo 1 d. jos svoris būtų mažesnis už Kristinos svorį?

B) Kiek Christina svers iki vasario pabaigos, jei žinoma, kad sausio 1 d. Polina svėrė 55 kg?

Indėlį planuojama atidaryti ketveriems metams. Pradinis įnašas yra sveikasis skaičius milijonų rublių. Kiekvienų metų pabaigoje įmoka didėja 10 proc., palyginti su jos dydžiu metų pradžioje, be to, trečiųjų ir ketvirtųjų metų pradžioje įmoka kasmet papildoma 3 mln. Raskite didžiausią pradinio indėlio sumą, kuriai po ketverių metų indėlis bus mažesnis nei 25 milijonai rublių.

Kiekvienoje iš dviejų gamyklų dirba po 20 žmonių. Pirmoje gamykloje vienas darbuotojas per pamainą gamina 2 dalis A arba 2 dalis B. Antroje gamykloje reikia t^2 žmogaus pamainų, kad pagamintų t dalių (ir A, ir B).

Abi šios gamyklos tiekia gamyklai dalis, iš kurių surenka gaminį, kurio gamybai reikia 1 dalies A ir 1 dalies B. Tuo pačiu metu gamyklos susitaria gaminti dalis taip, kad būtų kuo daugiau gaminių. galima surinkti. Kiek gaminių gamykla gali surinkti per pamainą tokiomis sąlygomis?

Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 2 proc.;

Nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.

Yra žinoma, kad penktą skolinimo mėnesį (nuo birželio 2 d. iki birželio 14 d.) reikia sumokėti bankui 44 tūkstančius rublių. Kokią sumą reikia sumokėti bankui per visą paskolos laikotarpį?

Ūkininkas turi 2 laukus, kurių kiekvieno plotas po 10 hektarų. Kiekviename lauke galite auginti bulves ir burokėlius, lauką galima padalyti tarp šių kultūrų bet kokia proporcija. Pirmajame lauke bulvių derlius 300 c/ha, o antrame - 200 c/ha. Burokėlių derlius pirmame lauke 200 c/ha, o antrajame - 300 c/ha.

Ūkininkas gali parduoti bulves už 4000 rublių. už šimtą svorio, o burokėliai - 5000 rublių. procento centnerio. Kokias didžiausias pajamas gali gauti ūkininkas?

Cechas gavo užsakymą pagaminti 2 000 dalių A tipo ir 14 000 dalių B tipo. Kiekvienas iš 146 ceche dirbančių darbuotojų skiria laiko vienos A tipo dalies gamybai, per kurią galėjo pagaminti 2 tipo dalis. B. Kaip padalinti cecho darbuotojus į dvi komandas, kad užsakymas būtų įvykdytas per trumpiausią laiką, jei abi komandos pradės dirbti vienu metu, o kiekviena iš komandų užsiima tik vieno tipo dalių gamyba?

Kiekvienoje iš dviejų gamyklų dirba po 100 žmonių. Pirmoje gamykloje vienas darbuotojas per pamainą pagamina 3 dalis A arba 1 dalį B. Antroje gamykloje reikia t^2 žmogaus pamainų, kad pagamintų t dalių (ir A, ir B).

Abi šios gamyklos tiekia gamyklai dalis, iš kurių surenka gaminį, kurio gamybai reikia 1 dalies A ir 3 dalių B. Tuo pačiu metu gamyklos susitaria gaminti dalis taip, kad būtų kuo daugiau gaminių. galima surinkti. Kiek gaminių gamykla gali surinkti per pamainą tokiomis sąlygomis?

2014 m. gruodžio 17 d. Anna iš banko pasiskolino 232 050 rublių už 10% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 17 dieną bankas skaičiuoja palūkanas už likusią skolos sumą, o tada Anna perveda bankui X rublius. Kokia turi būti X suma, kad Anna grąžintų visą skolą keturiais vienodais mokėjimais?

Šitie yra:
- kiekvieno mėnesio 1 dieną skola išauga 3%, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
– Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.
Kokią sumą reikia grąžinti bankui per pirmuosius skolinimo metus (pirmuosius 12 mėnesių)?

Pagal verslo planą į ketverių metų projektą planuojama investuoti 10 mln. Kiekvienų metų pabaigoje, palyginti su metų pradžia, planuojama investuotas lėšas padidinti 15 proc. Sukauptos palūkanos lieka investuotos į projektą. Be to, iškart po palūkanų kaupimo reikia papildomų investicijų: sveikasis skaičius n milijonų rublių pirmaisiais ir antraisiais metais, taip pat sveikasis skaičius m milijonų rublių trečiaisiais ir ketvirtaisiais metais.

Raskite mažiausias n ir m vertes, kurioms pradinė investicija per dvejus metus padvigubės, o per ketverius metus – bent trigubai

Dviejuose regionuose dirba po 100 darbuotojų, kurių kiekvienas nori dirbti po 10 valandų per dieną kasant aliuminį arba nikelį. Pirmoje srityje vienas darbuotojas per valandą išgauna 0,3 kg aliuminio arba 0,1 kg nikelio. Antrame regione, norint išgauti x kg aliuminio per dieną, reikia x^2 žmogaus darbo valandų, o norint išgauti q kg nikelio per dieną reikia y^2 žmogaus valandų darbo.

Abu regionai iškastą metalą tiekia gamyklai, kur pramonės reikmėms gaminamas aliuminio ir nikelio lydinys, kuriame 2 kg aliuminio sudaro 1 kg nikelio. Tuo pačiu metu regionai tarpusavyje susitaria iškasti metalus, kad gamykla galėtų pagaminti didžiausią lydinio kiekį. Kiek kilogramų lydinio augalas gali pagaminti per dieną tokiomis sąlygomis?

Kiek metų planuojate imti paskolą, jei žinote, kad bendra įmokų suma po visiško jos grąžinimo bus 18 milijonų rublių?

Ūkininkas turi du laukus, kurių kiekvieno plotas po 10 hektarų. Kiekviename lauke galite auginti bulves ir burokėlius, laukus galima padalyti tarp šių kultūrų bet kokia proporcija. Pirmajame lauke bulvių derlius 500 c/ha, o antrame - 300 c/ha. Burokėlių derlius pirmame lauke 300 c/ha, o antrajame - 500 c/ha.
Ūkininkas gali parduoti bulves už 2000 rublių. už šimtą svorio, o burokėliai - už 3000 rublių kainą. procento centnerio. Kokias didžiausias pajamas gali gauti ūkininkas?

Birželio 10 dieną iš banko paėmėme paskolą 15 mėn. Be to, kiekvieno mėnesio 3 dieną skola išauga procentais, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga, nuo kiekvieno mėnesio 4 iki 9 dienos reikia sumokėti dalį skolos, o 10 dieną skola tokia pati suma atėmus skolą praėjusio mėnesio 10 d.

Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 1 proc.;

Nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;

Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola. Yra žinoma, kad per pirmuosius 12 mėnesių turite sumokėti bankui 177,75 tūkst. Kiek planuojate skolintis?

Verslininkas nusipirko pastatą ir planuoja jame atidaryti viešbutį. Viešbutyje gali būti standartinių kambarių, kurių plotas yra 21 kvadratinis metras, ir apartamentų, kurių plotas yra 49 kvadratinių metrų. bendro ploto, kurį galima skirti kambariams, yra 1099 kv.m. Verslininkas gali padalyti šią zoną tarp skirtingų patalpų tipų, kaip nori. Įprastas kambarys viešbučiui atneša 2000 rublių per dieną, o prabangus kambarys - 4500 rublių per dieną. Kokią didžiausią pinigų sumą verslininkas gali uždirbti iš savo viešbučio?

– Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.

Yra žinoma, kad per pastaruosius 12 mėnesių turite sumokėti bankui 1597,5 tūkst. Kiek planuojate skolintis?

Sausio 15 dieną planuojama pasiimti banko paskolą 14 mėn. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola padidėja r%, lyginant su praėjusio mėnesio pabaiga;
- nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia sumokėti dalį skolos;
– Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.
Yra žinoma, kad bendra įmokų suma po visiško paskolos grąžinimo yra 15 proc. daugiau nei suma, paimtas kreditu. Rasti r.

2001 metų pradžioje Aleksejus įsigijo vertybinį popierių už 7000 rublių. Kiekvienų metų pabaigoje popieriaus kaina pakyla 2000 rublių. Bet kurių metų pradžioje Aleksejus gali parduoti popierių ir įnešti pajamas į banko sąskaitą. Kiekvienais metais suma sąskaitoje didės 10 proc. Kokių metų pradžioje Aleksejus turėtų parduoti vertybinį popierių, kad po penkiolikos metų nuo šio vertybinio popieriaus įsigijimo suma banko sąskaitoje būtų didžiausia?

Gregory yra dviejų gamyklų skirtinguose miestuose savininkas. Gamyklos gamina lygiai tokias pačias prekes, tačiau antrame mieste įsikūrusi gamykla naudoja pažangesnę įrangą.

Dėl to, jei gamyklos, esančios pirmame mieste, darbuotojai per savaitę iš viso dirba t^2 valandas, tai per šią savaitę jie pagamina 3t prekių vienetų; jei antrame mieste esančioje gamykloje darbuotojai per savaitę iš viso dirba t^2 valandas, tai per šią savaitę pagamina 4t prekių vienetų.
- kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 10 proc.;
- kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais būtina grąžinti dalį skolos;
- kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola už praėjusių metų liepą.
Kiek milijonų rublių buvo bendra įmokų suma grąžinus paskolą?

Liepą tam tikram laikotarpiui planuojama paimti banko paskolą 6 mln. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieną sausį skola, palyginti su praėjusių metų pabaiga, padidėja 20 proc.;
- kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais būtina grąžinti dalį skolos;
- kiekvienų metų liepos mėnesį skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei skola už praėjusių metų liepą.
Kokiam minimaliam laikotarpiui reikėtų imti paskolą, kad didžiausia metinė paskolos įmoka neviršytų 1,8 milijono rublių?

Liepos mėnesį planuojama paimti 4 026 000 rublių paskolą. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
– kiekvieną sausį skola, lyginant su praėjusių metų pabaiga, išauga 20 proc.
– kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais reikia sumokėti dalį skolos.
Kiek daugiau rublių turėsite sumokėti, jei paskola bus visiškai grąžinta keturiomis vienodomis įmokomis (tai yra per 4 metus), palyginti su tuo atveju, jei paskola bus visiškai grąžinta dviem lygiais mokėjimais (tai yra per 2 metus)?

Liepos mėnesį planuojama paimti banko paskolą 100 000 rublių. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:
- kiekvieną sausį skola, lyginant su praėjusių metų pabaiga, išauga %;
– kiekvienų metų vasario – birželio mėnesiais būtina sumokėti dalį skolos.
Raskite skaičių a, jei žinoma, kad paskola buvo visiškai grąžinta per dvejus metus, o pirmaisiais metais buvo pervesta 55 000, o antraisiais - 69 000 rublių.

3900 tūkstančių rublių suma buvo įdėta į banką su 50% per metus. Pasibaigus kiekvieniems pirmiems ketveriems saugojimo metams, apskaičiavęs palūkanas, indėlininkas į sąskaitą papildomai įnešė tiek pat pinigų. nustatyta suma. Iki penktų metų pabaigos, sukaupus palūkanas, paaiškėjo, kad indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725 proc. Kokią sumą investuotojas kasmet pridėdavo prie indėlio?

Verslininkas iš banko paėmė paskolą 9 930 000 rublių su 10% per metus. Paskolos grąžinimo schema: kartą per metus klientas turi sumokėti bankui tą pačią sumą, kuri susideda iš dviejų dalių. Pirmoji dalis yra 10% likusios skolos sumos, o antroji dalis skirta likusiai skolos sumai padengti. Kiekvienais vėlesniais metais palūkanos skaičiuojamos tik nuo likusios skolos sumos. Koks jis turėtų būti metinė suma mokėjimai (rubliais), kad verslininkas visiškai grąžintų paskolą trimis lygiomis įmokomis?

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime 17 užduoties uždavinių sprendimą, kuriame reikia optimaliai paskirstyti produkciją, kad būtų gautas didžiausias pelnas.

1 užduotis. Konservų fabrikas vaisių kompotus gamina dviejų tipų induose – stiklinėje ir skardinėje. Gamyklos gamybiniai pajėgumai leidžia per dieną pagaminti 90 centnerių kompotų stiklinėje arba 80 centnerių skardinėje taroje. Siekiant atitikti prekybos tinklų keliamus asortimento reikalavimus, kiekvieno tipo taroje turi būti pagaminta ne mažiau kaip 20 centnerių produkcijos. Lentelėje parodyta augalų savikaina ir pardavimo kaina už 1 centnerį produktų abiejų tipų konteineriams.

Darant prielaidą, kad visa augalo produkcija yra paklausi (parduodama be rezervo), raskite maksimalų įmanomą augalo pelną per vieną dieną (pelnas yra skirtumas tarp visos produkcijos pardavimo kainos ir jos savikainos).

Pelno dydis priklauso nuo to, kaip bus paskirstyti gamybiniai pajėgumai gamykloje, tai yra, kokia pajėgumų dalis bus nukreipta kompotų gamybai stiklinėje taroje, o kokia dalis – skardoje. Vertę, nuo kurios priklauso pelnas, laikysime nežinoma.

Tegul vertė yra gamyklos pajėgumo dalis, skirta gaminti kompotus stiklinėje taroje. Tada likusi talpa, tai yra, skirta gaminti kompotus skardinėse talpyklose.

Tokiu atveju gamykla gamins centnerius kompoto stikliniuose induose ir centnerius skardiniuose induose.

Pelnas iš šimto svorio produkto yra lygus skirtumui tarp pardavimo kainos ir savikainos. Taigi

1 centneris kompotų stiklinėje taroje neša pelną RUR

1 centneris kompotų skardinėse induose duoda rublių pelno

Dėl to gautas pelnas, priklausomai nuo

Supaprastinkime funkcijos išraišką

Koeficientas at yra didesnis už nulį, todėl tai yra didėjanti funkcija ir kuo didesnė reikšmė, tuo didesnis pelnas. Tačiau atsižvelgiant į problemos sąlygas, neįmanoma skirti visų pajėgumų kompotų gamybai stiklinėje taroje: Tam, kad būtų įvykdytos prekybos tinklų keliamos asortimento sąlygos, kiekvieno tipo taroje turi būti pagaminta ne mažiau kaip 20 centnerių produkcijos.

Raskime, kokią dalį pajėgumų reikia skirti kompotų gamybai skardinėse talpyklose:

Dalį bendros gamyklos pajėgumų būtina skirti kompotų skardinėje taroje gamybai, todėl daugiausiai visų pajėgumų galima skirti kompotų stiklinėje taroje gamybai.

Atsakymas:.

2 užduotis. Ūkininkas turi du laukus, kurių kiekvieno plotas po 10 hektarų. Kiekviename lauke galite auginti bulves ir burokėlius, laukus galima padalyti tarp šių kultūrų bet kokia proporcija. Pirmajame lauke bulvių derlius 500 c/ha, o antrame - 300 c/ha. Burokėlių derlius pirmame lauke 300 c/ha, o antrame – 500 c/ha.

Ūkininkas gali parduoti bulves už 5000 rublių. centnerių, o burokėliai - 8000 rublių kaina. procento centnerio. Kokias didžiausias pajamas gali gauti ūkininkas?

(iš rinkinio Tipinės matematikos testo užduotys, redagavo I. V. Jaščenko. 2016 m.)

Ūkininko pajamos priklauso nuo to, kaip kiekvieno lauko plotas pasiskirsto tarp bulvių ir burokėlių sodinimo.

Tegul ūkininkas pirmame lauke skiria hektarą bulvėms. Tada lieka hektaras runkeliams.

Pirmajame lauke bulvių derlius – 500 c/ha, o burokėlių – 300 c/ha.

Tokiu atveju pelnas iš pirmojo lauko bus - mes turime didėjančią funkciją, kuri įgauna didžiausią reikšmę maksimaliai. Kadangi ūkininkas nesusiduria su apribojimais paskirstyti sodinimo plotus tarp bulvių ir burokėlių, jam apsimoka visą pirmąjį lauką atiduoti bulvėms, tada jis gaus pelno:

Įtrinti.

Tą patį padarykime su antruoju lauku.

Antrame lauke ūkininkas tegul skiria hektarą bulvėms. Tada lieka hektaras runkeliams.

Antrame lauke bulvių derlius – 300 c/ha, runkelių – 500 c/ha.

Gerai pagalvojus, čia net nereikia kurti funkcijos, nes antrojo lauko burokėlių derlius yra didesnis nei bulvių, o šimtasvorių burokėlių savikaina taip pat didesnė. Todėl akivaizdu, kad ūkininkui labiau apsimoka antrame lauke auginti tik burokėlius. Tokiu atveju pelnas iš antrojo lauko bus

Įtrinti.

Bendras ūkininko pelnas yra Rs.

Atsakymas:

Vieningas valstybinis egzaminas matematikos profilio lygiu

Darbą sudaro 19 užduočių.
1 dalis:
8 pagrindinio sunkumo lygio trumpų atsakymų užduotys.
2 dalis:
4 trumpų atsakymų užduotys
7 užduotys su išsamiais atsakymais aukštas lygis sunkumų.

Veikimo trukmė – 3 valandos 55 minutės.

Vieningo valstybinio egzamino užduočių pavyzdžiai

Matematikos vieningo valstybinio egzamino užduočių sprendimas.

Norėdami tai išspręsti patys:

1 kilovatvalandė elektros kainuoja 1 rublį 80 kapeikų.
Elektros skaitiklis lapkričio 1 dieną rodė 12 625 kilovatvalandes, o gruodžio 1 dieną – 12 802 kilovatvalandes.
Kiek turėčiau mokėti už elektrą lapkričio mėn.
Atsakymą pateikite rubliais.

Problema su sprendimu:

Taisyklingoje trikampėje piramidėje ABCS su pagrindu ABC žinomos šios briaunos: AB = 5 šaknys iš 3, SC = 13.
Raskite kampą, kurį sudaro pagrindo plokštuma ir tiesė, einanti per kraštinių AS ir BC vidurį.

Sprendimas:

1. Kadangi SABC yra taisyklingoji piramidė, tai ABC yra lygiakraštis trikampis, o likusios briaunos yra lygiašoniai trikampiai.
Tai reiškia, kad visos pagrindo kraštinės yra lygios 5 sqrt (3), o visi šoniniai kraštai yra lygūs 13.

2. Tegul D yra BC vidurio taškas, E yra AS vidurio taškas, SH yra aukštis, nusileidęs nuo taško S iki piramidės pagrindo, EP aukštis, nusileidęs nuo taško E iki piramidės pagrindo.

3. Raskite AD iš stačiojo trikampio CAD, naudodami Pitagoro teoremą. Pasirodo, 15/2 = 7,5.

4. Kadangi piramidė yra taisyklinga, tai taškas H yra trikampio ABC aukščių/medianų/pusiauklių susikirtimo taškas, todėl AD dalijasi santykiu 2:1 (AH = 2 AD).

5. Raskite SH iš stačiojo trikampio ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, pagal Pitagoro teoremą SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trikampiai AEP ir ASH yra stačiakampiai ir turi bendrą kampą A, todėl panašūs. Pagal sąlygą AE = AS/2, o tai reiškia, kad AP = AH/2 ir EP = SH/2.

7. Belieka atsižvelgti į stačiakampį trikampį EDP (mes tiesiog domina kampas EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

kampo liestinė EDP = EP/DP = 6/5,
Kampas EDP = arctan (6/5)

Atsakymas:

Vieningas valstybinis egzaminas 2019 matematikos 17 užduotis su sprendimu

2019 m. vieningo valstybinio matematikos egzamino demonstracinė versija

Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 2019 pdf formatu Pagrindinis lygis | Profilio lygis

Pasirengimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui užduotys: pagrindinis ir specializuotas lygis su atsakymais ir sprendimais.

Finansų matematika

Už teisingai atliktą užduotį be klaidų gausite 3 taškai.

Tai užtrunka maždaug 35 minutes.

Norėdami išspręsti 17 užduotį profilio lygio matematikoje, turite žinoti:

1. Užduotis suskirstyta į keletą tipų:
   • užduotys, susijusios su bankais, indėliais ir paskolomis;
   • optimalaus pasirinkimo problemos.
2. Mėnesio įmokos apskaičiavimo formulė: S kreditas = S/12 t
3. Paprastų palūkanų apskaičiavimo formulė: S =α (1 + tp/m)
4. Skaičiavimo formulė sudėtinės palūkanos: C = x (1 + a%)n

procentai – tai yra viena šimtoji bet kokios vertės dalis.

• x*(1 + p/100) – reikšmė x padidėjo p%
• x*(1 – k/100) – reikšmė x sumažėjo k%
• x*(1 + p/100) k – reikšmė x padidėjo p% k kartą
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – reikšmė X pirmiausia padidėjo p%, o vėliau sumažėjo k%

Užduotys grąžinti paskolą lygiomis dalimis:

Paskolos suma imama kaip X. banko palūkanos – A. paskolos grąžinimas – S.

Praėjus vieneriems metams po to, kai suskaičiuojamos palūkanos ir sumokama suma S skolos suma - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Skolos suma po 2 metų: (xp – S)p – S
• Skolos suma po 3 metų: ((xp – S)p – S)p – S
• Skolos suma per n metai: xp n – S(p n-1 + … + p 3 + p 2 + p + 1)

Užduotys treniruotėms

Sausio 15 dieną planuojama šešiems mėnesiams paimti banko paskolą 1 mln. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

• Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola padidėja r procentais, palyginti su praėjusio mėnesio pabaiga, kur r- sveikasis skaičius;
• nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
• Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tam tikra suma pagal toliau pateiktą lentelę.

Raskite didžiausią vertę r, kuriame bendra mokėjimų suma bus mažesnė nei 1,2 milijono rublių.


Sprendimas

1. 9 mėn. Grąžinimo sąlygos yra tokios:

   • Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola padidėja r procentų, palyginti su praėjusio mėnesio pabaiga, ir r− sveikasis skaičius;
   • nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 19 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
   • Kiekvieno mėnesio 20 dieną skola turi būti tam tikra suma, nurodyta šioje lentelėje:

   Raskite didžiausią r reikšmę, kai bendra mokėjimų suma neviršija 2 milijonų rublių.

   
   Sprendimas

2. Alisa ketina imti banko paskolą 10 mėnesių. Banko darbuotojai jai pateikė šią informaciją apie paskolą:

   • Mėnesio pabaigoje likusi paskolos suma padidėja ta pačia mėnesio suma palūkanų norma ir sumažinama Alisos sumokėta suma.
   • Paskolos įmokų sumos kiekvieno mėnesio pabaigoje yra vienodos ir parenkamos taip, kad kiekvieną mėnesį paskolos suma mažėtų tolygiai.
   • Bendra Alisos sumokėta pinigų suma viršys paskolos sumą 60%.

   Raskite mėnesinę paskolos palūkanų normą.

   
   Sprendimas

3. Standartas 2014 m darbo užmokestis vienam asmeniui per mėnesį Primorsky teritorijoje buvo 23 040 rublių. Kiekvienais metais pajamos procentais didėjo 50. O Chabarovsko krašte standartinis atlyginimas vienam žmogui per mėnesį 2014 metais buvo 45 000 rublių. Kiekvienais metais Chabarovsko krašto gyventojų procentas nuo visų pajamų trejus metus didėjo 44, kasmet gyventojų procentas didėjo q. Standartinis mėnesinis atlyginimas Primorsky krai ir Chabarovsko sritis prilygsta 2017 m. Rasti q.