Kaya, ayon sa quadratic form reduction theorem, para sa anumang quadratic form \(A(x,x)\) mayroong isang canonical na batayan \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\)\), kaya na para sa anumang vector \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k \eta _k ^2. \] Dahil ang \(A(x,x)\) ay real-valued, at ang aming mga pagbabago sa batayan ay kinabibilangan lamang ng mga tunay na numero, napagpasyahan namin na ang mga numerong \(\lambda _k\) ay totoo. Kabilang sa mga numerong ito ay may positibo, negatibo at katumbas ng zero.

Kahulugan. Ang numerong \(n_+\) ng mga positibong numero \(\lambda _k\) ay tinatawag positibong index ng parisukat na anyo \(A(x,x)\) , ang numerong \(n_-\) ng mga negatibong numero \(\lambda _k\) ay tinatawag negatibong index ng parisukat na anyo , ang numerong \((n_++n_-)\) ay tinatawag ang ranggo ng parisukat na anyo . Kung \(n_+=n\), ang quadratic form ay tinatawag positibo .

Sa pangkalahatan, ang pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa isang dayagonal na anyo ay naisasakatuparan sa higit sa isang paraan. Ang tanong ay lumitaw: ang mga numero ba \(n_+\), \(n_-\) ay nakasalalay sa pagpili ng isang batayan kung saan ang parisukat na anyo ay dayagonal?

Teorama (Law of inertia of quadratic forms). Ang positibo at negatibong mga indeks ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa kung paano ito mababawasan sa canonical na anyo.

Hayaang magkaroon ng dalawang canonical base, \(\(f\)\), \(\(g\)\), upang ang anumang vector \(x\) ay maaaring katawanin bilang: \[ x=\sum_(k= 1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] kung saan \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= ​​\sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Hayaan sa \(\lambda _k\) ang unang \(p\) ay positibo, ang iba ay negatibo o sero, sa \(\mu_m\) ang unang \(s\) positibo , ang iba ay negatibo o sero. Kailangan nating patunayan na \(p=s\). Isulat muli (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] upang ang lahat ng mga termino ay nasa ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay hindi negatibo. Ipagpalagay na ang \(p\) at \(s\) ay hindi pantay, halimbawa, \(p

Napatunayan namin na ang mga positibong indeks ay nagtutugma. Katulad nito, mapapatunayan ng isa na ang mga negatibong indeks ay nag-tutugma din. h.t.d.

1. I-convert ang mga parisukat na anyo sa kabuuan ng mga parisukat:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Mga indibidwal na aralin sa online: Magpadala ng katanungan ngayon: ut2018 [email protected]
Matematika (GAMIT, OGE), wikang Ingles(kolokyal, gramatika, TOEFL)
Pagtugon sa suliranin: sa matematika, IT, ekonomiya, sikolohiya Batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo
Mga portable na Windows application sa Bodrenko.com

§ 4. Batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo. Pag-uuri ng mga parisukat na anyo

1. Ang batas ng inertia ng mga parisukat na anyo. Napansin na natin (tingnan ang Remark 2, aytem 1 ng nakaraang seksyon) na ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng bilang ng mga nonzero canonical coefficients. Kaya, ang bilang ng mga non-zero canonical coefficient ay hindi nakadepende sa pagpili ng isang non-degenerate transformation kung saan ang anyo A(x, x) ay nababawasan sa canonical form. Sa katunayan, ang anumang paraan ng pagbabawas ng form na A(x, x) sa canonical form ay hindi nagbabago sa bilang ng positibo at negatibong canonical coefficient. Ang ari-arian na ito ay tinatawag na batas ng inertia ng mga parisukat na anyo.
Bago magpatuloy sa pagbibigay-katwiran ng batas ng pagkawalang-galaw, gumawa tayo ng ilang mga puna.
Hayaang matukoy ang anyong A(x, x) sa batayan e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) ng matrix A(e) = (a ij ):

kung saan ang ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n ay ang mga coordinate ng vector x sa batayang e. Ipagpalagay natin na ang form na ito ay nabawasan sa canonical form gamit ang isang non-degenerate coordinate transformation

kung saan λ 1 , λ 2 ,..., λ k ay mga non-zero canonical coefficient na binibilang upang ang unang q ng mga coefficient na ito ay positibo at ang mga sumusunod na coefficient ay negatibo:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.

Isaalang-alang ang sumusunod na non-degenerate coordinate transformation μ i (madaling makita na ang determinant ng pagbabagong ito ay nonzero):

Bilang resulta ng pagbabagong ito, ang anyo na A(x, x) ay kukuha ng anyo

tinatawag na normal na anyo ng parisukat na anyo.
Kaya, sa tulong ng ilang non-degenerate coordinate transformation ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n ng vector x sa batayan e = (e 1 , e 2 ,..., e n )

(ang pagbabagong ito ay produkto ng mga pagbabagong-anyo ng ξ sa μ at μ sa η ng mga formula (7.30)) ang parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa normal na anyo (7.31).
Patunayan natin ang sumusunod na pahayag.
Theorem 7.5 (batas ng inertia ng mga quadratic form). Ang bilang ng mga terminong may positibong (negatibong) coefficient sa normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi nakadepende sa kung paano binabawasan ang anyo sa anyong ito.
Patunay. Hayaan ang form na A(x, x) na bawasan sa normal na anyo (7.31) sa tulong ng isang non-degenerate coordinate transformation (7.32) at, sa tulong ng isa pang non-degenerate coordinate transformation, ay bawasan sa normal na anyo

Malinaw, upang patunayan ang teorama, ito ay sapat na upang mapatunayan ang bisa ng pagkakapantay-pantay p = q.
Hayaan ang p > q. Patunayan natin na sa kasong ito ay mayroong isang di-zero na vector x na, na may paggalang sa mga base kung saan ang anyo A(x, x) ay may anyo (7.31) at (7.33), ang mga coordinate η 1 , η 2 , ..., η q at ζ p+1 , ..., ζ n ng vector na ito ay katumbas ng zero:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)

Dahil ang mga coordinate η i nakuha sa pamamagitan ng non-degenerate transformation (7.32) ng mga coordinate ξ 1 , ..., ξ n , at ang mga coordinate ζ i- sa tulong ng isang katulad na di-degenerate na pagbabagong-anyo ng parehong mga coordinate ξ 1 , ..., ξ n , kung gayon ang mga relasyon (7.34) ay maaaring isaalang-alang bilang isang sistema ng linear homogeneous equation na may paggalang sa mga coordinate ξ 1, .. ., ξ n ng gustong vector x sa batayan e = ( e 1 , e 2 ,..., e n ) (halimbawa, sa pinalawak na anyo, ang kaugnayan η 1 = 0 ay mayroong, ayon sa (7.32), ang bumuo ng 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n\u003d 0)- Dahil ang р> q, kung gayon ang bilang ng mga homogenous na equation (7.34) ay mas mababa sa n, at samakatuwid ang system (7.34) ay may non-zero na solusyon na may paggalang sa mga coordinate ξ 1, ..., ξ n ng gustong vector x. Samakatuwid, kung p > q, mayroong isang hindi-zero na vector x kung saan ang mga relasyon (7.34) ay nagtataglay.
Kalkulahin ang halaga ng form na A(x, x) para sa vector x na ito. Bumaling sa mga relasyon (7.31) at (7.33), nakuha namin

Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring maganap lamang sa kaso η q+1 = ... = η k = 0 at ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Kaya, sa ilang batayan, lahat ng mga coordinate ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ n ang nonzero vector x ay katumbas ng zero (tingnan ang mga huling pagkakapantay-pantay at relasyon (7.34)), i.e. ang vector x ay zero. Samakatuwid, ang pagpapalagay na p > q ay humahantong sa isang kontradiksyon. Sa pamamagitan ng kahalintulad na pagsasaalang-alang, ang pagpapalagay na p< q.
Kaya p = q. Napatunayan na ang theorem.
2. Pag-uuri ng mga parisukat na anyo. Sa Seksyon 1, Seksyon 2 ng kabanatang ito (tingnan ang Depinisyon 2), ipinakilala ang mga konsepto ng positive definite, negative definite, sign-variable, at quasi-sign-definite quadratic form.
Sa subsection na ito, gamit ang mga konsepto ng index ng inertia, positibo at negatibong mga indeks ng inertia ng parisukat ng isang form, ipinapahiwatig namin kung paano posible na malaman kung ang isang quadratic form ay kabilang sa isa o isa pa sa mga uri na nakalista sa itaas. Sa kasong ito, ang index ng inertia ng isang quadratic form ay ang bilang ng mga non-zero canonical coefficient ng form na ito (i.e., ranggo nito), ang positive index ng inertia ay ang bilang ng mga positive canonical coefficients, at ang negatibong index ng inertia ay ang bilang ng mga negatibong canonical coefficient. Malinaw na ang kabuuan ng positibo at negatibong inertia index ay katumbas ng inertia index.
Kaya, hayaan ang index ng inertia, ang positibo at negatibong mga indeks ng inertia ng quadratic form na A(x, x), ayon sa pagkakabanggit, ay k, p at q (k = p + q). Sa nakaraang talata, napatunayan ito. na sa anumang kanonikal na batayan f = (f 1 , f 2 , ..., f n) ang form na ito ay maaaring bawasan sa sumusunod na normal na anyo:

kung saan ang η 1 , η 2 , ..., η n ay ang mga coordinate ng vector x sa batayan f .
1°. Kailangan at sapat na kondisyon para sa sign-definiteness ng isang quadratic form. Ang sumusunod na pahayag ay totoo.
Upang maging sign-definite ang quadratic form A(x, x) na ibinigay sa n-dimensional linear space L, kinakailangan at sapat na ang alinman sa positive index ng inertia p o ang negatibong index ng inertia q ay katumbas ng ang sukat n ng espasyo L.
Bukod dito, kung p \u003d n, kung gayon ang form ay positibong tiyak, ngunit kung q \u003d n, kung gayon ang form ay negatibong tiyak.
Patunay. Dahil ang mga kaso ng positibong tiyak na anyo at negatibong tiyak na anyo ay tinatrato nang magkatulad, patunayan namin ang assertion para sa positibong tiyak na anyo.
1) Pangangailangan. Hayaang maging positibong tiyak ang anyo A(x, x). Pagkatapos ang expression (7.35) ay kinuha ang form

A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.

Kung sa parehong oras r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

ang anyo na A(x, x) ay naglalaho, at ito ay sumasalungat sa kahulugan ng isang positibong tiyak na parisukat na anyo. Samakatuwid, p = n.
2) Sapat. Hayaan ang p = n. Pagkatapos ang kaugnayan (7.35) ay may anyong А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 . Malinaw na ang A(x, x) ≥ 0, bukod dito, kung A = 0, kung gayon η 1 = η 2 = ... = η n= 0, ibig sabihin, ang vector x ay zero. Kaya ang A(x, x) ay isang positibong tiyak na anyo.
Magkomento. Upang linawin ang tanong ng sign-definiteness ng isang quadratic form sa tulong ng ipinahiwatig na criterion, dapat nating bawasan ang form na ito sa isang canonical form.
Sa susunod na subsection, pinatutunayan namin ang Sylvester criterion para sa sign-definiteness ng isang quadratic form, sa tulong kung saan maaaring linawin ng isa ang tanong ng sign-definiteness ng isang form na ibinigay sa anumang batayan nang walang pagbabawas sa canonical form.
2°. Isang Kinakailangan at Sapat na Kondisyon para sa Pagbabago ng Sign ng isang Quadratic Form. Patunayan natin ang sumusunod na pahayag.
Para maging sign-alternating ang isang quadratic form, kinakailangan at sapat na ang parehong positibo at negatibong mga indeks ng inertia ng form na ito ay hindi zero.
Patunay. 1) Pangangailangan. Dahil ang alternating form ay may parehong positibo at negatibong mga halaga, ang G.35) na representasyon nito sa normal na anyo ay dapat maglaman ng parehong positibo at negatibong mga termino (kung hindi, ang form na ito ay kukuha ng alinman sa hindi negatibo o hindi positibong mga halaga). Samakatuwid, ang parehong positibo at negatibong mga indeks ng inertia ay hindi zero.
2) Sapat. Hayaan ang p ≠ 0 at q ≠ 0. Pagkatapos para sa vector x 1 , na may mga coordinate η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 mayroon kaming A(x 1 x 1) > 0, at para sa vector x 2 na may mga coordinate η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 mayroon kaming A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Kailangan at sapat na kundisyon para ang isang parisukat na anyo ay mala-signed. Ang sumusunod na pahayag ay totoo.
Upang ang form na A(x, x) ay maging quasi-sign-definite, ito ay kinakailangan at sapat na ang mga sumusunod na relasyon ay hawakan: alinman sa p< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Patunay. Isinasaalang-alang namin ang kaso ng isang positibong quasi-definite na anyo. Ang kaso ng isang negatibong quasi-definite na anyo ay itinuturing na katulad.
1) Pangangailangan. Hayaang ang form na A(x, x) ay positibong quasi-sign-definite. Pagkatapos, malinaw naman, q = 0 at p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Sapat. Kung p< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 mayroon kaming A(x, x) = 0, i.e. Ang A(x, x) ay isang positibong quasi-sign na tiyak na anyo.
3. Sylvester's criterion (James Joseph Sylvester (1814-1897) - English mathematician) ng sign-definiteness ng isang quadratic form. Hayaang matukoy ang anyong A(x, x) sa batayan e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) ng matrix A(e) = (a ij ):

bumitaw Δ 1 \u003d isang 11, - angular minors at matrix determinant (а ij ). Ang sumusunod na pahayag ay totoo.
Theorem 7.6 (Sylvester's criterion). Upang ang parisukat na anyo A(x, x) ay maging positibong tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga hindi pagkakapantay-pantay Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 ay masiyahan.
Upang ang parisukat na anyo ay maging negatibong tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad ay kahalili, na may Δ 1< 0.
Patunay. 1) Pangangailangan. Patunayan muna natin na mula sa kondisyon ng sign-definiteness ng quadratic form A(x, x) ay sumusunod na Δ ako ≠ 0, i = 1, 2,..., n .
Tiyakin natin na ang pagpapalagay na Δ k= 0 ay humahantong sa isang kontradiksyon - sa ilalim ng pagpapalagay na ito, mayroong isang di-zero na vector x kung saan ang A(x, x) = 0, na sumasalungat sa sign-definiteness ng form.
Kaya hayaan ang Δ k= 0. Isaalang-alang ang sumusunod na square homogenous na sistema ng mga linear equation:

Dahil Δ k ay ang determinant ng sistemang ito at Δ k= 0, kung gayon ang sistema ay may nonzero na solusyon ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (hindi lahat ng ξ i ay katumbas ng 0). I-multiply namin ang una sa mga equation (7.36) sa ξ 1 , ang pangalawa sa ξ 2 , ..., ang huli sa ξ k at idagdag ang mga resultang ratios. Bilang resulta, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay , ang kaliwang bahagi nito ay ang halaga ng parisukat na anyo A(x, x) para sa isang di-zero na vector x na may mga coordinate (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Ang halagang ito ay katumbas ng zero, na sumasalungat sa sign-definiteness ng form.
Kaya, napatunayan namin na ang Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n . Samakatuwid, maaari nating ilapat ang pamamaraang Jacobi ng pagbabawas ng anyong A(x, x) sa kabuuan ng mga parisukat (tingnan ang Theorem 7.4) at gumamit ng mga formula (7.27) para sa mga canonical coefficients λ i. Kung ang A(x, x) ay isang positibong tiyak na anyo, kung gayon ang lahat ng mga canonical coefficient ay positibo. Ngunit pagkatapos ay sumusunod mula sa mga relasyon (7.27) na Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Kung ang A(x, x) ay isang negatibong tiyak na anyo, kung gayon ang lahat ng canonical coefficient ay negatibo. Ngunit pagkatapos ay sumusunod mula sa mga formula (7.27) na ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad ay kahalili, na may Δ 1< 0.
2) Sapat. Hayaan ang mga kundisyon na ipinataw sa mga angular na menor de edad Δ i sa pagbabalangkas ng teorama. Dahil Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n , kung gayon ang anyo A ay maaaring bawasan sa kabuuan ng mga parisukat sa pamamagitan ng pamamaraang Jacobi (tingnan ang Theorem 7.4), at ang canonical coefficients λ i ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula (7.27). Kung Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, kung gayon ang mga relasyon (7.27) ay nagpapahiwatig na ang lahat ng λ i> 0, ibig sabihin, ang anyo A(x, x) ay positibong tiyak. Kung ang mga palatandaan Δ i kahalili at Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo. Matrix ng quadratic form. Kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo. Paraan ng Lagrange. Ang normal na anyo ng isang parisukat na anyo. Ranggo, indeks at lagda ng isang parisukat na anyo. Positibong tiyak na parisukat na anyo. Quadrics.

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo: isang function sa isang vector space na ibinigay ng isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa mga coordinate ng vector.

parisukat na anyo mula sa n ng mga hindi alam ay tinatawag na kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga hindi alam na ito, o ang produkto ng dalawang magkaibang hindi alam.

Quadratic Matrix: Ang matrix ay tinatawag na matrix ng quadratic form sa ibinigay na batayan. Kung ang katangian ng patlang ay hindi katumbas ng 2, maaari nating ipagpalagay na ang matrix ng quadratic form ay simetriko, iyon ay, .

Sumulat ng isang matrix ng quadratic form:

Kaya naman,

Sa vector-matrix form, ang quadratic form ay:

Kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo: Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical kung lahat i.e.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang mga linear na pagbabago. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod na pamamaraan ay karaniwang ginagamit.

Paraan ng Lagrange : sunud-sunod na pagpili ng buong parisukat. Halimbawa, kung

Pagkatapos ang isang katulad na pamamaraan ay isinasagawa gamit ang parisukat na anyo, at iba pa. Kaya, kung, halimbawa, pagkatapos ay itinakda namin

Ang normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay: Ang normal na quadratic form ay isang canonical quadratic form kung saan ang lahat ng coefficient ay katumbas ng +1 o -1.

Ranggo, indeks at lagda ng isang parisukat na anyo: Ang ranggo ng parisukat na anyo PERO tinatawag na ranggo ng matris PERO. Ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay hindi nagbabago sa ilalim ng mga hindi nabubuong pagbabago ng mga hindi alam.

Ang bilang ng mga negatibong coefficient ay tinatawag na negatibong index ng hugis.

Ang bilang ng mga positibong termino sa canonical form ay tinatawag na positibong index ng inertia ng quadratic form, ang bilang ng mga negatibong termino ay tinatawag na negatibong index. Ang pagkakaiba sa pagitan ng positibo at negatibong mga indeks ay tinatawag na lagda ng quadratic form

Positibong tiyak na parisukat na anyo: Ang isang tunay na quadratic form ay tinatawag na positive-definite (negative-definite) kung para sa anumang tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay na katumbas ng zero

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive-definite (negative-definite) form ay bahagi ng klase ng non-negative (respectively, non-positive) forms.

Quads: Quadric - n-dimensional na hypersurface sa n+1-dimensional na espasyo, na tinukoy bilang set ng mga zero ng isang polynomial ng pangalawang degree. Kung ilalagay mo ang mga coordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (sa Euclidean o affine space), ang pangkalahatang quadric equation ay may anyo

Ang equation na ito ay maaaring muling isulat nang mas compact sa matrix notation:

kung saan x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) ay isang row vector, x T ay ang transposed vector, Q ay ang laki ng matrix ( n+1)×( n+1) (pinapalagay na kahit isa sa mga elemento nito ay nonzero), P ay isang row vector, at R ay isang pare-pareho. Kadalasan, ang mga quadric ay isinasaalang-alang sa tunay o kumplikadong mga numero. Ang kahulugan ay maaaring pahabain sa quadrics sa projective space, tingnan sa ibaba.

Sa pangkalahatan, ang hanay ng mga zero ng isang sistema ng mga polynomial equation ay kilala bilang isang algebraic variety. Kaya ang quadric ay isang (affine o projective) algebraic variety ng second degree at codimension 1.

Mga pagbabago sa eroplano at espasyo.

Depinisyon ng pagbabago ng eroplano. Kahulugan ng paggalaw. mga katangian ng paggalaw. Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri. Mga halimbawa ng paggalaw. Analytical expression ng paggalaw. Pag-uuri ng mga galaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya). Grupo ng mga galaw ng eroplano.

Depinisyon ng pagbabago ng eroplano: Kahulugan. Ang isang pagbabagong-anyo ng eroplano na nagpapanatili ng distansya sa pagitan ng mga punto ay tinatawag paggalaw(o displacement) ng eroplano. Ang pagbabago ng eroplano ay tinatawag affine, kung ito ay tumatagal ng anumang tatlong puntos na nakahiga sa parehong linya sa tatlong puntos na nakahiga din sa parehong linya at sa parehong oras ay pinapanatili ang simpleng relasyon ng tatlong puntos.

Depinisyon ng paggalaw: Ito ay isang pagbabago ng hugis na nagpapanatili ng mga distansya sa pagitan ng mga punto. Kung ang dalawang figure ay eksaktong pinagsama sa bawat isa sa pamamagitan ng paggalaw, ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

Mga katangian ng paggalaw: bawat paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang parallel na pagsasalin o isang pag-ikot; bawat paggalaw ng isang eroplano na nagbabago ng oryentasyon ay alinman sa isang axial symmetry o isang sliding symmetry. Ang mga puntos na nakahiga sa isang tuwid na linya, kapag gumagalaw, pumasa sa mga punto na nakahiga sa isang tuwid na linya, at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakaayos sa isa't isa ay napanatili. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya ay napanatili.

Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri: Ang mga paggalaw ng unang uri ay ang mga paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng mga base ng isang tiyak na pigura. Maaari silang maisasakatuparan sa patuloy na paggalaw.

Ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang mga paggalaw na nagbabago sa oryentasyon ng mga base sa kabaligtaran. Hindi sila maisasakatuparan sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga halimbawa ng mga paggalaw ng unang uri ay pagsasalin at pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya, at ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay sentral at mirror symmetry.

Ang komposisyon ng anumang bilang ng mga galaw ng unang uri ay isang galaw ng unang uri.

Ang komposisyon ng isang pantay na bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay isang kilusan ng unang uri, at ang komposisyon ng isang kakaibang bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay isang paggalaw ng ika-2 uri.

Mga halimbawa ng paggalaw:Parallel na paglipat. Hayaan ang isang maging isang ibinigay na vector. Ang parallel transfer sa vector a ay ang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat punto M ay nakamapa sa puntong M 1, na ang vector MM 1 ay katumbas ng vector a.

Ang parallel translation ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na pinapanatili ang mga distansya. Biswal, ang paggalaw na ito ay maaaring ilarawan bilang isang paglilipat ng buong eroplano sa direksyon ng isang naibigay na vector a sa pamamagitan ng haba nito.

Lumiko . Magtalaga tayo ng isang punto O sa eroplano ( pagliko sa gitna) at itakda ang anggulo α ( anggulo ng pag-ikot). Ang pag-ikot ng eroplano sa paligid ng puntong O sa pamamagitan ng anggulong α ay ang pagmamapa ng eroplano sa sarili nito, kung saan ang bawat puntong M ay nakamapa sa puntong M 1, na ang OM = OM 1 at ang anggulong MOM 1 ay katumbas ng α. Sa kasong ito, ang punto O ay nananatili sa lugar nito, ibig sabihin, ito ay ipinapakita sa sarili nito, at ang lahat ng iba pang mga punto ay umiikot sa paligid ng punto O sa parehong direksyon - clockwise o counterclockwise (ang figure ay nagpapakita ng isang counterclockwise na pag-ikot).

Ang pagliko ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na nagpapanatili ng mga distansya.

Analytical expression ng paggalaw: ang analytical na koneksyon sa pagitan ng mga coordinate ng pre-image at ang imahe ng punto ay may form (1).

Pag-uuri ng mga galaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya): Kahulugan:

Ang isang punto sa isang eroplano ay invariant (naayos) kung, sa ilalim ng isang ibinigay na pagbabago, ito ay nagbabago sa sarili nito.

Halimbawa: Sa gitnang simetrya, ang punto ng sentro ng simetriya ay invariant. Kapag lumiliko, ang punto ng gitna ng pag-ikot ay invariant. Sa axial symmetry, ang linya ay invariant - ang axis ng symmetry ay ang linya ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang paggalaw ay walang invariant point, kung gayon mayroon itong kahit isang invariant na direksyon.

Halimbawa: Parallel transfer. Sa katunayan, ang mga linyang parallel sa direksyon na ito ay invariant bilang isang figure sa kabuuan, bagama't hindi ito binubuo ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang ilang ray ay gumagalaw, ang sinag ay isasalin sa sarili nito, kung gayon ang paggalaw na ito ay alinman sa isang magkaparehong pagbabago, o isang simetriya na may kinalaman sa linyang naglalaman ng ibinigay na sinag.

Samakatuwid, ayon sa pagkakaroon ng mga invariant na puntos o figure, posibleng pag-uri-uriin ang mga paggalaw.

Pangalan ng paggalaw	Mga invariant na puntos	Mga linyang walang pagbabago
Ang paggalaw ng unang uri.
1. - lumiko	(gitna) - 0	Hindi
2. Pagbabago ng pagkakakilanlan	lahat ng punto ng eroplano	diretso lahat
3. Central symmetry	punto 0 - gitna	lahat ng linya na dumadaan sa point 0
4. Parallel transfer	Hindi	diretso lahat
Ang paggalaw ng pangalawang uri.
5. Axial symmetry.	hanay ng mga puntos	axis ng simetrya (tuwid) lahat tuwid

Grupo ng paggalaw ng eroplano: Sa geometry, ang mga grupo ng mga figure na nagkataon sa sarili ay may mahalagang papel. Kung - ilang figure sa eroplano (o sa espasyo), pagkatapos ay maaari naming isaalang-alang ang hanay ng lahat ng mga paggalaw ng eroplano (o espasyo), kung saan ang figure ay pumasa sa sarili nito.

Ang set na ito ay isang grupo. Halimbawa, para sa isang equilateral triangle, ang pangkat ng mga galaw ng eroplano na nagbabago sa tatsulok sa sarili nito ay binubuo ng 6 na elemento: mga pag-ikot sa pamamagitan ng mga anggulo sa paligid ng isang punto at mga simetriko tungkol sa tatlong linya.

Ang mga ito ay ipinapakita sa fig. 1 na may mga pulang linya. Ang mga elemento ng self-coincidence group ng isang regular na tatsulok ay maaaring tukuyin sa ibang paraan. Upang linawin ito, bilangin natin ang mga vertices ng isang regular na tatsulok na may mga numerong 1, 2, 3. maaaring may kundisyon na ilagay sa anyo ng isa sa mga bracket na ito:

kung saan ang mga numero 1, 2, 3 ay tumutukoy sa mga numero ng mga vertices kung saan pumasa ang mga vertex 1, 2, 3 bilang isang resulta ng itinuturing na paggalaw.

Projective space at ang kanilang mga modelo.

Konsepto ng projective space at modelo ng projective space. Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry. Ang isang grupo ng mga linya na nakasentro sa punto O ay isang projective plane model. projective points. Ang pinalawig na eroplano ay isang modelo ng projective plane. Ang pinahabang three-dimensional na affine o Euclidean space ay isang projective space model. Mga larawan ng plane at spatial figure sa parallel na disenyo.

Konsepto ng projective space at modelo ng projective space:

Ang projective space sa ibabaw ng field ay isang space na binubuo ng mga linya (one-dimensional subspaces) ng ilang linear space sa ibabaw ng isang partikular na field. Ang mga tuwid na espasyo ay tinatawag mga tuldok projective space. Ang kahulugang ito ay nagbibigay ng sarili sa pangkalahatan sa isang arbitraryong katawan

Kung ito ay may dimensyon , kung gayon ang dimensyon ng projective space ay tinatawag na numero , at ang projective space mismo ay tinutukoy at tinatawag na nauugnay sa (upang ipahiwatig ito, ang notasyon ay pinagtibay).

Ang paglipat mula sa isang vector space ng dimensyon sa kaukulang projective space ay tinatawag projectivization mga espasyo.

Maaaring ilarawan ang mga puntos gamit ang mga homogenous na coordinate.

Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry: Ang projective geometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga projective na eroplano at espasyo. Ang pangunahing tampok ng projective geometry ay ang prinsipyo ng duality, na nagdaragdag ng magandang simetrya sa maraming mga disenyo. Maaaring pag-aralan ang projective geometry kapwa mula sa isang purong geometric na punto ng view, at mula sa isang analytic (gamit ang homogenous na mga coordinate) at salgebraic point of view, na isinasaalang-alang ang projective plane bilang isang istraktura sa ibabaw ng isang field. Kadalasan, at ayon sa kasaysayan, ang tunay na projective plane ay itinuturing bilang Euclidean plane na may pagdaragdag ng "line at infinity".

Samantalang ang mga katangian ng mga figure na tinatalakay ng Euclidean geometry ay panukat(mga tiyak na halaga ng mga anggulo, mga segment, mga lugar), at ang pagkakapareho ng mga numero ay katumbas ng kanilang pagkakatugma(ibig sabihin, kapag ang mga figure ay maaaring isalin sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw habang pinapanatili ang mga metric na katangian), mayroong mas "mas malalim" na mga katangian ng mga geometric na figure na pinapanatili sa pamamagitan ng mga pagbabagong mas pangkalahatang uri kaysa sa paggalaw. Pinag-aaralan ng projective geometry ang mga katangian ng mga figure na invariant sa ilalim ng klase projective transformations, pati na rin ang mga pagbabagong ito mismo.

Ang projective geometry ay pinupunan ang Euclidean sa pamamagitan ng pagbibigay ng maganda at simpleng solusyon sa maraming problemang kumplikado ng pagkakaroon ng mga parallel na linya. Ang projective theory ng conic sections ay lalong simple at eleganteng.

Mayroong tatlong pangunahing diskarte sa projective geometry: independent axiomatization, karagdagan sa Euclidean geometry, at structure sa isang field.

Axiomatization

Maaaring tukuyin ang isang projective space gamit ang ibang hanay ng mga axiom.

Nagbibigay ang Coxeter ng sumusunod:

1. May linya at wala dito.

2. Mayroong hindi bababa sa tatlong puntos sa bawat linya.

3. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

4. Kung A, B, C, at D iba't ibang puntos at AB at CD bumalandra, pagkatapos AC at BD bumalandra.

5. Kung ABC ay isang eroplano, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto na wala sa eroplano ABC.

6. Dalawang magkaibang eroplano ang nagsalubong sa hindi bababa sa dalawang punto.

7. Hindi collinear ang tatlong diagonal na punto ng isang kumpletong quadrilateral.

8. Kung mayroong tatlong puntos sa isang tuwid na linya X X

Ang projective plane (nang walang ikatlong dimensyon) ay tinukoy ng medyo magkakaibang mga axiom:

1. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

2. Magsalubong ang alinmang dalawang linya.

3. Mayroong apat na puntos, kung saan walang tatlong collinear.

4. Hindi collinear ang tatlong diagonal na punto ng kumpletong quadrilaterals.

5. Kung mayroong tatlong puntos sa isang tuwid na linya X ay invariant sa ilalim ng projectivity ng φ, pagkatapos ay ang lahat ng mga puntos sa X ay invariant na may kinalaman sa φ.

6. Teorama ni Desargues: Kung ang dalawang tatsulok ay pananaw sa pamamagitan ng isang punto, kung gayon ang mga ito ay pananaw sa pamamagitan ng isang linya.

Sa pagkakaroon ng ikatlong dimensyon, ang teorama ni Desargues ay maaaring patunayan nang hindi ipinakilala ang perpektong punto at linya.

Pinalawak na eroplano - modelo ng projective na eroplano: sa isang affine space A3, kumuha ng bundle ng mga linyang S(O) na nakasentro sa isang punto O at isang eroplanong Π na hindi dumadaan sa gitna ng bundle: O 6∈ Π. Ang isang bundle ng mga linya sa isang affine space ay isang modelo ng projective plane. Itakda natin ang pagmamapa ng hanay ng mga punto ng eroplano Π sa hanay ng mga linya ng bundle na S (Damn, manalangin kung nakuha mo ang tanong na ito, pasensya na)

Extended three-dimensional affine o Euclidean space - projective space model:

Upang gawing surjective ang pagmamapa, inuulit namin ang proseso ng pormal na pagpapalawak ng affine plane Π sa projective plane, Π, na umaakma sa plane Π na may isang hanay ng mga hindi wastong puntos (M∞) tulad ng: ((M∞)) = P0(O). Dahil sa pagma-map ang kabaligtaran na imahe ng bawat eroplano ng bundle ng mga eroplanong S(O) ay isang linya sa eroplanong d, malinaw na ang hanay ng lahat ng hindi wastong punto ng pinalawig na eroplano: Π = Π ∩ (M∞) Ang , (M∞), ay isang hindi tamang linya d∞ ng extended plane na siyang kabaligtaran na imahe ng singular plane Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sumang-ayon tayo na dito at sa ibaba ay mauunawaan natin ang huling pagkakapantay-pantay na P0(O) = Π0 sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay ng mga puntos, ngunit pinagkalooban ng iba't ibang istruktura. Bilang pagpupuno sa affine plane na may hindi tamang linya, natiyak namin na ang pagmamapa (I.21) ay magiging bijective sa hanay ng lahat ng mga punto ng pinalawig na eroplano:

Mga larawan ng mga flat at spatial figure sa parallel na disenyo:

Sa stereometry, pinag-aaralan ang mga spatial figure, ngunit sa pagguhit ay inilalarawan sila bilang mga flat figure. Paano, kung gayon, dapat ilarawan ang isang spatial figure sa isang eroplano? Karaniwan sa geometry, parallel na disenyo ang ginagamit para dito. Hayaan akong maging isang eroplano, l- isang tuwid na linya na bumabagtas dito (Larawan 1). Sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto A, hindi kabilang sa linya l gumuhit ng isang linya parallel sa linya l. Ang punto ng intersection ng linyang ito sa plane p ay tinatawag na parallel projection ng punto A sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l. Ipahiwatig natin ito A". Kung ang punto A nabibilang sa linya l, pagkatapos ay ang parallel projection A sa eroplano p ay itinuturing na punto ng intersection ng linya l may eroplano p.

Kaya, ang bawat punto A ang espasyo ay nakamapa sa projection nito A" papunta sa eroplano p. Ang sulat na ito ay tinatawag na parallel projection papunta sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l.

Grupo ng mga projective na pagbabago. Aplikasyon sa paglutas ng problema.

Ang konsepto ng projective transformation ng eroplano. Mga halimbawa ng projective plane transformations. Mga katangian ng projective transformations. Homology, mga katangian ng homology. Grupo ng mga projective na pagbabago.

Ang konsepto ng isang projective plane transformation: Ang paniwala ng isang projective transformation ay nag-generalize ng ideya ng isang sentral na projection. Kung gagawin natin ang gitnang projection ng plane α papunta sa ilang plane α 1 , pagkatapos ay ang projection ng α 1 papunta sa α 2 , α 2 papunta sa α 3 , ... at, sa wakas, ilang plane α n muli sa α 1 , kung gayon ang komposisyon ng lahat ng mga projection na ito ay ang projective transformation ng eroplanong α; ang naturang chain ay maaaring magsama ng mga parallel projection.

Mga halimbawa ng pagbabago ng projective plane: Ang projective transformation ng isang augmented plane ay ang one-to-one na pagmamapa nito sa sarili nito, na nagpapanatili ng collinearity ng mga puntos, o, sa madaling salita, ang imahe ng anumang tuwid na linya ay isang tuwid na linya. Ang anumang projective transformation ay isang komposisyon ng isang chain ng central at parallel projection. Ang pagbabagong-anyo ng affine ay isang espesyal na kaso ng isang projective, kung saan ang linya sa infinity ay papasok sa sarili nito.

Mga katangian ng projective transformations:

Sa ilalim ng projective transformation, ang tatlong puntos na wala sa isang linya ay namamapa sa tatlong puntos na wala sa isang linya.

Sa ilalim ng projective transformation, ang frame ay napupunta sa frame.

Sa ilalim ng projective transformation, ang isang linya ay napupunta sa isang tuwid na linya, ang isang bigkis ay napupunta sa isang bigkis.

Homology, mga katangian ng homology:

Ang isang projective transformation ng isang eroplano na may linya ng mga invariant na puntos at samakatuwid ang isang lapis ng mga invariant na linya ay tinatawag na homology.

1. Ang isang linyang dumadaan sa katumbas na hindi magkakatulad na mga punto ng homology ay isang invariant na linya;

2. Ang mga linyang dumadaan sa mga katumbas na noncoinciding homology point ay nabibilang sa parehong lapis, ang gitna nito ay isang invariant point.

3. Ang isang punto, ang imahe nito, at ang sentro ng homology ay nasa parehong tuwid na linya.

Grupo ng mga projective na pagbabago: isaalang-alang ang projective mapping ng projective plane P 2 sa sarili nito, iyon ay, projective transformation ng plane na ito (P 2 ’ = P 2).

Tulad ng dati, ang komposisyon f ng projective transformations f 1 at f 2 ng projective plane P 2 ay resulta ng sunud-sunod na pagpapatupad ng mga transformation f 1 at f 2: f = f 2 °f 1 .

Theorem 1: Ang set H ng lahat ng projective transformations ng projective plane P 2 ay isang grupo sa ilalim ng komposisyon ng projective transformations.

Sa itaas ng field K (\displaystyle K) at e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- batayan sa L (\displaystyle L).

• Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng angular na menor de edad ng matris nito ay mahigpit na positibo.
• Ang isang parisukat na anyo ay negatibong tiyak kung at kung ang mga palatandaan ng lahat ng angular na menor de edad ng matrix nito ay kahalili, na ang order 1 menor ay negatibo.

Ang isang bilinear form na polar sa isang positibong tiyak na quadratic na anyo ay nakakatugon sa lahat ng mga axiom ng produkto ng tuldok.

Canonical View

totoong kaso

Kung kailan K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(ang larangan ng mga tunay na numero), para sa anumang parisukat na anyo ay may batayan kung saan ang matrix nito ay dayagonal, at ang anyo mismo ay may canonical view(normal na view):

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))

saan r (\displaystyle r) ay ang ranggo ng parisukat na anyo. Sa kaso ng isang non-degenerate quadratic form p + q = n (\displaystyle p+q=n), at sa kaso ng degenerate - p+q< n {\displaystyle p+q.

Upang bawasan ang isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo, ang pamamaraang Lagrange o orthogonal na pagbabagong-anyo ng batayan ay karaniwang ginagamit, at ang isang ibinigay na parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa isang kanonikal na anyo hindi sa isa, ngunit sa maraming paraan.

Numero q (\displaystyle q)(negatibong mga termino) ay tinatawag inertia index ibinigay na parisukat na anyo, at ang bilang p − q (\displaystyle p-q)(ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga positibo at negatibong termino) ay tinatawag lagda parisukat na anyo. Tandaan na kung minsan ang lagda ng isang parisukat na anyo ay isang pares (p , q) (\displaystyle (p,q)). Numero p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) ay mga invariant ng quadratic form, i.e. huwag umasa sa paraan ng pagbabawas nito sa canonical form ( Batas ng pagkawalang-galaw ni Sylvester).

kumplikadong kaso

Kung kailan K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(ang larangan ng kumplikadong mga numero), para sa anumang parisukat na anyo ay may batayan kung saan ang anyo ay may kanonikal na anyo

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))

saan r (\displaystyle r) ay ang ranggo ng parisukat na anyo. Kaya, sa kumplikadong kaso (sa kaibahan sa tunay), ang parisukat na anyo ay may isang solong invariant - ang ranggo, at lahat ng mga di-degenerate na anyo ay may parehong kanonikal na anyo (ang kabuuan ng mga parisukat).

Itinatag na ang bilang ng mga non-zero canonical coefficient ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng ranggo nito at hindi nakadepende sa pagpili ng isang di-degenerate na pagbabagong-anyo kung saan ang anyo A(x, x) ay nabawasan sa canonical form. Sa katunayan, ang bilang ng mga positibo at negatibong coefficient ay hindi rin nagbabago.

Teorama11.3 (batas ng inertia ng mga parisukat na anyo). Ang bilang ng mga positibo at negatibong coefficient sa normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi nakadepende sa kung paano ang parisukat na anyo ay nababawasan sa normal na anyo.

Hayaang mabuo ang parisukat f ranggo r mula sa n hindi kilala x 1 , x 2 , …, x n nabawasan sa normal na anyo sa dalawang paraan, i.e.

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Mapapatunayan na k = l.

Kahulugan 11.14. Ang bilang ng mga positibong parisukat sa normal na anyo kung saan nababawasan ang tunay na parisukat na anyo ay tinatawag positibong inertia index ang form na ito; bilang ng mga negatibong parisukat - negatibong inertia index, at ang kanilang kabuuan ay inertia index parisukat o lagda mga form f.

Kung ang p ay isang positibong inertia index; q- negatibong index ng pagkawalang-galaw; k = r = p + q ay ang index ng pagkawalang-galaw.

Pag-uuri ng mga parisukat na anyo

Hayaang mabuo ang parisukat A(x, x) ang inertia index ay k, ang positibong index ng inertia ay p , ang negatibong index ng inertia ay q, pagkatapos k = p + q.

Ito ay pinatunayan na sa anumang kanonikal na batayan f = {f 1 , f 2 , …, f n) ang parisukat na anyo na ito A(x, x) ay maaaring bawasan sa normal na anyo A(x, x) = + + … + –
– … – , saan  1 ,  2 , …,  n mga coordinate ng vector x sa batayan ( f}.

Kailangan at sapat na kundisyon para maging sign-definite ang isang quadratic form

Pahayag11.1. A(x, x) na tinukoy sa n V, ay tanda-tiyak, ito ay kinakailangan at sapat na alinman sa isang positibong index ng pagkawalang-galaw p, o isang negatibong index ng inertia q, ay katumbas ng sukat n space V.

Kasabay nito, kung p = n, pagkatapos ay ang form positibo x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Kung q = n, pagkatapos ay ang form negatibo tinukoy (iyon ay, para sa alinman x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Isang Kinakailangan at Sapat na Kondisyon para sa Pagbabago ng Sign ng isang Quadratic Form

Pahayag 11.2. Upang magkaroon ng parisukat na anyo A(x, x) na tinukoy sa n-dimensional na espasyo ng vector V, ay papalit-palit(iyon ay, mayroong x, y Ano A(x, x) > 0 at A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Isang Kinakailangan at Sapat na Kondisyon para sa Quasi-Changing Quadratic Forms

Pahayag 11.3. Upang magkaroon ng parisukat na anyo A(x, x) na tinukoy sa n-dimensional na espasyo ng vector V, ay parang tanda(iyon ay, para sa anumang vector x o A(x, x) ≥ 0 o A(x, x) ≤ 0 at mayroong isang nonzero vector x, Ano A(x, x) = 0) ay kinakailangan at sapat para sa isa sa dalawang relasyon na hawakan: p < n, q= 0 o p = 0, q < n.

Magkomento. Upang mailapat ang mga tampok na ito, ang parisukat na anyo ay dapat na bawasan sa kanonikal na anyo. Sa sign-definiteness criterion 15 ni Sylvester ay hindi ito kinakailangan.