Jei populiacijos augimas proporcingas individų skaičiui, populiacija augs eksponentiškai.

Sąvoka „eksponentinis augimas“ pateko į mūsų žodyną ir reiškia greitą, paprastai bėgantį augimą. Jis dažnai naudojamas, pavyzdžiui, apibūdinti spartų miestų skaičiaus ar gyventojų skaičiaus augimą. Tačiau matematikoje šis terminas turi tikslią reikšmę ir reiškia tam tikrą augimą.

Eksponentinis augimas vyksta tose populiacijose, kuriose skaičiaus padidėjimas (gimimų skaičius atėmus mirusiųjų skaičių) yra proporcingas populiacijos individų skaičiui. Pavyzdžiui, žmonių populiacijos gimstamumas yra maždaug proporcingas reprodukcinių porų skaičiui, o mirtingumas yra maždaug proporcingas žmonių skaičiui populiacijoje (vadinkime jį N). Tada, remiantis pagrįstu apytiksliu,

gyventojų prieaugis = gimimų skaičius – mirusiųjų skaičius

(Čia r yra vadinamasis proporcingumo koeficientas, leidžiantis parašyti proporcingumo išraišką kaip lygtį.)

Tegul dN yra individų, įtrauktų į populiaciją per laiką dt, skaičius, tada, jei populiacijoje iš viso yra N individų, tada eksponentinio augimo sąlygos bus įvykdytos, jei

Kadangi Izaokas Niutonas XVII amžiuje išrado diferencialinį skaičiavimą, mes žinome, kaip išspręsti šią lygtį N, populiacijos dydžiui bet kuriuo metu. (Pagalba: tokia lygtis vadinama diferencine lygtimi.) Štai jos sprendimas:

kur N 0 yra individų skaičius populiacijoje atskaitos pradžioje, o t yra laikas, praėjęs nuo to momento. Simbolis e reiškia tokį specialų skaičių, jis vadinamas natūraliojo logaritmo pagrindu (ir apytiksliai lygus 2,7), o visa dešinė lygties pusė vadinama eksponentine funkcija.

Norėdami geriau suprasti, kas yra eksponentinis augimas, įsivaizduokite populiaciją, kurią iš pradžių sudarė viena bakterija. Po tam tikro laiko (po kelių valandų ar minučių) bakterija dalijasi į dvi dalis, todėl populiacija padvigubėja. Per kitą laikotarpį kiekviena iš šių dviejų bakterijų vėl pasiskirstys į dvi dalis, o populiacijos dydis vėl padvigubės – dabar bus keturios bakterijos. Po dešimties tokių padvigubėjimų bakterijų jau bus daugiau nei tūkstantis, po dvidešimties – daugiau nei milijonas ir t.t. Jei su kiekvienu padalijimu gyventojų skaičius padvigubės, jo augimas tęsis neribotą laiką.

Sklando legenda (greičiausiai netiesa), kad šachmatus išradęs žmogus savo sultonui suteikė tokį malonumą, kad pažadėjo įvykdyti bet kurį jo prašymą. Vyras paprašė sultono įdėti vieną kviečio grūdą ant pirmos šachmatų lentos kvadrato, du ant antrojo, keturis ant trečio ir t.t. Sultonas, laikydamas šį reikalavimą nereikšmingu, palyginti su jo teikiama paslauga, paprašė savo subjekto pateikti kitą prašymą, tačiau jis atsisakė. Natūralu, kad iki 64-ojo padvigubinimo grūdų skaičius tapo toks, kad visame pasaulyje nebūtų rastas reikalingas kviečių kiekis šiam prašymui patenkinti. Man žinomoje legendos versijoje sultonas tuo metu liepė išradėjui nukirsti galvą. Moralas, kaip sakau savo studentams, yra toks: kartais neturėtumėte būti pernelyg protingi!

Šaškių lentos pavyzdys (taip pat ir įsivaizduojamos bakterijos) rodo, kad jokia populiacija negali augti amžinai. Anksčiau ar vėliau jam paprasčiausiai pritrūks resursų – erdvės, energijos, vandens ir bet ko. Todėl populiacijos eksponentiškai gali augti tik kurį laiką, o anksčiau ar vėliau jų augimas turi sulėtėti. Norėdami tai padaryti, turite pakeisti lygtį taip, kad populiacijos dydžiui priartėjus prie didžiausio įmanomo (kurį gali palaikyti išorinė aplinka), augimo tempas sulėtėtų. Pavadinkime šį didžiausią populiacijos dydį K. Tada modifikuota lygtis atrodys taip:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Kai N yra daug mažesnis už K, N/K terminą galima nepaisyti ir grįžtame prie pradinės įprasto eksponentinės augimo lygties. Tačiau kai N artėja prie didžiausios vertės K, 1 - (N/K) reikšmė linkusi į nulį, taigi, populiacijos prieaugis taip pat linkęs į nulį. Bendras populiacijos dydis šiuo atveju stabilizuojasi ir išlieka K lygyje.Šia lygtimi aprašyta kreivė, kaip ir pati lygtis, turi kelis pavadinimus – S-kreivė, logistinė lygtis, Volteros lygtis, Lotkos-Volteros lygtis. (Vito Volterra (1860-1940) – žymus italų matematikas ir mokytojas; Alfredas Lotka (1880-1949) – amerikiečių matematikas ir draudimo analitikas.) Kad ir kaip tai būtų vadinama, tai gana paprasta eksponentiškai augančios populiacijos dydžio išraiška. o vėliau priartėjus prie tam tikros ribos sulėtėja. Ir tai daug geriau atspindi realių populiacijų skaičiaus augimą nei įprasta eksponentinė funkcija.

Eksponentinis augimas- vertės padidėjimas, kai augimo tempas yra proporcingas pačios vertės vertei. paklūsta eksponentinė teisė. Eksponentinis augimas prieštarauja lėtesnėms (pakankamai ilgą laiką) tiesinėms arba galios priklausomybėms. Jei apibrėžimo sritis yra atskira su vienodais intervalais, ji taip pat vadinama geometriniu augimu arba geometriniu mažėjimu (funkcijos reikšmės sudaro geometrinę progresiją). Eksponentinio augimo modelis taip pat žinomas kaip Malthuso augimo modelis.

Savybės

Bet kuriai eksponentiškai augančiajai vertei kuo didesnė vertė, tuo greičiau ji auga. Tai taip pat reiškia, kad priklausomo kintamojo dydis ir jo augimo greitis yra tiesiogiai proporcingi . Tačiau tuo pačiu metu, skirtingai nei hiperbolinė, eksponentinė kreivė niekada nesiekia begalybės per ribotą laikotarpį.

Eksponentinis augimas galiausiai pasirodo esąs greitesnis už bet kokį galios dėsnį ir juo labiau bet kokį tiesinį augimą.

Matematinis žymėjimas

Eksponentinis augimas apibūdinamas diferencialine lygtimi:

$\backslash frac(dx)(dt)\; =\; kx$

Šios diferencialinės lygties sprendimas yra eksponentas:

$x\; =\; ae^(kt)$

Pavyzdžiai

Eksponentinio augimo pavyzdys būtų bakterijų skaičiaus augimas kolonijoje prieš ribojant išteklius. Kitas eksponentinio augimo pavyzdys yra sudėtinės palūkanos.

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Eksponentinis augimas"

Nuorodos

Eksponentinį augimą apibūdinanti ištrauka

Ji pabudo vėlai. Nuoširdumas, kuris ateina pabudus, jai aiškiai parodė, kas ją labiausiai užėmė tėvo liga. Ji pabudo, pasiklausė, kas yra už durų, ir, išgirdusi jo dejavimą, atsidususi pasakė sau, kad viskas taip pat.
- Bet kuo būti? ko aš norėjau? Aš noriu jo mirties! – sušuko ji pasibjaurėjusi savimi.
Ji apsirengė, nusiprausė, perskaitė maldas ir išėjo į verandą. Į prieangį buvo atvežti bežirginiai vežimai, kuriuose buvo kraunami daiktai.
Rytas buvo šiltas ir pilkas. Princesė Marya sustojo prieangyje, nepaliaujamai siaubėdama savo dvasine bjaurybe ir bandydama sutvarkyti savo mintis prieš įeidama į jį.
Daktaras nulipo nuo laiptų ir priėjo prie jos.
„Šiandien jam geriau“, – sakė gydytojas. - Aš ieškojau tavęs. Iš to ką jis sako, kažką supranti, galva šviežesnė. Eime. Jis tau skambina...
Princesės Merės širdis taip smarkiai plakė po šios žinios, kad ji išbalo ir atsirėmė į duris, kad nenukristų. Pamatyti jį, kalbėtis su juo, pakliūti po jo žvilgsniu dabar, kai visa princesės Merės siela buvo apimta šių siaubingų nusikalstamų pagundų, buvo nepaprastai džiugu ir baisu.
- Nagi, - pasakė gydytojas.
Princesė Marya įėjo pas tėvą ir atsigulė į lovą. Jis gulėjo aukštai ant nugaros, mažomis kauluotomis rankomis, padengtomis alyvinės spalvos mazgomis, ant antklodės, kairė akis buvo įsegta tiesiai, o dešinė akis prisimerkusi, antakiai ir lūpos buvo nejudrūs. Jis buvo toks plonas, mažas ir apgailėtinas. Atrodė, kad jo veidas buvo susiraukšlėjęs arba ištirpęs, susitraukęs. Princesė Marija priėjo ir pabučiavo jam ranką. Kaire ranka suspaudė jos ranką taip, kad buvo aišku, jog jis jos laukė jau seniai. Jis patraukė jos ranką, o antakiai ir lūpos piktai judėjo.
Ji baimingai pažvelgė į jį, bandydama atspėti, ko jis iš jos nori. Kai ji pakeitė savo padėtį ir pasislinko taip, kad kairė akis matytų jos veidą, jis nusiramino, kelias sekundes nenuleisdamas nuo jos akių. Tada jo lūpos ir liežuvis sujudėjo, pasigirdo garsai, ir jis pradėjo kalbėti, nedrąsiai ir maldaudamas žvelgdamas į ją, matyt, bijodamas, kad ji jo nesupras.
Tema: Žieminės padangos.
Regionas: Ukraina.
Marža: 13%. Akcijos laikotarpis: 2012 m. 1.09 - 31.12, palyginti su 2013 m. 1.09 - 31.12.
išlaidų: 42 389 UAH ir 131 341 UAH (įskaitant agentūros mokesčius).

Nors pagal išsilavinimą nesu matematikas, užjaučiu šį mokslą, todėl straipsnyje bus vartojami iš pirmo žvilgsnio sudėtingi matematiniai terminai.

Šio straipsnio tikslas – pakalbėti apie vieną kuriozišką reiškinį: padvigubinę reklamos biudžetą, jūs pradedate uždirbti ne dvigubai daugiau, o nuo 2,5, 3 ir t.t. kartų daugiau. Žinoma, iki tam tikro taško. Šis reiškinys matematikoje vadinamas eksponentiniu augimu. Eksponentinio augimo pavyzdys būtų bakterijų skaičiaus augimas kolonijoje prieš ribojant išteklius.

Tiems iš jūsų, kurie susidūrėte su sudėtinėmis palūkanomis, pavyzdžiui, skaičiuodami pajamas iš indėlių, iš karto taps aišku, apie ką kalbama, nes sudėtinės palūkanos yra tik dar vienas eksponento augimo pavyzdys. Jei sukauptų lėšų neišimsite iš indėlio, tai pajamų augimas vyksta ne tiesiškai, o eksponentiškai. Taip pat ir su pardavimo pajamų augimu: didėjant reklamos biudžetui, pajamos auga eksponentiškai. Šiame straipsnyje norėčiau iliustruoti kitą reiškinį. Būtent dėl ​​šio reiškinio kontekstinės reklamos skyrius nebevadinamas taip, o vadinamas mokamo eismo skyriumi. Tai apie apie sinergijos efektą.

Koks yra sinergijos efektas? Įsivaizduokite idealią situaciją: yra internetinė parduotuvė, jos reklamai pirmą mėnesį buvo panaudota tik kontekstinė reklama, kuri atnešė 20 pardavimų, o antrą mėnesį naudota tik SEO akcija, kuri taip pat davė 20 pardavimų. Trečią mėnesį buvo naudojama ir kontekstinė reklama, ir SEO, kas galiausiai davė ne 40 pardavimų, o 50. Tai ir yra sinergijos efektas: situacija, kai dviejų ar daugiau veiksnių sąveika duoda rezultato padidėjimą labiau nei kiekvienas. iš šių veiksnių galėtų duoti atskirai.

Naudodami du ar daugiau reklamos kanalų vienu metu, gauname didelę grąžą. Iš pirmų lūpų žinodami apie sinergijos efektą, mūsų interneto rinkodaros specialistai stengiasi išnaudoti maksimalius reklamos kanalus. Rekomenduojame įsidėmėti tokį triuką :) Dabar pereikime prie konkretus pavyzdys, iliustruojantis visa tai, kas išdėstyta aukščiau – atvejis apie „mokamo eismo“ paslaugą padangų tema.

Nedelsiant pridėsiu naują ekrano kopiją iš Google Analytics, nes žinau, kad atvejo skaitytojai juos labai mėgsta:

Šis atvejis atspindi tolimesnius projekto, kurio bylą paskelbiau pernai, rezultatus. Palyginkite šiuos dvejus metus. Pirmiausia palyginkime kiekvieno sezono – 2012 ir 2013 metų – išlaidas (sezonu turiu galvoje laikotarpį nuo 1.09. iki 31.12):

• reklama kainų agregatoriuose;
• kontekstinė reklama.

2012 m. sezone reklama buvo naudojama Google Ads ir talpinimas dviejuose kainoraščiuose: Yandex.Market ir Hotline.ua. Tą patį 2013 m. sezoną reklama jau buvo naudojama „Google Ads“, „Yandex.Direct“ ir 10 kainų kaupiklių. Papildomų reklamos kanalų naudojimas išlaidas padidino beveik 310 proc. Dabar pažiūrėkime, kaip, reklamos išlaidoms padidėjus 310%, išaugo projekto pajamos:

Taigi matome, kad padidinę reklamos išlaidas 310%, kliento pajamas padidinome ne 310%, o 573%. Nuostabu, ar ne?! Tai reiškia, kad pajamų augimas, palyginti su išlaidomis, yra ne tiesinis, o eksponentinis.

Norint gauti tokį rezultatą, žinoma, buvo sinergijos efektas.

Pažiūrėkime į bendrojo pelno augimą:

Taip pat parodykime, kaip išaugo operacijų skaičius:

Ši ekrano kopija leidžia padaryti išvadas apie situaciją su vidutine sąskaita. Jei pajamos išaugo 573%, o pardavimų skaičius 557%, tada paaiškėja, kad vidutinis čekis šiek tiek padidėjo.

Turėdami duomenis apie pajamas iš Google Analytics, išlaidas ir maržą, apskaičiuojame svarbiausią veiklos rodiklį – ROMI (rinkodaros investicijų grąža) pagal šią formulę:

ROMI = ((pajamos × marža) – klientų išlaidos) / klientų išlaidos

Taigi palyginkime dviejų sezonų ROMI rezultatus:

Svarbu pažymėti, kad skaičiuodami ROMI atsižvelgėme tik į pajamas, kurias rodo Google Analytics, tai reiškia, kad neatsižvelgėme į dar 80% pardavimų, kurie buvo atlikti telefonu, tai yra, atsižvelgėme tik į 20% kliento pajamų – tai tik 5 dalis.

Labai įdomi situacija susidaro, kai skaičiuojame savo ROMI su 80% telefoninių užsakymų. Norėdami tai padaryti, savo pajamas padauginame iš 5, o tada skaičiuojame kaip įprasta:

ROMI augimas iš realesnių pajamų atrodo dar patrauklesnis. Tačiau esmė yra ne tik ROMI, bet ir realus padidėjimas apyvarta: žymiai daugiau klientų -> žymiai daugiau pardavimų.

Dabar vėl 2013 metų sezono rezultatai

Klientų išlaidos: 131 341 UAH (įskaitant agentūros mokesčius). Marža: 13%. Sandorių skaičius: 880. „Google Analytics“ pajamos: 1 317 166,2 UAH Bendrasis pelnas (įskaitant užsakymus telefonu): 856 158 UAH ROMI pagal bendrąjį pelną (įskaitant užsakymus telefonu) : 551,86%.

Žinoma, gautas rezultatas toli gražu ne riba: yra kur auginti reklamos biudžetą > yra kur augti kliento pajamas. Kitą sezoną tikrai naudosime papildomus reklamos kanalus (jų skaičius tikriausiai niekada nesibaigs).

Viena iš būtinų naujojo sezono funkcijų yra „ifTheyCall“ telefono užsakymų sekimo įrankio naudojimas. Tai „Netpeak“ naujovė, kurios 2013 m. rugsėjo–gruodžio mėn. sezone tiesiog nespėjome panaudoti. Šis įrankis leis tiksliau įvertinti kiekvieno reklamos kanalo grąžą, perskirstyti biudžetą ir būti dar efektyvesniu.

Rezultatus iliustruosiu paveikslėlių pavidalu

Kaip matote iš diagramos, lūžio taškas yra apačioje. Iki šiol investicijos į reklamą neatsipirks. Pavyzdžiui, jei išleidžiate 100 UAH. gauti 100 paspaudimų - tikimybė gauti pardavimą, kuris atsipirktų šios investicijos yra beveik 0. Antras taškas grafike yra optimalus taškas (vadinkime jį taip) - tai yra tada, kai investuoji maksimaliai į reklamą ir gauni maksimalių pajamų. Po šio taško stebimas prisotinimas, tai yra, rinka yra prisotinta, visi potencialūs pirkėjai yra padengti reklama, investicijų į reklamą augimas neduoda didesnio pajamų augimo. Jei jūsų reklamos biudžetas yra mažesnis už lūžio tašką, tikėtina, kad investavus į reklamą dvigubai daugiau, jūsų pajamos augs eksponentiškai, kol bus pasiektas optimalus taškas.

• sinergijos efektas naudojant 2 ar daugiau reklamos kanalų vienu metu:

Belieka tik papildyti šią iliustraciją - išbandykite naujus reklamos kanalus :)

Kaip pabrėžta ankstesniame skyriuje, bet kuri populiacija iš principo gali augti eksponentiškai, todėl populiacijos augimo potencialui įvertinti naudojamas eksponentinis modelis. Tačiau kai kuriais atvejais eksponentinis modelis pasirodo tinkamas ir faktiškai stebimiems procesams aprašyti. Akivaizdu, kad tai įmanoma, kai pakankamai ilgą laiką (lyginant su kartos trukme) niekas neriboja gyventojų skaičiaus augimo ir atitinkamai jo specifinio rodiklio ( r) išlaiko pastovią teigiamą reikšmę.

Taigi, pavyzdžiui, 1937 m. į mažą Protekshi salą (prie JAV šiaurės vakarų kranto netoli Vašingtono valstijos) buvo atvežti 2 fazanų patinai ir 6 patelės. (Phasanius colchicus torqualus), saloje dar nematytas. Tais pačiais metais pradėjo veistis fazanai, o po 6 metų populiaciją, prasidėjusią nuo 8 paukščių, jau sudarė 1898 individai. Kaip matyti iš Fig. 28 a, bent per pirmuosius 3-4 metus fazanų skaičiaus augimą gerai apibūdino eksponentinė priklausomybė (tiesi linija su logaritmine skale išilgai ordinatės). Deja, vėliau, prasidėjus karo veiksmams, saloje buvo dislokuoti kariai, nutrūko kasmetiniai skaičiavimai, o pati fazanų populiacija iš esmės buvo išnaikinta.

Kitas gerai žinomas eksponentinio populiacijos augimo atvejis – žieduotų vėžlių populiacijos padidėjimas. (Streptopelia decaocto)šeštojo dešimtmečio pabaigoje ir šeštojo dešimtmečio pradžioje Britų salose. (28 pav., b). Šis augimas sustojo tik po 8 metų, kai buvo įkurtos visos tinkamos buveinės.

Eksponentinio gyventojų skaičiaus augimo pavyzdžių sąrašą būtų galima tęsti. Visų pirma, kelis kartus didesnis (arba bent jau beveik eksponentinis) šiaurės elnių skaičiaus padidėjimas (Rangifer Tarandus) buvo pastebėtas jo įvežimo į įvairias salas metu. Taigi iš 25 individų (4 patinai ir 21 patelė), 1911 m. atvežtų į Šv. Pauliaus salą (priklausomą Beringo jūros Pribylovo salų salynui), atsirado populiacija, kurios skaičius 1938 m. buvo 100%. siekė 2 tūkstančius individų, tačiau vėliau sekė staigus nuosmukis ir iki 1950 metų saloje liko tik 8 elniai. Panašus modelis buvo pastebėtas Šv. Mato saloje (taip pat esančioje Beringo jūroje): 29 individai (5 patinai ir 24 patelės) į salą atkeliavo 1944 m., 1957 m. jų populiacija siekė 1350 individų, o 1963 m. apie 6 tūkst. individų (šios salos plotas 332 km 2, o tai maždaug tris kartus viršija Šv. Pauliaus salos plotą). Tačiau vėlesniais metais elnių sumažėjo katastrofiškai – iki 1966 metų jų buvo likę tik 42. Abiem aukščiau aprašytais atvejais staigaus skaičiaus sumažėjimo priežastis buvo maisto trūkumas žiemą, susidedančios beveik vien iš kerpių.

Laboratorijoje sąlygas eksponentiniam augimui galima sudaryti aprūpinant auginamus organizmus išteklių pertekliumi, kuris paprastai riboja jų vystymąsi, taip pat išlaikant visų fizikinių ir cheminių aplinkos parametrų vertę tam tikros rūšies tolerancijos ribose. Dažnai norint išlaikyti eksponentinį augimą, reikia pašalinti organizmų medžiagų apykaitos produktus (naudojant, pavyzdžiui, tėkmės sistemas, kultivuojant įvairius vandens gyvūnus ir augalus) arba izoliuoti besiformuojančius individus vieną nuo kito, kad būtų išvengta jų susigrūdimo (tai yra svarbus, pavyzdžiui, auginant daug graužikų ir kitų gana sudėtingo elgesio gyvūnų). Praktiškai nesunku eksperimento metu gauti eksponentinį augimo kreivę tik labai mažiems organizmams (mielių grybams, pirmuoniams, vienaląsčiams dumbliams ir kt.). Didelius organizmus sunku auginti dideliais kiekiais vien dėl techninių priežasčių. Be to, tai užima daug laiko.

Situacijos, kai susidaro sąlygos eksponentiniam augimui, galimos ir gamtoje, ir ne tik salų populiacijoms. Pavyzdžiui, vidutinių platumų ežeruose pavasarį, ištirpus ledui, paviršiniuose sluoksniuose yra daug biogeninių elementų (fosforo, azoto, silicio), kurių paprastai trūksta planktoniniams dumbliams, todėl nenuostabu, kad iš karto po ledo tirpimo. vanduo įšyla, sparčiai (beveik eksponentams) daugėja diatomų ar žaliųjų dumblių. Jis sustoja tik tada, kai dumblių ląstelėse susijungia visi trūkstami elementai arba kai populiacijų gamybą subalansuoja jų suvartojimas įvairių fitofagų gyvūnų.

Nors galima paminėti ir kitus faktiškai pastebėto eksponentinio skaičiaus padidėjimo pavyzdžius, negalima teigti, kad jų yra labai daug. Akivaizdu, kad jei populiacija auga pagal eksponentinį dėsnį, jei tai atsiranda, tai tik labai trumpą laiką, tada jį pakeičia mažėjimas arba plynaukštės (= stacionaraus lygio) pasiekimas. Iš esmės yra keletas variantų, kaip sustabdyti eksponentinį skaičių augimą. Pirmasis variantas yra eksponentinės skaičiaus augimo periodų kaitaliojimas su staigaus (katastrofiško) nuosmukio laikotarpiais iki labai mažų verčių. Toks reguliavimas (o populiacijos reguliavimu turime omenyje bet kokių mechanizmų, dėl kurių ribojamas populiacijos augimas) veikimas, greičiausiai yra organizmuose, kurių trumpalaikis gyvenimo ciklas gyvena vietose, kuriose yra ryškūs pagrindinių ribojančių veiksnių svyravimai, pavyzdžiui, vabzdžiams, gyvenantiems didelėse platumose. Taip pat akivaizdu, kad tokie organizmai turi turėti ramybės stadijas, leidžiančias išgyventi nepalankius sezonus. Antras variantas – staigiai sustabdyti eksponentinį augimą ir išlaikyti populiaciją pastoviame (=stacionariame) lygyje, aplink kurį galimi įvairūs svyravimai. Trečias variantas – sklandus išėjimas į plynaukštę. Gauta S formos kreivė rodo, kad didėjant gyventojų skaičiui augimo tempas ne išlieka pastovus, o mažėja. S formos populiacijos augimas labai dažnai stebimas tiek atliekant laboratorinius eksperimentus, tiek įvedant rūšis į naujas buveines.

Eksponentinis augimas

Eksponentinis augimas- vertės padidėjimas, kai augimo tempas yra proporcingas pačios vertės vertei. Sakoma, kad toks augimas paklūsta eksponentinė teisė. Eksponentinis augimas prieštarauja lėtesnėms (per pakankamai ilgą laiką) tiesinėms, galios ar geometrinėms priklausomybėms.

Savybės

Bet koks eksponentiškai didėjantis kiekis, kuo didesnė vertė, tuo greičiau jis auga. Tai taip pat reiškia, kad priklausomo kintamojo dydis ir jo augimo greitis yra tiesiogiai proporcingi . Tačiau tuo pačiu metu, skirtingai nei hiperbolinė eksponentinė kreivė, ji niekada nesiekia begalybės per ribotą laikotarpį.

Eksponentinis augimas galiausiai pasirodo esąs greitesnis už bet kokią geometrinę progresiją, už bet kokį galios dėsnį ir dar labiau už bet kokį tiesinį augimą.

Matematinis žymėjimas

Eksponentinis augimas apibūdinamas diferencialine lygtimi:

Šios diferencialinės lygties sprendimas yra eksponentas:

Pavyzdžiai

Eksponentinio augimo pavyzdys būtų bakterijų skaičiaus augimas kolonijoje prieš ribojant išteklius. Kitas eksponentinio augimo pavyzdys yra sudėtinės palūkanos.

taip pat žr

Nuorodos

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „eksponentinis augimas“ kituose žodynuose:

Kiekio padidėjimas (eksponentinis padidėjimas), kuris auga proporcingu jo vertei. Jie sako, kad toks augimas paklūsta eksponentiniam dėsniui. Tai reiškia, kad esant bet kokiai eksponentiškai augančiajai vertei, ...... Verslo terminų žodynėlis

eksponentinis augimas- eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. eksponentinis kylantis vok. Eksponentialanstieg, m rus. eksponentinis augimas, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas

EKSPONENTINIS AUGIMAS- augimas palyginti pastoviu tempu... Botanikos terminų žodynas

Kokybės gerinimo procesas laikui bėgant. Savybės gali būti ir fizinės (pavyzdžiui, ūgio augimas), ir abstrakčios (pavyzdžiui, užauga žmogus, plečiasi sistema): Ląstelių augimas, arba dauginimasis Populiacijos augimas Augimas ... ... Vikipedija

AUGIMAS- reiškia besivystančio organizmo dydžio padidėjimą. Tipiniais atvejais R. siejamas su masės padidėjimu, tačiau kūno masės padidėjimo R. nepriskiriame (pavyzdžiui, riebalų nusėdimas, kai kurių gyvūnų reprodukcinių produktų kaupimasis, ... ... Didžioji medicinos enciklopedija

Eksponentinis augimas matematikoje yra eksponentinis vertės padidėjimas (eksponentinis padidėjimas), kuris auga proporcingu jos vertei. Jie sako, kad toks augimas paklūsta eksponentiniam dėsniui. Tai ... ... Vikipedija

- [iš algoritmo!; algorizmas, iš pradžių lat. vardo transliteracija plg. Azijos. IX amžiaus mokslininkas Khorezmi (Muhammed bin Musa al Khorezmi)], programa, kuri nustato elgesio būdą (skaičiavimus); taisyklių (receptų) sistema, skirta veiksmingai ... ... Filosofinė enciklopedija

Judesiai ar procesai, kurie tam tikru laipsniu pasikartoja. Radiacija būdinga visiems gamtos reiškiniams: pulsuoja žvaigždžių spinduliuotė, kurios viduje vyksta ciklinės reakcijos. aš. reakcijos; planetos sukasi dideliu periodiškumu ... Fizinė enciklopedija

Bet kurios Diofanto lygties atpažinimo algoritmo suradimo problema, ar ji turi sprendimą. Formuluojant problemą esminis dalykas yra reikalavimas rasti universalų metodą, kuris turi tikti bet kuriai lygčiai (visi žinomi ... ... Matematinė enciklopedija

Perceptrono loginė grandinė su trimis išėjimais Perceptron arba perceptron (anglų k. perceptron iš ... Wikipedia

Knygos

• Didieji pasaulio ežerai, V.A. Rumjancevas, V. G. Drabkova, A. V. Izmailova. Eksponentinis gyventojų skaičiaus augimas, po kurio seka pramonės augimas ir Žemdirbystė lemia ne tik katastrofišką gėlo vandens išteklių trūkumą, bet ir jų būklės blogėjimą ...