Kaya, ayon sa theorem sa pagbabawas ng isang parisukat na anyo, para sa anumang parisukat na anyo \(A(x,x)\) mayroong isang kanonikal na batayan \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), kaya para sa anumang vector \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Dahil ang \(A(x,x)\) ay real-valued, at ang aming mga pagbabago sa batayan ay nagsasangkot lamang ng mga tunay na numero, napagpasyahan namin na ang mga numerong \(\lambda _k\) ay totoo. Kabilang sa mga numerong ito ay may positibo, negatibo at katumbas ng zero.

Kahulugan. Tinatawag ang numerong \(n_+\) ng mga positibong numero \(\lambda _k\). positibong quadratic index \(A(x,x)\), ang numerong \(n_-\) ng mga negatibong numero \(\lambda _k\) ay tinatawag negatibong quadratic index , ang numerong \((n_++n_-)\) ay tinatawag ranggo ng parisukat na anyo . Kung \(n_+=n\), ang quadratic form ay tinatawag positibo .

Sa pangkalahatan, ang pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa isang dayagonal na anyo ay hindi naisasakatuparan sa isang natatanging paraan. Ang tanong ay lumitaw: ang mga numero ba \(n_+\), \(n_-\) ay nakasalalay sa pagpili ng batayan kung saan ang parisukat na anyo ay dayagonal?

Teorama (Law of inertia of quadratic forms). Ang positibo at negatibong mga indeks ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas nito sa canonical form.

Hayaang magkaroon ng dalawang canonical base, \(\(f\)\), \(\(g\)\), upang ang anumang vector \(x\) ay kinakatawan sa anyo: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] at \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Hayaan sa \(\lambda _k\) ang unang \(p\) ay positibo, ang iba ay negatibo o sero, sa \(\mu_m\) ang unang \(s\) ay positibo, ang iba ay negatibo o zero. Kailangan nating patunayan na \(p=s\). Isulat muli natin ang (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] kaya lahat ng terms sa ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo. Ipagpalagay na ang \(p\) at \(s\) ay hindi pantay, halimbawa, \(p

Napatunayan namin na ang mga positibong indeks ay nagtutugma. Katulad nito, maaari nating patunayan na ang mga negatibong indeks ay nag-tutugma din. atbp.

1. I-convert ang mga parisukat na anyo sa kabuuan ng mga parisukat:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Mga indibidwal na aralin sa online: Isumite ang iyong kahilingan ngayon: [email protected]
Matematika (GAMIT, OGE), wikang Ingles(pag-uusap, gramatika, TOEFL)
Pagtugon sa suliranin: sa matematika, IT, ekonomiya, sikolohiya Batas ng inertia ng mga parisukat na anyo
Mga portable na Windows application sa Bodrenko.com

§ 4. Batas ng inertia ng mga parisukat na anyo. Pag-uuri ng mga parisukat na anyo

1. Batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo. Napansin na natin (tingnan ang Remark 2 ng talata 1 ng nakaraang talata) na ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng bilang ng mga non-zero canonical coefficients. Kaya, ang bilang ng mga non-zero canonical coefficients ay hindi nakasalalay sa pagpili ng di-degenerate na pagbabagong-anyo sa tulong ng kung saan ang form A(x, x) ay nabawasan sa canonical form. Sa katunayan, sa anumang paraan ng pagbabawas ng form A(x, x) sa canonical form, ang bilang ng positive at negative canonical coefficients ay hindi nagbabago. Ang pag-aari na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.
Bago lumipat sa pagbibigay-katwiran ng batas ng pagkawalang-galaw, gumawa tayo ng ilang mga komento.
Hayaang matukoy ang form A(x, x) sa batayan e = (e 1, e 2,..., e n) ng matrix A(e) = (a ij):

kung saan ang ξ 1, ξ 2, ..., ξ n ay ang mga coordinate ng vector x sa batayang e. Ipagpalagay natin na ang form na ito ay nabawasan sa canonical form gamit ang isang non-degenerate coordinate transformation

at λ 1 , λ 2 ,..., λ k- non-zero canonical coefficients, na binibilang upang ang unang q ng mga coefficient na ito ay positibo, at ang mga sumusunod na coefficient ay negatibo:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.

Isaalang-alang ang sumusunod na non-degenerate coordinate transformation μ i (madaling makita na ang determinant ng pagbabagong ito ay hindi zero):

Bilang resulta ng pagbabagong ito, ang anyo na A(x, x) ay kukuha ng anyo

tinatawag na normal na anyo ng isang parisukat na anyo.
Kaya, gamit ang ilang di-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga coordinate ξ 1, ξ 2, ..., ξ n ng vector x sa batayan e = (e 1, e 2,..., e n)

(ang pagbabagong ito ay produkto ng mga pagbabagong ξ hanggang μ at μ hanggang η ayon sa mga formula (7.30)) ang parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa normal na anyo (7.31).
Patunayan natin ang sumusunod na pahayag.
Theorem 7.5 (batas ng inertia ng mga quadratic form). Ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient sa normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng anyo sa form na ito.
Patunay. Hayaang ang form A(x, x) ay bawasan sa normal na anyo (7.31) gamit ang isang non-degenerate coordinate transformation (7.32) at ibinaba sa normal na form gamit ang isa pang non-degenerate coordinate transformation

Malinaw, upang patunayan ang teorama ito ay sapat na upang i-verify ang pagkakapantay-pantay p = q.
Hayaan ang p > q. Siguraduhin natin na sa kasong ito ay mayroong isang di-zero na vector x na, na may paggalang sa mga base kung saan ang anyo A(x, x) ay may anyo (7.31) at (7.33), ang mga coordinate η 1, η 2, ..., η q at ζ р+1 , ..., ζ n ng vector na ito ay katumbas ng zero:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)

Dahil ang mga coordinate η i ay nakuha sa pamamagitan ng non-degenerate transformation (7.32) ng mga coordinate ξ 1, ..., ξ n, at ang mga coordinate ζ i- gamit ang isang katulad na non-degenerate na pagbabagong-anyo ng parehong mga coordinate ξ 1, ..., ξ n, kung gayon ang mga relasyon (7.34) ay maaaring ituring bilang isang sistema ng linear homogeneous equation para sa mga coordinate ξ 1, ..., ξ n ng ang nais na vector x sa batayan e = ( e 1, e 2,..., e n) (halimbawa, sa pinalawak na anyo ang kaugnayan η 1 = 0 ay may, ayon sa (7.32), ang anyo a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Dahil p > q, ang bilang ng mga homogenous na equation (7.34) ay mas mababa sa n, at samakatuwid ang system (7.34) ay may non-zero na solusyon na may kinalaman sa mga coordinate ξ 1, ..., ξ n ng gustong vector x. Dahil dito, kung p > q, kung gayon mayroong isang di-zero na vector x kung saan ang mga relasyon (7.34) ay nasiyahan.
Kalkulahin natin ang halaga ng form na A(x, x) para sa vector x na ito. Bumaling sa mga relasyon (7.31) at (7.33), nakukuha natin

Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maganap sa kaso ng η q+1 = ... = η k = 0 at ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Kaya, sa ilang batayan ang lahat ng mga coordinate ζ 1, ζ 2, ..., ζ n ang di-zero na vector x ay katumbas ng zero (tingnan ang mga huling pagkakapantay-pantay at relasyon (7.34)), i.e. ang vector x ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang pagpapalagay na p > q ay humahantong sa isang kontradiksyon. Para sa mga katulad na dahilan, ang pagpapalagay na p< q.
Kaya p = q. Ang teorama ay napatunayan.
2. Pag-uuri ng mga parisukat na anyo. Sa talata 1 ng §2 ng kabanatang ito (tingnan ang Depinisyon 2), ang mga konsepto ng positive definite, negative definite, alternating at quasi-sign definite quadratic forms ay ipinakilala.
Sa seksyong ito, gamit ang mga konsepto ng inertia index, positibo at negatibong inertia index ng isang parisukat na anyo, ipahiwatig namin kung paano malalaman kung ang isang parisukat na anyo ay kabilang sa isa o isa pa sa mga uri na nakalista sa itaas. Sa kasong ito, ang inertia index ng isang quadratic form ay ang bilang ng mga non-zero canonical coefficient ng form na ito (ibig sabihin, ang ranggo nito), ang positive inertia index ang bilang ng mga positive canonical coefficients, ang negatibong inertia index ang bilang ng mga negatibong canonical coefficients. Malinaw na ang kabuuan ng positibo at negatibong inertia index ay katumbas ng inertia index.
Kaya, hayaan ang index ng inertia, positibo at negatibong mga indeks ng inertia ng parisukat na anyo A(x, x) ay katumbas ng k, p at q (k = p + q), ayon sa pagkakabanggit. Sa nakaraang talata napatunayan na sa anumang kanonikal na batayan f = (f 1 , f 2 , ..., f n) ang form na ito ay maaaring bawasan sa sumusunod na normal na anyo:

kung saan ang η 1, η 2, ..., η n ay ang mga coordinate ng vector x sa batayan f.
1°. Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa tanda ng isang parisukat na anyo. Ang sumusunod na pahayag ay totoo.
Upang ang parisukat na anyo A(x, x), na tinukoy sa n-dimensional na linear na espasyo L, ay maging may tiyak na tanda, kinakailangan at sapat na ang alinman sa positibong index ng inertia p o ang negatibong index ng inertia q ay katumbas ng sukat n ng espasyo L.
Bukod dito, kung p = n, kung gayon ang anyo ay positibong tiyak, ngunit kung q = n, kung gayon ang anyo ay negatibong tiyak.
Patunay. Dahil ang mga kaso ng isang positibong tiyak na anyo at isang negatibong tiyak na anyo ay itinuturing na magkatulad, isasagawa namin ang patunay ng pahayag para sa mga positibong tiyak na anyo.
1) Pangangailangan. Hayaang maging positibong tiyak ang anyo A(x, x). Pagkatapos ang expression (7.35) ay kukuha ng anyo

A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2.

Kung sa parehong oras p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

ang anyong A(x, x) ay naglalaho, at ito ay sumasalungat sa kahulugan ng isang positibong tiyak na parisukat na anyo. Samakatuwid, p = n.
2) Sapat. Hayaan ang p = n. Pagkatapos ang relasyon (7.35) ay may anyong A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2. Malinaw na ang A(x, x) ≥ 0, at kung A = 0, η 1 = η 2 = ... = η n= 0, ibig sabihin, ang vector x ay zero. Samakatuwid, ang A(x, x) ay isang positibong tiyak na anyo.
Magkomento. Upang linawin ang isyu ng tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo gamit ang ipinahiwatig na pamantayan, dapat nating dalhin ang form na ito sa kanonikal na anyo nito.
Sa susunod na seksyon ay patunayan natin ang kriterya ni Sylvester para sa tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, sa tulong ng kung saan maaari nating linawin ang tanong ng tiyak na tanda ng isang anyo na ibinigay sa anumang batayan nang walang pagbabawas sa kanonikal na anyo.
2°. Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paghalili ng mga palatandaan ng isang parisukat na anyo. Patunayan natin ang sumusunod na pahayag.
Upang ang isang parisukat na anyo ay maging alternating, ito ay kinakailangan at sapat na ang parehong positibo at negatibong mga indeks ng inertia ng form na ito ay naiiba mula sa zero.
Patunay. 1) Pangangailangan. Dahil ang alternating form ay may parehong positibo at negatibong mga halaga, ang representasyon nito G.35) sa normal na anyo ay dapat maglaman ng parehong positibo at negatibong mga termino (kung hindi, ang form na ito ay kukuha ng alinman sa hindi negatibo o hindi positibong mga halaga). Dahil dito, ang parehong positibo at negatibong mga indeks ng inertia ay hindi zero.
2) Sapat. Hayaan ang р ≠ 0 at q ≠ 0. Pagkatapos para sa vector x 1, na may mga coordinate η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 mayroon tayong A(x 1 x 1) > 0, at para sa vector x 2 na may mga coordinate η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 mayroon kaming A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa quasi-sign definiteness ng isang quadratic form. Ang sumusunod na pahayag ay totoo.
Upang ang anyong A(x, x) ay maging mala-sign na tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga sumusunod na ugnayan ay hawakan: alinman sa p< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Patunay. Isasaalang-alang namin ang kaso ng isang positibong quasi-sign na tiyak na anyo. Ang kaso ng isang negatibong quasi-sign definite form ay ginagamot nang katulad.
1) Pangangailangan. Hayaang ang form na A(x, x) ay positive quasi-sign definite. Pagkatapos, malinaw naman, q = 0 at p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Sapat. Kung p< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 mayroon kaming A(x, x) = 0, i.e. Ang A(x, x) ay isang positibong quasi-sign na tiyak na anyo.
3. Ang pamantayan ni Sylvester (James Joseph Sylvester (1814-1897) - English mathematician) para sa tanda ng isang parisukat na anyo. Hayaang matukoy ang form A(x, x) sa batayan e = (e 1, e 2,..., e n) ng matrix A(e) = (a ij):

bumitaw Δ 1 = a 11, - angular minors at matrix determinant (a ij). Ang sumusunod na pahayag ay totoo.
Theorem 7.6 (Sylvester criterion). Upang ang parisukat na anyo A(x, x) ay maging positibong tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga hindi pagkakapantay-pantay Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 ay masiyahan.
Upang ang isang parisukat na anyo ay maging negatibong tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad ay kahalili, na may Δ 1< 0.
Patunay. 1) Pangangailangan. Patunayan muna natin na mula sa kondisyon na ang parisukat na anyo A(x, x) ay sign-definite ito ay sumusunod sa Δ ako ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Tiyakin natin na ang pagpapalagay na Δ k= 0 ay humahantong sa isang kontradiksyon - sa ilalim ng pagpapalagay na ito, mayroong isang di-zero na vector x kung saan ang A(x, x) = 0, na sumasalungat sa tiyak na tanda ng anyo.
Kaya hayaan ang Δ k= 0. Isaalang-alang ang sumusunod na quadratic homogeneous system ng mga linear equation:

Dahil Δ k ay ang determinant ng sistemang ito at Δ k= 0, kung gayon ang sistema ay may di-zero na solusyon ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (hindi lahat ng ξ i ay katumbas ng 0). I-multiply natin ang una sa mga equation (7.36) sa ξ 1, ang pangalawa sa ξ 2, ..., ang huli sa ξ k at idagdag ang mga resultang relasyon. Bilang resulta, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay , ang kaliwang bahagi nito ay kumakatawan sa halaga ng parisukat na anyo A(x, x) para sa isang di-zero na vector x na may mga coordinate (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Ang halagang ito ay zero, na sumasalungat sa tiyak na tanda ng form.
Kaya, kami ay kumbinsido na ang Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Samakatuwid, maaari nating ilapat ang pamamaraang Jacobi ng pagbabawas ng anyong A(x, x) sa kabuuan ng mga parisukat (tingnan ang Theorem 7.4) at gumamit ng mga formula (7.27) para sa mga canonical coefficients λ i. Kung ang A(x, x) ay isang positibong tiyak na anyo, kung gayon ang lahat ng mga canonical coefficient ay positibo. Ngunit mula sa mga relasyon (7.27) sumusunod na ang Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Kung ang A(x, x) ay isang negatibong tiyak na anyo, kung gayon ang lahat ng mga canonical coefficient ay negatibo. Ngunit mula sa mga formula (7.27) sumusunod na ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad ay kahalili, at Δ 1< 0.
2) Sapat. Hayaang matugunan ang mga kundisyon na ipinataw sa mga angular na menor de edad Δ i sa pagbabalangkas ng teorama. Dahil Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n, pagkatapos ay ang form A ay maaaring bawasan sa kabuuan ng mga parisukat sa pamamagitan ng Jacobi method (tingnan ang Theorem 7.4), at ang canonical coefficients λ i ay matatagpuan gamit ang mga formula (7.27). Kung Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, pagkatapos ay mula sa mga relasyon (7.27) sumusunod na ang lahat ng λ i> 0, ibig sabihin, ang anyo A(x, x) ay positibong tiyak. Kung ang mga palatandaan Δ i kahalili at Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Ang konsepto ng quadratic form. Matrix ng quadratic form. Kanonikal na anyo ng parisukat na anyo. Paraan ng Lagrange. Normal na view ng isang quadratic form. Ranggo, indeks at lagda ng parisukat na anyo. Positibong tiyak na parisukat na anyo. Quadrics.

Konsepto ng quadratic form: isang function sa isang vector space na tinukoy ng isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa mga coordinate ng vector.

Quadratic na anyo mula sa n Ang unknowns ay isang kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga hindi alam na ito, o ang produkto ng dalawang magkaibang hindi alam.

Quadratic matrix: Ang matrix ay tinatawag na matrix ng quadratic form sa isang naibigay na batayan. Kung ang katangian ng field ay hindi katumbas ng 2, maaari nating ipagpalagay na ang matrix ng quadratic form ay simetriko, iyon ay.

Sumulat ng isang matrix ng quadratic form:

Kaya naman,

Sa vector matrix form, ang quadratic form ay:

Kanonikal na anyo ng parisukat na anyo: Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical kung lahat i.e.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang mga linear na pagbabago. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod na pamamaraan ay karaniwang ginagamit.

Paraan ng Lagrange : sunud-sunod na pagpili ng kumpletong mga parisukat. Halimbawa, kung

Pagkatapos ang isang katulad na pamamaraan ay ginanap sa parisukat na anyo, atbp. Kung ang lahat ay wala sa parisukat na anyo, pagkatapos pagkatapos ng isang paunang pagbabago ang bagay ay bumaba sa pamamaraang isinasaalang-alang. Kaya, kung, halimbawa, pagkatapos ay ipinapalagay namin

Normal na anyo ng quadratic form: Ang normal na quadratic form ay isang canonical quadratic form kung saan ang lahat ng coefficient ay katumbas ng +1 o -1.

Ranggo, indeks at lagda ng parisukat na anyo: Ranggo ng parisukat na anyo A ay tinatawag na ranggo ng matris A. Ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay hindi nagbabago sa ilalim ng mga di-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga hindi alam.

Ang bilang ng mga negatibong koepisyent ay tinatawag na index ng negatibong anyo.

Ang bilang ng mga positibong termino sa canonical form ay tinatawag na positibong index ng inertia ng quadratic form, ang bilang ng mga negatibong termino ay tinatawag na negatibong index. Ang pagkakaiba sa pagitan ng positibo at negatibong mga indeks ay tinatawag na lagda ng parisukat na anyo

Positibong tiyak na parisukat na anyo: Ang isang tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na positibong tiyak (negatibong tiyak) kung, para sa anumang tunay na mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na zero,

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive definite (negative definite) form ay bahagi ng class ng non-negative (resp. non-positive) forms.

Quadrics: Quadric - n-dimensional na hypersurface sa n+1-dimensional na espasyo, na tinukoy bilang set ng mga zero ng isang polynomial ng pangalawang degree. Kung ilalagay mo ang mga coordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (sa Euclidean o affine space), ang pangkalahatang equation ng isang quadric ay

Ang equation na ito ay maaaring muling isulat nang mas compact sa matrix notation:

kung saan x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — row vector, x Ang T ay isang transposed vector, Q- laki ng matrix ( n+1)×( n+1) (pinapalagay na kahit isa sa mga elemento nito ay hindi zero), P ay isang row vector, at R— pare-pareho. Ang mga quadric sa tunay o kumplikadong mga numero ay madalas na isinasaalang-alang. Ang kahulugan ay maaaring palawakin sa quadrics sa projective space, tingnan sa ibaba.

Sa pangkalahatan, ang hanay ng mga zero ng isang sistema ng mga polynomial equation ay kilala bilang isang algebraic variety. Kaya, ang quadric ay isang (affine o projective) algebraic variety ng pangalawang degree at codimension 1.

Mga pagbabago sa eroplano at espasyo.

Kahulugan ng pagbabago ng eroplano. Pagtuklas ng paggalaw. katangian ng paggalaw. Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri. Mga halimbawa ng paggalaw. Analytical expression ng paggalaw. Pag-uuri ng mga paggalaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong mga linya). Grupo ng mga paggalaw ng eroplano.

Kahulugan ng pagbabago ng eroplano: Kahulugan. Ang pagbabagong-anyo ng eroplano na nagpapanatili ng distansya sa pagitan ng mga punto ay tinatawag paggalaw(o paggalaw) ng eroplano. Ang pagbabago ng eroplano ay tinatawag affine, kung binago nito ang anumang tatlong puntos na nakahiga sa parehong linya sa tatlong puntos na nakahiga din sa parehong linya at sabay na pinapanatili ang simpleng kaugnayan ng tatlong puntos.

Kahulugan ng Paggalaw: Ito ay mga pagbabago sa hugis na nagpapanatili ng mga distansya sa pagitan ng mga punto. Kung ang dalawang figure ay tiyak na nakahanay sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw, kung gayon ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

Mga katangian ng paggalaw: Ang bawat paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang parallel na pagsasalin o isang pag-ikot; bawat orientation-pagbabago ng paggalaw ng isang eroplano ay alinman sa isang axial symmetry o isang sliding symmetry. Kapag gumagalaw, ang mga puntong nakahiga sa isang tuwid na linya ay nagiging mga punto na nakahiga sa isang tuwid na linya, at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang mga kamag-anak na posisyon ay pinananatili. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya ay napanatili.

Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri: Ang mga paggalaw ng unang uri ay ang mga paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng mga base ng isang tiyak na pigura. Maaari silang mapagtanto sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang mga paggalaw na nagbabago sa oryentasyon ng mga base sa kabaligtaran. Hindi sila maisasakatuparan sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga halimbawa ng mga paggalaw ng unang uri ay pagsasalin at pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya, at ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay sentral at mirror symmetry.

Ang komposisyon ng anumang bilang ng mga paggalaw ng unang uri ay isang paggalaw ng unang uri.

Ang komposisyon ng isang pantay na bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang paggalaw ng unang uri, at ang komposisyon ng isang kakaibang bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang paggalaw ng ika-2 uri.

Mga halimbawa ng paggalaw:Parallel na paglipat. Hayaan ang isang ibinigay na vector. Ang parallel transfer sa vector a ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat point M ay nakamapa sa point M 1, upang ang vector MM 1 ay katumbas ng vector a.

Ang parallel translation ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na pinapanatili ang mga distansya. Ang paggalaw na ito ay maaaring biswal na kinakatawan bilang isang paglipat ng buong eroplano sa direksyon ng isang naibigay na vector a sa pamamagitan ng haba nito.

Iikot. Tukuyin natin ang puntong O sa eroplano ( pagliko sa gitna) at itakda ang anggulo α ( anggulo ng pag-ikot). Ang pag-ikot ng eroplano sa paligid ng puntong O sa pamamagitan ng isang anggulong α ay ang pagmamapa ng eroplano sa sarili nito, kung saan ang bawat puntong M ay nakamapa sa puntong M 1, upang ang OM = OM 1 at ang anggulo ng MOM 1 ay katumbas ng α. Sa kasong ito, ang point O ay nananatili sa lugar nito, ibig sabihin, ito ay naka-map sa sarili nito, at ang lahat ng iba pang mga punto ay umiikot sa paligid ng point O sa parehong direksyon - clockwise o counterclockwise (ang figure ay nagpapakita ng counterclockwise rotation).

Ang pag-ikot ay isang paggalaw dahil ito ay kumakatawan sa isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang mga distansya ay pinapanatili.

Analytical expression ng paggalaw: ang analytical na koneksyon sa pagitan ng mga coordinate ng preimage at ang imahe ng punto ay may anyo (1).

Pag-uuri ng mga paggalaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya): Kahulugan:

Ang isang punto sa isang eroplano ay invariant (naayos) kung, sa ilalim ng isang ibinigay na pagbabago, ito ay nagbabago sa sarili nito.

Halimbawa: Sa gitnang simetrya, ang punto ng sentro ng simetrya ay invariant. Kapag lumiliko, ang punto ng sentro ng pag-ikot ay invariant. Sa axial symmetry, ang invariant na linya ay isang tuwid na linya - ang axis ng symmetry ay isang tuwid na linya ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang isang kilusan ay walang iisang invariant point, kung gayon mayroon itong kahit isang invariant na direksyon.

Halimbawa: Parallel transfer. Sa katunayan, ang mga tuwid na linya na parallel sa direksyon na ito ay invariant bilang isang figure sa kabuuan, bagama't hindi ito binubuo ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang isang sinag ay gumagalaw, ang sinag ay nagsasalin sa sarili nito, kung gayon ang paggalaw na ito ay alinman sa isang magkaparehong pagbabago o simetriya na may paggalang sa tuwid na linya na naglalaman ng ibinigay na sinag.

Samakatuwid, batay sa pagkakaroon ng mga invariant na puntos o figure, posibleng pag-uri-uriin ang mga paggalaw.

Pangalan ng paggalaw	Mga invariant na puntos	Mga linyang walang pagbabago
Ang paggalaw ng unang uri.
1. - lumiko	(gitna) - 0	Hindi
2. Pagbabago ng pagkakakilanlan	lahat ng punto ng eroplano	diretso lahat
3. Sentral na simetrya	punto 0 - gitna	lahat ng linya na dumadaan sa point 0
4. Parallel transfer	Hindi	diretso lahat
Ang paggalaw ng pangalawang uri.
5. Axial symmetry.	hanay ng mga puntos	axis of symmetry (tuwid na linya) lahat ng tuwid na linya

Pangkat ng paggalaw ng eroplano: Sa geometry, ang mga grupo ng mga self-composition ng mga figure ay may mahalagang papel. Kung ang isang tiyak na pigura sa isang eroplano (o sa kalawakan), maaari nating isaalang-alang ang hanay ng lahat ng mga paggalaw ng eroplano (o espasyo) kung saan ang pigura ay nagiging sarili nito.

Ang set na ito ay isang grupo. Halimbawa, para sa isang equilateral triangle, ang grupo ng mga paggalaw ng eroplano na nagbabago sa tatsulok sa sarili nito ay binubuo ng 6 na elemento: mga pag-ikot sa mga anggulo sa paligid ng isang punto at mga simetriko tungkol sa tatlong tuwid na linya.

Ang mga ito ay ipinapakita sa Fig. 1 na may mga pulang linya. Ang mga elemento ng pangkat ng mga self-alignment ng isang regular na tatsulok ay maaaring matukoy nang iba. Upang ipaliwanag ito, bilangin natin ang mga vertice ng isang regular na tatsulok na may mga numerong 1, 2, 3. Ang anumang pag-align sa sarili ng tatsulok ay tumatagal ng mga puntos 1, 2, 3 sa parehong mga punto, ngunit kinuha sa ibang pagkakasunud-sunod, i.e. maaaring kondisyon na nakasulat sa anyo ng isa sa mga bracket na ito:

kung saan ang mga numero 1, 2, 3 ay nagpapahiwatig ng mga numero ng mga vertice kung saan napupunta ang mga vertex 1, 2, 3 bilang resulta ng kilusang isinasaalang-alang.

Projective space at ang kanilang mga modelo.

Ang konsepto ng projective space at ang modelo ng projective space. Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry. Ang isang grupo ng mga linya na nakasentro sa punto O ay isang modelo ng projective plane. Mga projective na puntos. Ang pinalawig na eroplano ay isang modelo ng projective plane. Ang pinalawak na three-dimensional na affine o Euclidean space ay isang modelo ng projective space. Mga larawan ng mga flat at spatial na figure sa parallel na disenyo.

Ang konsepto ng projective space at ang modelo ng projective space:

Ang projective space sa ibabaw ng field ay isang puwang na binubuo ng mga linya (one-dimensional na mga subspace) ng ilang linear na espasyo sa isang partikular na field. Ang mga direktang puwang ay tinatawag tuldok projective space. Ang kahulugan na ito ay maaaring pangkalahatan sa isang arbitraryong katawan

Kung ito ay may dimensyon , kung gayon ang dimensyon ng projective space ay tinatawag na numero , at ang projective space mismo ay tinutukoy at tinatawag na nauugnay sa (upang ipahiwatig ito, ang notasyon ay pinagtibay).

Ang paglipat mula sa isang vector space ng dimensyon sa kaukulang projective space ay tinatawag projectivization space.

Maaaring ilarawan ang mga puntos gamit ang mga homogenous na coordinate.

Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry: Ang projective geometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga projective na eroplano at espasyo. Ang pangunahing tampok ng projective geometry ay ang prinsipyo ng duality, na nagdaragdag ng eleganteng simetrya sa maraming mga disenyo. Ang projective geometry ay maaaring pag-aralan pareho mula sa isang purong geometric na punto ng view, at mula sa isang analytical (gamit ang homogenous coordinates) at salgebraic point of view, isinasaalang-alang ang projective plane bilang isang istraktura sa ibabaw ng isang field. Kadalasan, at ayon sa kasaysayan, ang totoong projective plane ay itinuturing na Euclidean plane na may pagdaragdag ng "line at infinity".

Samantalang ang mga katangian ng mga figure kung saan ang Euclidean geometry ay nakikitungo panukat(mga tiyak na halaga ng mga anggulo, mga segment, mga lugar), at ang pagkakapareho ng mga numero ay katumbas ng kanilang pagkakatugma(ibig sabihin, kapag ang mga figure ay maaaring isalin sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw habang pinapanatili ang mga metric na katangian), mayroong higit pang "malalim na kasinungalingan" na mga katangian ng mga geometric na figure na pinapanatili sa ilalim ng mga pagbabagong mas pangkalahatang uri kaysa sa paggalaw. Ang projective geometry ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga katangian ng mga figure na invariant sa ilalim ng klase projective transformations, pati na rin ang mga pagbabagong ito mismo.

Ang projective geometry ay umaakma sa Euclidean geometry sa pamamagitan ng pagbibigay ng maganda at simpleng solusyon sa maraming problemang kumplikado ng pagkakaroon ng mga parallel na linya. Ang projective theory ng conic sections ay lalong simple at eleganteng.

May tatlong pangunahing diskarte sa projective geometry: independent axiomatization, complementation ng Euclidean geometry, at structure sa isang field.

Axiomatization

Maaaring tukuyin ang projective space gamit ang ibang hanay ng mga axiom.

Nagbibigay ang Coxeter ng sumusunod:

1. May tuwid na linya at wala dito.

2. Ang bawat linya ay may hindi bababa sa tatlong puntos.

3. Sa pamamagitan ng dalawang puntos maaari kang gumuhit ng eksaktong isang tuwid na linya.

4. Kung A, B, C, At D- iba't ibang mga punto at AB At CD bumalandra, pagkatapos A.C. At BD bumalandra.

5. Kung ABC ay isang eroplano, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto na wala sa eroplano ABC.

6. Dalawang magkaibang eroplano ay nagsalubong ng hindi bababa sa dalawang punto.

7. Ang tatlong dayagonal na punto ng isang kumpletong may apat na gilid ay hindi collinear.

8. Kung tatlong puntos ang nasa isang linya X X

Ang projective plane (walang pangatlong dimensyon) ay tinukoy ng bahagyang magkakaibang mga axiom:

1. Sa pamamagitan ng dalawang puntos maaari kang gumuhit ng eksaktong isang tuwid na linya.

2. Magsalubong ang alinmang dalawang linya.

3. Mayroong apat na puntos, kung saan ang tatlo ay hindi collinear.

4. Ang tatlong dayagonal na punto ng kumpletong quadrilaterals ay hindi collinear.

5. Kung tatlong puntos ang nasa isang linya X ay invariant na may paggalang sa projectivity ng φ, pagkatapos ay ang lahat ng mga puntos sa X invariant na may kinalaman sa φ.

6. Teorama ni Desargues: Kung ang dalawang tatsulok ay pananaw sa pamamagitan ng isang punto, kung gayon ang mga ito ay pananaw sa pamamagitan ng isang linya.

Sa pagkakaroon ng ikatlong dimensyon, ang teorama ni Desargues ay mapapatunayan nang hindi nagpapakilala ng perpektong punto at linya.

Pinalawak na eroplano - modelo ng projective na eroplano: Sa puwang ng affine A3 kumuha kami ng isang bundle ng mga linya S(O) na may sentro sa punto O at isang eroplanong Π na hindi dumadaan sa gitna ng bundle: O 6∈ Π. Ang isang bundle ng mga linya sa isang affine space ay isang modelo ng projective plane. Tukuyin natin ang isang pagmamapa ng hanay ng mga punto ng eroplano Π papunta sa hanay ng mga tuwid na linya ng connective S (Fuck, manalangin kung nakuha mo ang tanong na ito, patawarin mo ako)

Extended three-dimensional affine o Euclidean space—isang modelo ng projective space:

Upang gawing surjective ang pagmamapa, inuulit namin ang proseso ng pormal na pagpapalawak ng affine plane Π sa projective plane, Π, na dinadagdagan ang plane Π na may isang hanay ng mga hindi tamang puntos (M∞) tulad ng: ((M∞)) = P0(O). Dahil sa mapa ang kabaligtaran na imahe ng bawat eroplano ng bundle ng mga eroplanong S(O) ay isang linya sa eroplanong d, malinaw na ang hanay ng lahat ng hindi wastong punto ng pinalawig na eroplano: Π = Π ∩ (M∞) Ang , (M∞), ay kumakatawan sa isang hindi tamang linya d∞ ng pinalawig na eroplano, na siyang kabaligtaran na imahe ng isahan na eroplano Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sumang-ayon tayo na dito at mula ngayon mauunawaan natin ang huling pagkakapantay-pantay na P0(O) = Π0 sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay ng mga puntos, ngunit pinagkalooban ng ibang istraktura. Sa pamamagitan ng pagdaragdag sa affine plane ng isang hindi tamang linya, tiniyak namin na ang pagmamapa (I.21) ay naging bijective sa hanay ng lahat ng mga punto ng pinalawig na eroplano:

Mga larawan ng mga flat at spatial na figure sa panahon ng parallel na disenyo:

Sa stereometry, pinag-aaralan ang mga spatial figure, ngunit sa pagguhit ay inilalarawan sila bilang mga flat figure. Paano dapat ilarawan ang isang spatial figure sa isang eroplano? Karaniwan sa geometry, parallel na disenyo ang ginagamit para dito. Hayaan akong maging isang eroplano, l- isang tuwid na linya na bumabagtas dito (Larawan 1). Sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto A, hindi kabilang sa linya l, gumuhit ng linyang parallel sa linya l. Ang punto ng intersection ng linyang ito sa eroplanong p ay tinatawag na parallel projection ng punto A sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l. Ipahiwatig natin ito A". Kung ang punto A nabibilang sa linya l, pagkatapos ay sa pamamagitan ng parallel projection A ang punto ng intersection ng linya ay itinuturing na nasa eroplano p l may eroplano p.

Kaya, ang bawat punto A space ang projection nito ay inihambing A" papunta sa eroplano p. Ang sulat na ito ay tinatawag na parallel projection papunta sa plane p sa direksyon ng tuwid na linya l.

Grupo ng mga projective na pagbabago. Aplikasyon sa paglutas ng problema.

Ang konsepto ng projective transformation ng isang eroplano. Mga halimbawa ng projective transformations ng eroplano. Mga katangian ng projective transformations. Homology, katangian ng homology. Grupo ng mga projective na pagbabago.

Ang konsepto ng projective transformation ng isang eroplano: Ang konsepto ng isang projective transformation ay nagsa-generalize ng konsepto ng isang central projection. Kung gagawa tayo ng gitnang projection ng eroplano α papunta sa ilang eroplano α 1, pagkatapos ay isang projection ng α 1 papunta sa α 2, α 2 papunta sa α 3, ... at, sa wakas, ilang eroplano α n muli sa α 1, kung gayon ang komposisyon ng lahat ng mga projection na ito ay ang projective transformation ng eroplanong α; Ang mga parallel projection ay maaari ding isama sa naturang chain.

Mga halimbawa ng pagbabago ng projective plane: Ang projective transformation ng isang nakumpletong eroplano ay ang one-to-one na pagmamapa nito sa sarili nito, kung saan ang collinearity ng mga puntos ay pinapanatili, o, sa madaling salita, ang imahe ng anumang linya ay isang tuwid na linya. Ang anumang projective transformation ay isang komposisyon ng isang chain ng central at parallel projection. Ang affine transformation ay isang espesyal na kaso ng projective transformation, kung saan ang linya sa infinity ay nagiging sarili nito.

Mga katangian ng projective transformations:

Sa panahon ng projective transformation, tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang linya ay binago sa tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang linya.

Sa panahon ng projective transformation, nagiging frame ang frame.

Sa panahon ng projective transformation, ang isang linya ay napupunta sa isang tuwid na linya, at ang isang lapis ay napupunta sa isang lapis.

Homology, katangian ng homology:

Ang isang projective na pagbabagong-anyo ng isang eroplano na may linya ng mga invariant na punto, at samakatuwid ay isang lapis ng mga invariant na linya, ay tinatawag na homology.

1. Ang isang linyang dumadaan sa hindi magkakatugmang kaukulang homology na mga punto ay isang invariant na linya;

2. Ang mga linyang dumadaan sa hindi magkakatugmang kaukulang mga homology point ay nabibilang sa parehong lapis, ang gitna nito ay isang invariant point.

3. Ang punto, imahe nito at ang sentro ng homology ay nasa parehong tuwid na linya.

Grupo ng mga projective na pagbabago: isaalang-alang ang projective mapping ng projective plane P 2 sa sarili nito, iyon ay, ang projective transformation ng plane na ito (P 2 ’ = P 2).

Tulad ng dati, ang komposisyon f ng projective transformations f 1 at f 2 ng projective plane P 2 ay ang resulta ng sequential execution ng transformations f 1 at f 2: f = f 2 °f 1 .

Theorem 1: ang set H ng lahat ng projective transformations ng projective plane P 2 ay isang grupo na may paggalang sa komposisyon ng projective transformations.

Sa itaas ng field K (\displaystyle K) At e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- batayan sa L (\displaystyle L).

• Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng angular na menor de edad ng matris nito ay mahigpit na positibo.
• Ang isang parisukat na anyo ay negatibong tiyak kung at kung ang mga palatandaan ng lahat ng angular na menor de edad ng matris nito ay kahalili, at ang menor ng order 1 ay negatibo.

Ang isang bilinear form na polar hanggang sa isang positibong tiyak na quadratic na anyo ay nakakatugon sa lahat ng mga tuldok na axiom ng produkto.

Canonical view

Totoong kaso

Kung sakali K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(patlang ng mga tunay na numero), para sa anumang parisukat na anyo mayroong batayan kung saan ang matrix nito ay dayagonal, at ang anyo mismo ay may canonical view(normal na view):

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))

saan r (\displaystyle r)- ranggo ng parisukat na anyo. Sa kaso ng isang non-degenerate quadratic form p + q = n (\displaystyle p+q=n), at sa kaso ng degenerate - p+q< n {\displaystyle p+q.

Upang bawasan ang isang parisukat na anyo sa canonical na anyo, ang Lagrange na paraan o orthogonal na mga pagbabagong batayan ay karaniwang ginagamit, at ang isang ibinigay na quadratic na anyo ay maaaring dalhin sa canonical na anyo sa higit sa isang paraan.

Numero q (\displaystyle q)(negatibong mga termino) ay tinatawag inertia index ibinigay na parisukat na anyo, at ang bilang p − q (\displaystyle p-q)(ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga positibo at negatibong termino) ay tinatawag pirma parisukat na anyo. Tandaan na kung minsan ang lagda ng isang parisukat na anyo ay ang pares (p , q) (\displaystyle (p,q)). Numero p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) ay mga invariant ng quadratic form, i.e. huwag umasa sa paraan ng pagbabawas nito sa canonical form ( Batas ng pagkawalang-galaw ni Sylvester).

Kumplikadong kaso

Kung sakali K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(patlang ng kumplikadong mga numero), para sa anumang parisukat na anyo ay may batayan kung saan ang anyo ay may kanonikal na anyo

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))

saan r (\displaystyle r)- ranggo ng parisukat na anyo. Kaya, sa kumplikadong kaso (kumpara sa tunay na kaso), ang parisukat na anyo ay may isang solong invariant - ranggo, at lahat ng di-degenerate na anyo ay may parehong kanonikal na anyo (kabuuan ng mga parisukat).

Ito ay itinatag na ang bilang ng mga non-zero canonical coefficients ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng ranggo nito at hindi nakasalalay sa pagpili ng isang di-degenerate na pagbabagong-anyo sa tulong ng kung saan ang anyo A(x, x) ay nabawasan sa canonical form. Sa katunayan, ang bilang ng mga positibo at negatibong coefficient ay hindi rin nagbabago.

Teorama11.3 (batas ng inertia ng mga parisukat na anyo). Ang bilang ng mga positibo at negatibong coefficient sa normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng parisukat na anyo sa normal na anyo.

Hayaang mabuo ang parisukat f ranggo r mula sa n hindi kilala x 1 , x 2 , …, x n nabawasan sa normal na anyo sa dalawang paraan, iyon ay

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Mapapatunayan yan k = l.

Kahulugan 11.14. Ang bilang ng mga positibong parisukat sa normal na anyo kung saan ang tunay na parisukat na anyo ay nababawasan ay tinatawag positibong inertia index ang form na ito; bilang ng mga negatibong parisukat - negatibong inertia index, at ang kanilang kabuuan ay inertia index parisukat na anyo o pirma mga form f.

Kung p- positibong inertia index; q- negatibong inertia index; k = r = p + q– inertia index.

Pag-uuri ng mga parisukat na anyo

Hayaang mabuo ang parisukat A(x, x) ang inertia index ay katumbas ng k, ang positibong inertia index ay katumbas ng p, ang negatibong inertia index ay katumbas ng q, Pagkatapos k = p + q.

Ito ay napatunayan na sa anumang kanonikal na batayan f = {f 1 , f 2 , …, f n) ang parisukat na anyo na ito A(x, x) ay maaaring mabawasan sa normal na anyo A(x, x) = + + … + –
– … – , Saan  1 ,  2 , …,  n mga coordinate ng vector x sa batayan ( f}.

Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa tanda ng isang parisukat na anyo

Pahayag11.1. A(x, x), tinukoy sa n V, ay tiyak na tanda, ito ay kinakailangan at sapat na alinman sa isang positibong inertia index p, o negatibong inertia index q, ay katumbas ng sukat n space V.

Bukod dito, kung p = n, pagkatapos ay ang form positibo x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Kung q = n, pagkatapos ay ang form negatibo tinukoy (iyon ay, para sa alinman x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paghalili ng mga palatandaan ng isang parisukat na anyo

Pahayag 11.2. Upang magkaroon ng parisukat na anyo A(x, x), tinukoy sa n-dimensional na espasyo ng vector V, ay alternating sign(Ibig sabihin, may mga ganyan x, y Ano A(x, x) > 0 at A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Kailangan at sapat na kundisyon para sa quasi-alternating quadratic form

Pahayag 11.3. Upang magkaroon ng parisukat na anyo A(x, x), tinukoy sa n-dimensional na espasyo ng vector V, ay parang alternating(iyon ay, para sa anumang vector x o A(x, x) ≥ 0 o A(x, x) ≤ 0 at mayroong gayong di-zero na vector x, Ano A(x, x) = 0) ito ay kinakailangan at sapat para sa isa sa dalawang relasyon na masiyahan: p < n, q= 0 o p = 0, q < n.

Magkomento. Upang mailapat ang mga katangiang ito, ang parisukat na anyo ay dapat na bawasan sa kanonikal na anyo. Ang kriterya 15 sa pagpapasiya ng tanda ni Sylvester ay hindi nangangailangan nito.