Deci, conform teoremei privind reducerea unei forme pătratice, pentru orice formă pătratică \(A(x,x)\) există o bază canonică \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), deci pentru orice vector \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Deoarece \(A(x,x)\) are valoare reală, iar modificările noastre de bază implică, de asemenea, numai numere reale, concluzionăm că numerele \(\lambda _k\) sunt reale. Printre aceste numere sunt pozitive, negative și egale cu zero.

Definiție. Se numește numărul \(n_+\) de numere pozitive \(\lambda _k\). indice patratic pozitiv \(A(x,x)\), numărul \(n_-\) al numerelor negative \(\lambda _k\) se numește indice patratic negativ , se numește numărul \((n_++n_-)\). rangul formei pătratice . Dacă \(n_+=n\), se numește forma pătratică pozitiv .

În general, reducerea unei forme pătratice la o formă diagonală nu se realizează într-un mod unic. Se pune întrebarea: numerele \(n_+\), \(n_-\) depind de alegerea bazei în care forma pătratică este diagonală?

Teorema (Legea inerției formelor pătratice). Indicii pozitivi și negativi ai unei forme pătratice nu depind de metoda de reducere a acesteia la forma canonică.

Să fie două baze canonice, \(\(f\)\), \(\(g\)\), astfel încât orice vector \(x\) să fie reprezentat sub forma: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] și \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Fie dintre \(\lambda _k\) primul \(p\) să fie pozitiv, restul fie negativ, fie zero, dintre \(\mu_m\) primul \(s\) să fie pozitiv, restul fie negativ, fie zero. Trebuie să demonstrăm că \(p=s\). Să rescriem (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] deci toți termenii din ambele părți ale ecuației sunt nenegative. Să presupunem că \(p\) și \(s\) nu sunt egale, de exemplu, \(p

Am demonstrat că indicii pozitivi coincid. În mod similar, putem demonstra că și indicii negativi coincid. etc.

1. Convertiți formele pătratice în suma pătratelor:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

§ 4. Legea inerţiei formelor pătratice. Clasificarea formelor pătratice

1. Legea inerției formelor pătratice. Am observat deja (vezi Observația 2 din paragraful 1 al paragrafului anterior) că rangul unei forme pătratice este egal cu numărul de coeficienți canonici nenuli. Astfel, numărul de coeficienți canonici nenuli nu depinde de alegerea transformării nedegenerate cu ajutorul căreia forma A(x, x) se reduce la formă canonică. De fapt, cu orice metodă de reducere a formei A(x, x) la forma canonică, numărul de coeficienți canonici pozitivi și negativi nu se modifică. Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.
Înainte de a trece la justificarea legii inerției, să facem câteva comentarii.
Fie forma A(x, x) în baza e = (e 1, e 2,..., e n) să fie determinată de matricea A(e) = (a ij):

unde ξ 1, ξ 2, ..., ξ n sunt coordonatele vectorului x din baza e. Să presupunem că această formă este redusă la forma canonică folosind o transformare de coordonate nedegenerată

şi A1, A2,..., A k- coeficienți canonici nenuli, numerotați astfel încât primul q dintre acești coeficienți să fie pozitivi, iar următorii coeficienți să fie negativi:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.

Luați în considerare următoarea transformare de coordonate nedegenerată μ i (este ușor de observat că determinantul acestei transformări este diferit de zero):

Ca rezultat al acestei transformări, forma A(x, x) va lua forma

numită forma normală a unei forme pătratice.
Deci, folosind o transformare nedegenerată a coordonatelor ξ 1, ξ 2, ..., ξ n ale vectorului x în baza e = (e 1, e 2,..., e n)

(această transformare este produsul transformărilor ξ la μ și μ la η conform formulelor (7.30)) forma pătratică poate fi redusă la forma normală (7.31).
Să demonstrăm următoarea afirmație.
Teorema 7.5 (legea inerției formelor pătratice). Numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) în forma normală a unei forme pătratice nu depinde de metoda de reducere a formei la această formă.
Dovada. Fie ca forma A(x, x) să fie redusă la forma normală (7.31) folosind o transformare de coordonate nedegenerată (7.32) și redusă la forma normală folosind o altă transformare de coordonate nedegenerată

Evident, pentru a demonstra teorema este suficient să verificăm egalitatea p = q.
Fie p > q. Să ne asigurăm că în acest caz există un vector x diferit de zero astfel încât, în raport cu bazele în care forma A(x, x) are forma (7.31) și (7.33), coordonatele η 1, η 2, ..., η q și ζ р+1 , ..., ζ n din acest vector sunt egale cu zero:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)

Deoarece coordonatele η i se obțin prin transformarea nedegenerată (7.32) a coordonatelor ξ 1, ..., ξ n, iar coordonatele ζ i- folosind o transformare similară nedegenerată a acelorași coordonate ξ 1, ..., ξ n, atunci relațiile (7.34) pot fi considerate ca un sistem de ecuații liniare omogene pentru coordonatele ξ 1, ..., ξ n ale vectorul dorit x în baza e = ( e 1, e 2,..., e n) (de exemplu, în formă extinsă relația η 1 = 0 are, conform (7.32), forma a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Deoarece p > q, numărul de ecuații omogene (7.34) este mai mic decât n și, prin urmare, sistemul (7.34) are o soluție diferită de zero față de coordonatele ξ 1, ..., ξ n ale vectorul dorit x. În consecință, dacă p > q, atunci există un vector x diferit de zero pentru care relațiile (7.34) sunt satisfăcute.
Să calculăm valoarea formei A(x, x) pentru acest vector x. Revenind la relațiile (7.31) și (7.33), obținem

Ultima egalitate poate avea loc numai în cazul lui η q+1 = ... = η k = 0 și ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Astfel, în anumite baze toate coordonatele ζ 1, ζ 2, ..., ζ n vectori nenuli x sunt egali cu zero (vezi ultimele egalități și relații (7.34)), adică. vectorul x este egal cu zero. Prin urmare, ipoteza p > q conduce la o contradicție. Din motive similare, ipoteza p< q.
Deci p = q. Teorema a fost demonstrată.
2. Clasificarea formelor pătratice. În paragraful 1 al §2 al acestui capitol (vezi Definiția 2), au fost introduse conceptele formelor pătratice definite pozitiv, definite negative, alternante și cvasi-semn definite.
În această secțiune, folosind conceptele de indice de inerție, indici de inerție pozitivi și negativi ai unei forme pătrate, vom indica cum se poate afla dacă o formă pătratică aparține unuia sau altuia dintre tipurile enumerate mai sus. În acest caz, indicele de inerție al unei forme pătratice va fi numărul de coeficienți canonici nenuli ai acestei forme (adică rangul său), indicele de inerție pozitivă numărul de coeficienți canonici pozitivi, indicele de inerție negativă numărul de coeficienți canonici negativi. coeficienți. Este clar că suma indicilor de inerție pozitiv și negativ este egală cu indicele de inerție.
Deci, fie indicele de inerție, indicii de inerție pozitivi și negativi ai formei pătratice A(x, x) egale cu k, p și respectiv q (k = p + q), În paragraful anterior s-a dovedit că în orice baza canonică f = (f 1 , f 2 , ..., f n) această formă poate fi redusă la următoarea formă normală:

unde η 1, η 2, ..., η n sunt coordonatele vectorului x în baza f.
1°. Condiție necesară și suficientă pentru semnul unei forme pătratice. Următoarea afirmație este adevărată.
Pentru ca forma pătratică A(x, x), definită în spațiul liniar n-dimensional L, să fie de semn definit, este necesar și suficient ca fie indicele pozitiv de inerție p, fie indicele negativ de inerție q să fie egală cu dimensiunea n a spațiului L.
Mai mult, dacă p = n, atunci forma este definită pozitivă, dar dacă q = n, atunci forma este definită negativă.
Dovada. Deoarece cazurile unei forme definite pozitive și ale unei forme definite negative sunt considerate în mod similar, vom efectua demonstrația enunțului pentru formele definite pozitive.
1) Necesitatea. Fie forma A(x, x) definită pozitiv. Atunci expresia (7.35) va lua forma

A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2.

Dacă în același timp p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

forma A(x, x) dispare, iar aceasta contrazice definiția unei forme pătratice definite pozitive. Prin urmare, p = n.
2) Suficiență. Fie p = n. Atunci relația (7.35) are forma A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2. Este clar că A(x, x) ≥ 0, iar dacă A = 0, atunci η 1 = η 2 = ... = η n= 0, adică vectorul x este zero. Prin urmare, A(x, x) este o formă definită pozitivă.
Cometariu. Pentru a clarifica problema semnului definit al unei forme pătratice folosind criteriul indicat, trebuie să aducem această formă la forma sa canonică.
În secțiunea următoare vom demonstra criteriul lui Sylvester pentru semnul definit al unei forme pătratice, cu ajutorul căruia putem clarifica problema semnului definit al unei forme date în orice bază fără reducere la forma canonică.
2°. Condiție necesară și suficientă pentru alternarea semnelor unei forme pătratice. Să demonstrăm următoarea afirmație.
Pentru ca o formă pătratică să fie alternantă, este necesar și suficient ca atât indicii de inerție pozitivi, cât și cei negativi ai acestei forme să fie diferiți de zero.
Dovada. 1) Necesitatea. Deoarece forma alternantă ia atât valori pozitive, cât și negative, reprezentarea sa G.35) în formă normală trebuie să conțină atât termeni pozitivi, cât și negativi (în caz contrar, această formă ar lua valori fie nenegative, fie nepozitive). În consecință, atât indicii de inerție pozitivi, cât și cei negativi sunt diferiti de zero.
2) Suficiență. Fie р ≠ 0 și q ≠ 0. Atunci pentru vectorul x 1, cu coordonatele η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 avem A(x 1 x 1) > 0, iar pentru vectorul x 2 cu coordonatele η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 avem A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. O condiție necesară și suficientă pentru caracterul definit de cvasi-semn al unei forme pătratice. Următoarea afirmație este adevărată.
Pentru ca forma A(x, x) să fie cvasi-sign definită, este necesar și suficient ca următoarele relații să fie valabile: fie p< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Dovada. Vom considera cazul unei forme definite de cvasi-semn pozitiv. Cazul unei forme definite de cvasi-semn negativ este tratat în mod similar.
1) Necesitatea. Fie forma A(x, x) definită de cvasi-semn pozitiv. Atunci, evident, q = 0 și p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Suficiență. Dacă p< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 avem A(x, x) = 0, i.e. A(x, x) este o formă definită de cvasi-semn pozitiv.
3. Criteriul lui Sylvester (James Joseph Sylvester (1814-1897) - matematician englez) pentru semnul unei forme pătratice. Fie forma A(x, x) în baza e = (e 1, e 2,..., e n) să fie determinată de matricea A(e) = (a ij):

lăsați-l să plece Δ 1 = a 11, - minore unghiulare și determinant matriceal (a ij). Următoarea afirmație este adevărată.
Teorema 7.6 (criteriul Sylvester). Pentru ca forma pătratică A(x, x) să fie definită pozitiv, este necesar și suficient ca inegalitățile Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 să fie satisfăcute.
Pentru ca o formă pătratică să fie definită negativă, este necesar și suficient ca semnele minorelor unghiulare să se alterneze, cu Δ 1< 0.
Dovada. 1) Necesitatea. Să demonstrăm mai întâi că din condiția ca forma pătratică A(x, x) este definită de semn rezultă Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Să ne asigurăm că ipoteza Δ k= 0 duce la o contradicție - în această ipoteză, există un vector x diferit de zero pentru care A(x, x) = 0, care contrazice semnul definit al formei.
Deci fie Δ k= 0. Luați în considerare următorul sistem patratic omogen de ecuații liniare:

Deoarece Δ k este determinantul acestui sistem și Δ k= 0, atunci sistemul are o soluție diferită de zero ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (nu toate ξ i sunt egale cu 0). Înmulțim prima dintre ecuațiile (7.36) cu ξ 1, a doua cu ξ 2, ..., ultima cu ξ k și adunăm relațiile rezultate. Ca rezultat, obținem egalitatea , a cărui latură stângă reprezintă valoarea formei pătratice A(x, x) pentru un vector nenul x cu coordonate (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Această valoare este zero, ceea ce contrazice semnul definit al formei.
Deci, suntem convinși că Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Prin urmare, putem aplica metoda Jacobi de reducere a formei A(x, x) la o sumă de pătrate (vezi Teorema 7.4) și să folosim formulele (7.27) pentru coeficienții canonici λ i. Dacă A(x, x) este o formă definită pozitivă, atunci toți coeficienții canonici sunt pozitivi. Dar apoi din relațiile (7.27) rezultă că Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Dacă A(x, x) este o formă definită negativă, atunci toți coeficienții canonici sunt negativi. Dar apoi din formulele (7.27) rezultă că semnele minorilor unghiulari alternează, iar Δ 1< 0.
2) Suficiență. Fie îndeplinite condițiile impuse minorilor unghiulari Δ iîn formularea teoremei. Deoarece Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n, atunci forma A poate fi redusă la o sumă de pătrate prin metoda Jacobi (vezi Teorema 7.4), iar coeficienții canonici λ i poate fi găsit folosind formulele (7.27). Dacă Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, atunci din relațiile (7.27) rezultă că toate λ i> 0, adică forma A(x, x) este definită pozitiv. Dacă semnele Δ i alternativ și Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Conceptul de formă pătratică. Matrice de formă pătratică. Forma canonică a formei pătratice. Metoda Lagrange. Vedere normală a unei forme pătratice. Rangul, indicele și semnătura formei pătratice. Forma patratică definită pozitivă. Quadrics.

Conceptul de formă pătratică: o funcție pe un spațiu vectorial definit de un polinom omogen de gradul doi în coordonatele vectorului.

Forma cuadratică din n necunoscute este o sumă, fiecare termen fiind fie pătratul uneia dintre aceste necunoscute, fie produsul a două necunoscute diferite.

Matricea pătratică: Matricea se numește o matrice de formă pătratică într-o bază dată. Dacă caracteristica câmpului nu este egală cu 2, putem presupune că matricea de formă pătratică este simetrică, adică.

Scrieți o matrice de formă pătratică:

Prin urmare,

În formă de matrice vectorială, forma pătratică este:

Forma canonică a formei pătratice: O formă pătratică se numește canonică dacă toate i.e.

Orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică folosind transformări liniare. În practică, se folosesc de obicei următoarele metode.

Metoda Lagrange : selecția secvențială a pătratelor complete. De exemplu, dacă

Apoi se efectuează o procedură similară cu forma pătratică etc. Dacă totul nu este în forma pătratică, atunci după o transformare preliminară problema se reduce la procedura luată în considerare. Deci, dacă, de exemplu, atunci presupunem

Forma normală a formei pătratice: O formă pătratică normală este o formă pătratică canonică în care toți coeficienții sunt egali cu +1 sau -1.

Rangul, indicele și semnătura formei pătratice: Rangul formei pătratice A se numește rangul matricei A. Rangul unei forme pătratice nu se modifică în cazul transformărilor nedegenerate ale necunoscutelor.

Numărul de coeficienți negativi se numește indice de formă negativă.

Numărul de termeni pozitivi în formă canonică se numește indice pozitiv de inerție al formei pătratice, numărul de termeni negativi se numește indice negativ. Diferența dintre indicii pozitivi și negativi se numește semnătura formei pătratice

Forma patratică definită pozitivă: O formă pătratică reală se numește definită pozitivă (definită negativă) dacă, pentru orice valoare reală a variabilelor care nu sunt simultan zero,

În acest caz, matricea se mai numește și definit pozitiv (definit negativ).

Clasa formelor definite pozitive (definite negative) face parte din clasa formelor nenegative (respectiv nepozitive).

Quadric: Quadric - n-hipersuprafaţa dimensională în n Spațiu +1-dimensional, definit ca mulțimea de zerouri a unui polinom de gradul doi. Dacă introduceți coordonatele ( X 1 , X 2 , x n+1 ) (în spațiu euclidian sau afin), ecuația generală a unei cvadrici este

Această ecuație poate fi rescrisă mai compact în notație matriceală:

unde x = ( X 1 , X 2 , x n+1) — vector rând, X T este un vector transpus, Q- matricea dimensiunilor ( n+1)×( n+1) (se presupune că cel puțin unul dintre elementele sale este diferit de zero), P este un vector rând și R- constant. Cel mai adesea sunt luate în considerare quadricurile peste numere reale sau complexe. Definiția poate fi extinsă la cvadrici în spațiu proiectiv, vezi mai jos.

Mai general, mulțimea de zerouri a unui sistem de ecuații polinomiale este cunoscută ca o varietate algebrică. Astfel, o cvadrică este o varietate algebrică (afină sau proiectivă) de gradul doi și codimensiunea 1.

Transformări ale planului și spațiului.

Definiţia plane transformation. Detectarea miscarii. proprietățile mișcării. Două tipuri de mișcări: mișcarea de primul fel și mișcarea de al doilea fel. Exemple de mișcări. Exprimarea analitică a mișcării. Clasificarea mișcărilor plane (în funcție de prezența punctelor fixe și a liniilor invariante). Grup de mișcări plane.

Definiția transformării plane: Definiție. Se numește o transformare plană care păstrează distanța dintre puncte circulaţie(sau mișcarea) avionului. Transformarea plană se numește afin, dacă transformă orice trei puncte situate pe aceeași linie în trei puncte situate tot pe aceeași dreaptă și păstrând în același timp relația simplă a celor trei puncte.

Definiția mișcării: Acestea sunt transformări de formă care păstrează distanțele dintre puncte. Dacă două figuri sunt aliniate precis una cu cealaltă prin mișcare, atunci aceste cifre sunt aceleași, egale.

Proprietăți de mișcare: Fiecare mișcare de păstrare a orientării a unui plan este fie o translație paralelă, fie o rotație; fiecare mișcare de schimbare a orientării a unui plan este fie o simetrie axială, fie o simetrie de alunecare. La deplasare, punctele situate pe o linie dreaptă se transformă în puncte situate pe o linie dreaptă, iar ordinea pozițiilor lor relative este menținută. La mișcare, unghiurile dintre semi-linii sunt păstrate.

Două tipuri de mișcări: mișcarea de primul fel și mișcarea de al doilea fel: Mișcările de primul fel sunt acele mișcări care păstrează orientarea bazelor unei anumite figuri. Ele pot fi realizate prin mișcări continue.

Mișcările de al doilea fel sunt acele mișcări care schimbă orientarea bazelor spre opus. Ele nu pot fi realizate prin mișcări continue.

Exemple de mișcări de primul fel sunt translația și rotația în jurul unei linii drepte, iar mișcările de al doilea fel sunt simetrii centrale și oglindă.

Compoziția oricărui număr de mișcări de primul fel este o mișcare de primul fel.

Compoziția unui număr par de mișcări de al doilea fel este mișcarea de primul fel, iar compoziția unui număr impar de mișcări de al doilea fel este mișcarea de al doilea fel.

Exemple de mișcări:Transfer paralel. Fie a vectorul dat. Transferul paralel la vectorul a este o mapare a planului pe el însuși, în care fiecare punct M este mapat la punctul M 1, astfel încât vectorul MM 1 este egal cu vectorul a.

Translația paralelă este o mișcare, deoarece este o mapare a planului pe el însuși, păstrând distanțele. Această mișcare poate fi reprezentată vizual ca o deplasare a întregului plan în direcția unui vector dat a prin lungimea acestuia.

Roti. Să notăm punctul O pe plan ( centru de cotitură) și setați unghiul α ( unghiul de rotatie). Rotația planului în jurul punctului O cu un unghi α este maparea planului pe el însuși, în care fiecare punct M este mapat la punctul M 1, astfel încât OM = OM 1 și unghiul MOM 1 este egal cu α. În acest caz, punctul O rămâne la locul său, adică este mapat pe el însuși și toate celelalte puncte se rotesc în jurul punctului O în aceeași direcție - în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic (figura arată o rotație în sens invers acelor de ceasornic).

Rotația este o mișcare deoarece reprezintă o mapare a planului pe sine, în care distanțele sunt păstrate.

Exprimarea analitică a mișcării: legătura analitică dintre coordonatele preimaginei și imaginea punctului are forma (1).

Clasificarea mișcărilor plane (în funcție de prezența punctelor fixe și a liniilor invariante): Definiție:

Un punct de pe un plan este invariant (fix) dacă, în cadrul unei transformări date, se transformă în sine.

Exemplu: Cu simetria centrală, punctul centrului de simetrie este invariant. La întoarcere, punctul centrului de rotație este invariant. Cu simetria axială, linia invariantă este o linie dreaptă - axa de simetrie este o linie dreaptă a punctelor invariante.

Teoremă: Dacă o mișcare nu are un singur punct invariant, atunci are cel puțin o direcție invariantă.

Exemplu: transfer paralel. Într-adevăr, liniile drepte paralele cu această direcție sunt invariante ca figură în ansamblu, deși nu constă din puncte invariante.

Teorema: Dacă o rază se mișcă, raza se traduce în sine, atunci această mișcare este fie o transformare identică, fie o simetrie față de linia dreaptă care conține raza dată.

Prin urmare, pe baza prezenței punctelor sau figurilor invariante, este posibilă clasificarea mișcărilor.

Grupul de mișcare a avionului:În geometrie, grupurile de autocompoziții de figuri joacă un rol important. Dacă este o anumită figură pe un plan (sau în spațiu), atunci putem considera ansamblul tuturor acelor mișcări ale planului (sau spațiului) în timpul cărora figura se transformă în sine.

Acest set este un grup. De exemplu, pentru un triunghi echilateral, grupul de mișcări plane care transformă triunghiul în sine este format din 6 elemente: rotații prin unghiuri în jurul unui punct și simetrii în jurul a trei drepte.

Ele sunt prezentate în Fig. 1 cu linii roșii. Elementele grupului de auto-alinieri ale unui triunghi regulat pot fi specificate diferit. Pentru a explica acest lucru, să numerotăm vârfurile unui triunghi regulat cu numerele 1, 2, 3. Orice auto-aliniere a triunghiului duce punctele 1, 2, 3 la aceleași puncte, dar luate într-o ordine diferită, adică. poate fi scris condiționat sub forma uneia dintre aceste paranteze:

unde numerele 1, 2, 3 indică numerele acelor vârfuri în care merg vârfurile 1, 2, 3 ca rezultat al mișcării luate în considerare.

Spații proiective și modelele acestora.

Conceptul de spațiu proiectiv și modelul de spațiu proiectiv. Date de bază ale geometriei proiective. O grămadă de drepte centrate în punctul O este un model al planului proiectiv. Puncte proiective. Planul extins este un model al planului proiectiv. Spațiul afin tridimensional extins sau euclidian este un model de spațiu proiectiv. Imagini cu figuri plate și spațiale în design paralel.

Conceptul de spațiu proiectiv și modelul spațiului proiectiv:

Spațiul proiectiv peste un câmp este un spațiu format din linii (subspații unidimensionale) ale unui spațiu liniar peste un câmp dat. Se numesc spații directe puncte spațiu proiectiv. Această definiție poate fi generalizată la un corp arbitrar

Dacă are dimensiunea , atunci dimensiunea spațiului proiectiv se numește număr , iar spațiul proiectiv însuși este notat și numit asociat cu (pentru a indica acest lucru, se adoptă notația).

Se numește trecerea de la un spațiu vectorial de dimensiune la spațiul proiectiv corespunzător proiectivizarea spaţiu.

Punctele pot fi descrise folosind coordonate omogene.

Date de bază ale geometriei proiective: Geometria proiectivă este o ramură a geometriei care studiază planurile și spațiile proiective. Caracteristica principală a geometriei proiective este principiul dualității, care adaugă simetrie elegantă multor modele. Geometria proiectivă poate fi studiată atât din punct de vedere pur geometric, cât și din punct de vedere analitic (folosind coordonate omogene) și salgebric, considerând planul proiectiv ca structură peste un câmp. Adesea, și din punct de vedere istoric, planul proiectiv real este considerat a fi planul euclidian cu adăugarea „liniei la infinit”.

În timp ce proprietățile figurilor cu care se ocupă geometria euclidiană sunt metric(valori specifice ale unghiurilor, segmentelor, ariilor), iar echivalența figurilor este echivalentă cu acestea congruenţă(adică, când figurile pot fi translatate unele în altele prin mișcare, păstrând în același timp proprietățile metrice), există mai multe proprietăți „de adâncime” ale figurilor geometrice care sunt păstrate în cadrul transformărilor de tip mai general decât mișcarea. Geometria proiectivă se ocupă cu studiul proprietăților figurilor care sunt invariante în cadrul clasei transformări proiective, precum și aceste transformări în sine.

Geometria proiectivă completează geometria euclidiană oferind soluții frumoase și simple la multe probleme complicate de prezența liniilor paralele. Teoria proiectivă a secțiunilor conice este deosebit de simplă și elegantă.

Există trei abordări principale ale geometriei proiective: axiomatizarea independentă, completarea geometriei euclidiene și structura pe un câmp.

Axiomatizarea

Spațiul proiectiv poate fi definit folosind un set diferit de axiome.

Coxeter oferă următoarele:

1. Există o linie dreaptă și un punct nu este pe ea.

2. Fiecare linie are cel puțin trei puncte.

3. Prin două puncte poți trage exact o linie dreaptă.

4. Dacă A, B, C, Și D- diverse puncte şi ABȘi CD se intersectează, atunci A.C.Și BD se intersectează.

5. Dacă ABC este un plan, atunci există cel puțin un punct care nu este în plan ABC.

6. Două plane diferite intersectează cel puțin două puncte.

7. Cele trei puncte diagonale ale unui patrulater complet nu sunt coliniare.

8. Dacă trei puncte sunt pe o linie X X

Planul proiectiv (fără a treia dimensiune) este definit de axiome ușor diferite:

1. Prin două puncte poți trage exact o linie dreaptă.

2. Oricare două linii se intersectează.

3. Sunt patru puncte, dintre care trei nu sunt coliniare.

4. Cele trei puncte diagonale ale patrulaterelor complete nu sunt coliniare.

5. Dacă trei puncte sunt pe o linie X sunt invariante în raport cu proiectivitatea lui φ, atunci toate punctele pe X invariant în raport cu φ.

6. Teorema lui Desargues: Dacă două triunghiuri sunt perspectivă printr-un punct, atunci sunt perspectivă printr-o dreaptă.

În prezența unei a treia dimensiuni, teorema lui Desargues poate fi demonstrată fără a introduce un punct și o dreaptă ideale.

Plan extins - model plan proiectiv:În spațiul afin A3 luăm un mănunchi de drepte S(O) cu centru în punctul O și un plan Π care nu trece prin centrul mănunchiului: O 6∈ Π. Un mănunchi de linii într-un spațiu afin este un model al planului proiectiv. Să definim o mapare a mulțimii de puncte ale planului Π pe setul de linii drepte ale conectivului S (La naiba, roagă-te dacă ai această întrebare, iartă-mă)

Spațiu afin tridimensional extins sau euclidian - un model de spațiu proiectiv:

Pentru a face maparea surjectivă, repetăm ​​procesul de extindere formală a planului afin Π la planul proiectiv, Π, suplimentând planul Π cu un set de puncte improprii (M∞) astfel încât: ((M∞)) = P0(O). Deoarece în hartă imaginea inversă a fiecărui plan al mănunchiului de plane S(O) este o dreaptă pe planul d, este evident că mulțimea tuturor punctelor improprie ale planului extins: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), reprezintă o dreaptă improprie d∞ a planului extins, care este imaginea inversă a planului singular Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Să fim de acord că aici și de acum înainte vom înțelege ultima egalitate P0(O) = Π0 în sensul egalității de mulțimi de puncte, dar dotată cu o structură diferită. Suplimentând planul afin cu o linie necorespunzătoare, ne-am asigurat că maparea (I.21) a devenit bijectivă pe mulțimea tuturor punctelor planului extins:

Imagini ale figurilor plate și spațiale în timpul proiectării paralele:

În stereometrie, sunt studiate figurile spațiale, dar în desen sunt descrise ca figuri plate. Cum ar trebui să fie reprezentată o figură spațială pe un plan? De obicei, în geometrie, designul paralel este utilizat pentru aceasta. Fie p un avion, l- o linie dreaptă care o intersectează (Fig. 1). Printr-un punct arbitrar A, neaparținând liniei l, trageți o linie paralelă cu linia l. Punctul de intersecție al acestei drepte cu planul p se numește proiecția paralelă a punctului A la planul p în direcția dreptei l. Să o notăm A". Dacă punctul A aparține liniei l, apoi prin proiecție paralelă A punctul de intersecție al dreptei este considerat a fi pe planul p l cu avionul p.

Astfel, fiecare punct A spațiul se compară proiecția acestuia A" pe planul p. Această corespondență se numește proiecție paralelă pe planul p în direcția dreptei l.

Grup de transformări proiective. Aplicație la rezolvarea problemelor.

Conceptul de transformare proiectivă a unui plan. Exemple de transformări proiective ale planului. Proprietățile transformărilor proiective. Omologie, proprietăți ale omologiei. Grup de transformări proiective.

Conceptul de transformare proiectivă a unui plan: Conceptul de transformare proiectivă generalizează conceptul de proiecție centrală. Dacă realizăm o proiecție centrală a planului α pe un plan α 1, atunci proiecția lui α 1 pe α 2, α 2 pe α 3, ... și, în final, un plan α n din nou pe α 1, atunci compoziția tuturor acestor proiecții este transformarea proiectivă a planului α; Într-un astfel de lanț pot fi incluse și proiecții paralele.

Exemple de transformări plane proiective: O transformare proiectivă a unui plan finalizat este maparea sa unu-la-unu pe sine, în care se păstrează coliniaritatea punctelor sau, cu alte cuvinte, imaginea oricărei linii este o linie dreaptă. Orice transformare proiectivă este o compoziție a unui lanț de proiecții centrale și paralele. O transformare afină este un caz special al unei transformări proiective, în care linia de la infinit se transformă în sine.

Proprietățile transformărilor proiective:

În timpul unei transformări proiective, trei puncte care nu se află pe o linie sunt transformate în trei puncte care nu se află pe o linie.

În timpul unei transformări proiective, cadrul se transformă într-un cadru.

În timpul unei transformări proiective, o linie trece într-o linie dreaptă, iar un creion intră într-un creion.

Omologie, proprietăți ale omologiei:

O transformare proiectivă a unui plan care are o linie de puncte invariante și, prin urmare, un creion de linii invariante, se numește omologie.

1. O linie care trece prin puncte de omologie corespunzătoare necoincidente este o linie invariantă;

2. Liniile care trec prin puncte de omologie corespunzătoare necoincidente aparțin aceluiași creion, al cărui centru este un punct invariant.

3. Punctul, imaginea sa și centrul omologiei se află pe aceeași linie dreaptă.

Grup de transformări proiective: luați în considerare maparea proiectivă a planului proiectiv P 2 asupra lui însuși, adică transformarea proiectivă a acestui plan (P 2 ’ = P 2).

Ca și mai înainte, compoziția f a transformărilor proiective f 1 și f 2 a planului proiectiv P 2 este rezultatul executării secvențiale a transformărilor f 1 și f 2: f = f 2 °f 1 .

Teorema 1: mulțimea H a tuturor transformărilor proiective ale planului proiectiv P 2 este un grup în raport cu compoziția transformărilor proiective.

Deasupra câmpului K (\displaystyle K)Și e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots,e_(n))- baza in L (\displaystyle L).

• O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate minorele unghiulare ale matricei sale sunt strict pozitive.
• O formă pătratică este negativă definită dacă și numai dacă semnele tuturor minorelor unghiulare ale matricei sale alternează, iar minorul de ordinul 1 este negativ.

O formă biliniară polară la o formă pătratică definită pozitivă satisface toate axiomele produsului punctual.

Vedere canonică

Caz real

În cazul în care K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(câmp de numere reale), pentru orice formă pătratică există o bază în care matricea sa este diagonală, iar forma în sine are vedere canonică(vedere normală):

Unde r (\displaystyle r)- rangul formei pătratice. În cazul unei forme pătratice nedegenerate p + q = n (\displaystyle p+q=n), iar în cazul degeneratului - p+q< n {\displaystyle p+q.

Pentru a reduce o formă pătratică la forma canonică, se utilizează de obicei metoda Lagrange sau transformările de bază ortogonale, iar o formă pătratică dată poate fi adusă la forma canonică în mai multe moduri.

Număr q (\displaystyle q)(termeni negativi) se numește indicele de inerție forma pătratică dată și numărul p - q (\displaystyle p-q)(diferența dintre numărul de termeni pozitivi și negativi) se numește semnătură formă pătratică. Rețineți că uneori semnătura unei forme pătratice este perechea (p, q) (\displaystyle (p,q)). Numerele p , q , p - q (\displaystyle p,q,p-q) sunt invarianți de formă pătratică, adică nu depinde de metoda de reducere la forma canonică ( Legea inerției lui Sylvester).

Caz complex

În cazul în care K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(câmp de numere complexe), pentru orice formă pătratică există o bază în care forma are forma canonică

Unde r (\displaystyle r)- rangul formei pătratice. Astfel, în cazul complex (spre deosebire de cazul real), forma pătratică are un singur invariant - rang, iar toate formele nedegenerate au aceeași formă canonică (sumă de pătrate).

S-a stabilit că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate cu ajutorul căreia forma A(X, X) se reduce la forma canonică. De fapt, nici numărul de coeficienți pozitivi și negativi nu se modifică.

Teorema11.3 (legea inerției formelor pătratice). Numărul de coeficienți pozitivi și negativi în forma normală a unei forme pătratice nu depinde de metoda de reducere a formei pătratice la forma normală.

Fie forma pătratică f rang r din n necunoscut X 1 , X 2 , …, X n redusă la formă normală în două moduri, adică

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Se poate dovedi că k = l.

Definiția 11.14. Se numește numărul de pătrate pozitive în forma normală la care se reduce forma pătratică reală indice de inerție pozitiv acest formular; numărul de pătrate negative - indice de inerție negativ, iar suma lor este indicele de inerție formă pătratică sau semnătură forme f.

Dacă p– indice de inerție pozitiv; q– indice de inerție negativ; k = r = p + q– indicele de inerție.

Clasificarea formelor pătratice

Fie forma pătratică A(X, X) indicele de inerție este egal cu k, indicele de inerție pozitiv este egal cu p, indicele de inerție negativ este egal cu q, Apoi k = p + q.

S-a dovedit că în orice bază canonică f = {f 1 , f 2 , …, f n) această formă pătratică A(X, X) poate fi redusă la forma normală A(X, X) = + + … + –
– … – , Unde  1 ,  2 , …,  n coordonate vectoriale X in baza ( f}.

Condiție necesară și suficientă pentru semnul unei forme pătratice

Afirmație11.1. A(X, X), specificat în n V, a fost semn cert, este necesar și suficient ca fie un indice de inerție pozitiv p, sau indice de inerție negativ q, a fost egal cu dimensiunea n spaţiu V.

Mai mult, dacă p = n, apoi forma pozitiv X ≠ 0 A(X, X) > 0).

Dacă q = n, apoi forma negativ definit (adică pentru orice X ≠ 0 A(X, X) < 0).

Condiție necesară și suficientă pentru alternarea semnelor unei forme pătratice

Afirmația 11.2. Pentru forma pătratică A(X, X), specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost semn alternant(adică există așa ceva X, y Ce A(X, X) > 0 și A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Condiție necesară și suficientă pentru forma pătratică cvasi-alternantă

Afirmația 11.3. Pentru forma pătratică A(X, X), specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost cvasi-alternant(adică pentru orice vector X sau A(X, X) ≥ 0 sau A(X, X) ≤ 0 și există un astfel de vector diferit de zero X, Ce A(X, X) = 0) este necesar și suficient ca una dintre cele două relații să fie satisfăcută: p < n, q= 0 sau p = 0, q < n.

cometariu. Pentru a aplica aceste caracteristici, forma pătratică trebuie redusă la forma canonică. Criteriul 15 de determinare a semnului lui Sylvester nu impune acest lucru.