Demak, kvadratik shaklni qisqartirish teoremasiga ko'ra, har qanday kvadrat shakl \(A(x,x)\) uchun kanonik asos mavjud \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), shuning uchun har qanday vektor uchun \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] \(A(x,x)\) haqiqiy qiymatga ega bo'lgani uchun va bizning bazis o'zgarishlarimiz ham faqat haqiqiy sonlarni o'z ichiga olganligi sababli, \(\lambda _k\) raqamlari haqiqiy degan xulosaga kelamiz. Bu raqamlar orasida ijobiy, salbiy va nolga teng.

Ta'rif. Musbat sonlarning \(n_+\) soni \(\lambda _k\) deyiladi ijobiy kvadratik indeks \(A(x,x)\), manfiy sonlarning \(n_-\) soni \(\lambda _k\) deyiladi. salbiy kvadratik indeks , \((n_++n_-)\) raqami chaqiriladi kvadratik shakl darajasi . Agar \(n_+=n\) bo'lsa, kvadratik shakl chaqiriladi ijobiy .

Umuman olganda, kvadrat shaklni diagonal shaklga qisqartirish o'ziga xos tarzda amalga oshirilmaydi. Savol tug'iladi: \(n_+\), \(n_-\) raqamlari kvadratik shakl diagonal bo'lgan asosni tanlashga bog'liqmi?

Teorema (Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni). Kvadrat shaklning ijobiy va manfiy indekslari uni kanonik shaklga keltirish usuliga bog'liq emas.

Ikkita kanonik asos bo'lsin, \(\(f\)\), \(\(g\)\), har qanday vektor \(x\) quyidagi ko'rinishda ifodalanadi: \[ x=\sum_(k) =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] va \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] \(\lambda _k\) orasida birinchi \(p\) musbat, qolganlari manfiy yoki nol bo'lsin, \(\mu_m\) orasida birinchi \(s\) bo'lsin. ijobiy, qolganlari salbiy yoki nolga teng. Biz buni isbotlashimiz kerak \(p=s\). Qayta yozamiz (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] shuning uchun barcha shartlar tenglamaning ikkala tomoni manfiy emas. Aytaylik, \(p\) va \(s\) teng emas, masalan, \(p

Biz ijobiy indekslarning bir-biriga mos kelishini isbotladik. Xuddi shunday, salbiy indekslar ham mos kelishini isbotlashimiz mumkin. va boshqalar.

1. Kvadrat shakllarni kvadratlar yig‘indisiga aylantiring:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

§ 4. Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni. Kvadrat shakllarning tasnifi

1. Kvadrat shakllarning inersiya qonuni. Biz allaqachon ta'kidlagan edik (oldingi bandning 1-bandining 2-izohiga qarang) kvadrat shaklning darajasi nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soniga teng. Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni degenerativ bo'lmagan transformatsiyani tanlashga bog'liq emas, uning yordamida A (x, x) shakli kanonik shaklga tushiriladi. Aslida, A (x, x) shaklini kanonik shaklga qisqartirishning har qanday usuli bilan ijobiy va salbiy kanonik koeffitsientlar soni o'zgarmaydi. Bu xossa kvadratik shakllarning inersiya qonuni deyiladi.
Inersiya qonunining asoslanishiga o‘tishdan oldin ba’zi mulohazalarni bildiramiz.
e = (e 1, e 2,..., e n) asosdagi A(x, x) ko‘rinish A(e) = (a ij) matritsa bilan aniqlansin:

Bu yerda p 1, p 2, ..., p n - e bazisdagi x vektorning koordinatalari.. Faraz qilaylik, bu shakl degenerativ bo‘lmagan koordinata transformatsiyasi yordamida kanonik ko‘rinishga keltiriladi.

va l 1 , l 2 ,..., l k- nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar, bu koeffitsientlarning birinchi q si ijobiy, quyidagi koeffitsientlar esa manfiy bo'lishi uchun raqamlangan:

l 1 > 0, l 2 > 0, ..., l q> 0, l q+1< 0, ..., λ k <0.

Quyidagi degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasini ko'rib chiqing m i (bu transformatsiyaning determinanti nolga teng emasligini ko'rish oson):

Bu o'zgartirish natijasida A(x, x) ko'rinishga ega bo'ladi

kvadratik shaklning normal shakli deyiladi.
Shunday qilib, e = (e 1, e 2,..., e n) asosidagi x vektorining p 1, p 2, ..., p n koordinatalarining ba'zi degenerativ bo'lmagan transformatsiyasidan foydalanish.

(bu transformatsiya (7.30) formulalar bo'yicha p dan m ga va m dan ē ga o'zgarishlarning ko'paytmasidir) kvadrat shaklni normal ko'rinishga keltirish mumkin (7.31).
Keling, quyidagi gapni isbotlaylik.
7.5 teorema (kvadrat shakllarning inersiya qonuni). Kvadrat shaklning normal ko'rinishidagi ijobiy (salbiy) koeffitsientlarga ega bo'lgan atamalar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas.
Isbot. A(x, x) shakli degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasi (7.32) yordamida normal ko'rinishga (7.31) keltirilsin va boshqa degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasi yordamida normal shaklga keltirilsin.

Shubhasiz, teoremani isbotlash uchun p = q tengligini tekshirish kifoya.
p > q bo'lsin. Bu holda nolga teng bo'lmagan x vektor mavjudligiga ishonch hosil qilaylikki, A(x, x) ko'rinish (7.31) va (7.33) ko'rinishga ega bo'lgan bazislarga nisbatan koordinatalari ē 1, ē 2, ..., ē q va z r+1 , ..., z n bu vektor nolga teng:

ē 1 = 0, ē 2 = 0, ..., ē q = 0, z r+1 = 0, ..., z n = 0 (7.34)

Koordinatalar ē bo'lgani uchun i p 1, ..., p n koordinatalarini va z koordinatalarini degeneratsiz o‘zgartirish (7.32) yo‘li bilan olinadi. i- bir xil p 1, ..., p n koordinatalarining o'xshash degenerativ bo'lmagan transformatsiyasidan foydalangan holda, u holda (7.34) munosabatlarni p 1, ..., p n koordinatalari uchun chiziqli bir hil tenglamalar tizimi sifatida ko'rib chiqish mumkin. kerakli vektor x asosda e = ( e 1, e 2,..., e n) (masalan, kengaytirilgan shaklda ē 1 = 0 munosabati (7.32) ga ko'ra, a 11 ko'rinishiga ega. p 1 + a 12 p 2 + a 1 n p n= 0) - p > q bo'lgani uchun bir jinsli tenglamalar soni (7.34) n dan kichik va shuning uchun (7.34) sistemaning p 1, ..., p n koordinatalariga nisbatan nolga teng bo'lmagan yechimga ega. kerakli vektor x. Binobarin, agar p > q bo'lsa, u holda (7.34) munosabatlar qanoatlanadigan nolga teng bo'lmagan x vektor mavjud.
Ushbu x vektor uchun A(x, x) ko'rinishning qiymatini hisoblaymiz. (7.31) va (7.33) munosabatlariga murojaat qilib, biz olamiz

Oxirgi tenglik faqat ē holatida sodir bo'lishi mumkin q+1 = ... = ē k = 0 va z 1 = z 2 = ... = z r = 0.
Shunday qilib, qaysidir asosda barcha koordinatalar z 1, z 2, ..., z n nolga teng bo'lmagan vektor x nolga teng (oxirgi tenglik va munosabatlarga qarang (7.34)), ya'ni. vektor x nolga teng. Shuning uchun p > q faraz ziddiyatga olib keladi. Shunga o'xshash sabablarga ko'ra, taxmin p< q.
Shunday qilib, p = q. Teorema isbotlangan.
2. Kvadrat shakllarning tasnifi. Ushbu bobning 2-bandining 1-bandida (2-ta'rifga qarang) musbat aniq, inkor aniq, o'zgaruvchan va kvazibelli aniq kvadrat shakllar tushunchalari kiritilgan.
Ushbu bo'limda kvadrat shaklning inertsiya ko'rsatkichi, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlari tushunchalaridan foydalanib, kvadratik shakl yuqorida sanab o'tilgan turlarning u yoki bu turiga tegishli ekanligini qanday aniqlash mumkinligini ko'rsatamiz. Bunday holda, kvadrat shaklning inertsiya indeksi bu shaklning nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlari soni (ya'ni uning darajasi), ijobiy inertsiya indeksi ijobiy kanonik koeffitsientlar soni, manfiy inertsiya indeksi salbiy kanonik koeffitsientlar soni bo'ladi. koeffitsientlar. Ko'rinib turibdiki, musbat va manfiy inertsiya ko'rsatkichlarining yig'indisi inertsiya indeksiga teng.
Demak, A(x, x) kvadrat ko’rinishdagi inersiya indeksi, musbat va manfiy inersiya ko’rsatkichlari mos ravishda k, p va q (k = p + q) ga teng bo’lsin.O’tgan bandda isbotlangan edi. har qanday kanonik asosda f = (f 1 , f 2 , ..., f n) bu shaklni quyidagi normal shaklga keltirish mumkin:

Bu yerda ē 1, ē 2, ..., ē n f bazisdagi x vektorining koordinatalari.
1°. Kvadrat shakl belgisining zaruriy va yetarli sharti. Quyidagi bayonot haqiqatdir.
L n o‘lchovli chiziqli fazoda aniqlangan kvadratik shakl A(x, x) aniq belgiga ega bo‘lishi uchun yo musbat inersiya ko‘rsatkichi p yoki manfiy inersiya ko‘rsatkichi q bo‘lishi zarur va yetarlidir. L fazoning n o‘lchamiga teng.
Bundan tashqari, agar p = n bo'lsa, u holda shakl musbat aniqlangan, lekin q = n bo'lsa, u holda shakl salbiy aniqlangan bo'ladi.
Isbot. Ijobiy aniq shakl va inkor aniq shakl holatlari bir xilda ko'rib chiqilganligi sababli, ijobiy aniq shakllar uchun gapni isbotlashni amalga oshiramiz.
1) zarurat. A(x, x) ko'rinish musbat aniqlangan bo'lsin. Keyin (7.35) ifoda shaklni oladi

A(x,x) = ē 1 2 + ē 2 2 + ... + ē r 2.

Agar bir vaqtning o'zida p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

ē 1 = 0, ē 2 = 0, ..., ē r = 0, ē r+1 ≠ 0, ..., ē n ≠ 0

A(x, x) shakli yo'qoladi va bu ijobiy aniq kvadrat shaklning ta'rifiga zid keladi. Shuning uchun, p = n.
2) yetarlilik. p = n bo'lsin. U holda (7.35) munosabat A(x,x) = ē 1 2 + ē 2 2 + ... + ē r 2 ko'rinishga ega bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, A(x, x) ≥ 0, agar A = 0 bo'lsa, ē 1 = ē 2 = ... = ē bo'ladi. n= 0, ya'ni x vektor nolga teng. Demak, A(x, x) musbat aniq shakldir.
Izoh. Ko'rsatilgan mezon yordamida kvadrat shaklning aniq belgisi masalasiga oydinlik kiritish uchun biz ushbu shaklni uning kanonik shakliga keltirishimiz kerak.
Keyingi bobda Silvestrning kvadratik shaklning aniq belgisi mezonini isbotlaymiz, uning yordamida kanonik shaklga keltirmasdan istalgan asosda berilgan shaklning aniq belgisi haqidagi savolga oydinlik kiritishimiz mumkin.
2°. Kvadrat shakl belgilarining almashinishining zaruriy va yetarli sharti. Keling, quyidagi gapni isbotlaylik.
Kvadrat shakl almashinib turishi uchun bu shaklning musbat va manfiy inersiya ko‘rsatkichlari noldan farq qilishi zarur va yetarlidir.
Isbot. 1) zarurat. Muqobil shakl ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilganligi sababli, uning G.35) normal shakldagi ifodasi ham ijobiy, ham salbiy atamalarni o'z ichiga olishi kerak (aks holda bu shakl salbiy yoki ijobiy bo'lmagan qiymatlarni oladi). Shunday qilib, ijobiy va salbiy inertsiya indekslari nolga teng emas.
2) yetarlilik. r ≠ 0 va q ≠ 0 bo‘lsin. Keyin koordinatalari ē 1 ≠ 0, ..., ē r ≠ 0 bo‘lgan x 1 vektori uchun, ē r+1 = 0, ..., ē n = 0 bizda A(x 1 x 1) > 0 va koordinatalari ē 1 = 0, ..., ē r = 0 bo'lgan x 2 vektor uchun, ē r+1 ≠ 0, ..., ē n ≠ 0 bizda A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Kvadrat shaklning kvazibelli aniqligining zaruriy va yetarli sharti. Quyidagi bayonot haqiqatdir.
A(x, x) shakli kvazibelli aniq boʻlishi uchun quyidagi munosabatlarning amal qilishi zarur va yetarli: yoki p.< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Isbot. Biz ijobiy kvazibelgi aniq shakl holatini ko'rib chiqamiz. Salbiy kvazibelli aniq shakl holatiga ham xuddi shunday munosabatda bo‘ladi.
1) zarurat. A(x, x) ko'rinish musbat kvazibelli aniq bo'lsin. Keyin, aniq, q = 0 va p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) yetarlilik. Agar p< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, ē r+1 ≠ 0, ..., ē n ≠ 0 bizda A (x, x) = 0, ya'ni. A(x, x) musbat kvazibelli aniq shakldir.
3. Kvadrat shakl belgisi uchun Silvestr mezoni (Jeyms Jozef Silvestr (1814-1897) - ingliz matematigi). e = (e 1, e 2,..., e n) asosdagi A(x, x) ko‘rinish A(e) = (a ij) matritsa bilan aniqlansin:

qo'yib yubor D 1 = a 11, - burchak minorlari va matritsa determinanti (a ij). Quyidagi bayonot haqiqatdir.
7.6 teorema (Silvestr mezoni). A(x, x) kvadrat shakli musbat aniq bo‘lishi uchun D 1 > 0, D 2 > 0, ..., D n > 0 tengsizliklar bajarilishi zarur va yetarli.
Kvadrat shakl manfiy aniq bo'lishi uchun burchak minorlarining belgilarining D 1 bilan almashinishi zarur va yetarlidir.< 0.
Isbot. 1) zarurat. A(x, x) kvadrat shaklining belgi-aniq bo‘lishi shartidan D kelib chiqishini avval isbotlaylik. i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Faraz D ekanligiga ishonch hosil qilaylik k= 0 ziddiyatga olib keladi - bu taxmin ostida nolga teng bo'lmagan x vektor mavjud bo'lib, u uchun A(x, x) = 0, bu shaklning aniq belgisiga zid keladi.
Shunday qilib, D k= 0. Quyidagi kvadrat bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

dan beri D k bu tizimning determinanti va D k= 0, u holda tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'ladi p 1, p 2, ..., p k (hamma i 0 ga teng emas). (7.36) tenglamalarning birinchisini p 1 ga, ikkinchisini p 2, ... ga, oxirgisini p k ga ko'paytiramiz va hosil bo'lgan munosabatlarni qo'shamiz. Natijada biz tenglikka erishamiz , uning chap tomoni koordinatalari (p 1, p 2, ..., p k, 0, ..., 0) bo‘lgan nolga teng bo‘lmagan x vektor uchun A(x, x) kvadrat shaklining qiymatini ifodalaydi. . Bu qiymat nolga teng, bu shaklning aniq belgisiga zid keladi.
Shunday qilib, biz aminmizki D i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Shuning uchun biz A(x, x) shaklini kvadratlar yig'indisiga kamaytirishning Yakobi usulini qo'llashimiz mumkin (7.4-teoremaga qarang) va kanonik koeffitsientlar uchun (7.27) formulalardan foydalanishimiz mumkin l i. Agar A(x, x) musbat aniq shakl bo'lsa, barcha kanonik koeffitsientlar musbat bo'ladi. Ammo keyin (7.27) munosabatlardan D 1 > 0, D 2 > 0, ..., D n > 0 ekanligi kelib chiqadi. Agar A(x, x) manfiy aniq shakl bo’lsa, barcha kanonik koeffitsientlar manfiy bo’ladi. Ammo keyin (7.27) formulalardan kelib chiqadiki, burchakli kichiklarning belgilari almashinadi va D 1< 0.
2) yetarlilik. Burchakli kichiklarga qo'yilgan shartlar D qanoatlansin i teoremani shakllantirishda. dan beri D i≠ 0, i = 1, 2,..., n boʻlsa, A shaklini Yakobi usulida kvadratlar yigʻindisiga keltirish mumkin (7.4-teoremaga qarang), kanonik koeffitsientlar esa l. i(7.27) formulalar yordamida topish mumkin. Agar D 1 > 0, D 2 > 0, ..., D n > 0 bo‘lsa, (7.27) munosabatlardan hamma l i> 0, ya'ni A(x, x) ko'rinishi musbat aniqlangan. Agar D belgilari bo'lsa i muqobil va D 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Kvadrat shakl haqida tushuncha. Kvadrat shakl matritsasi. Kvadrat shaklning kanonik shakli. Lagrange usuli. Kvadrat shaklning normal ko'rinishi. Kvadrat shaklning darajasi, indeksi va imzosi. Ijobiy aniq kvadrat shakl. Kvadriklar.

Kvadrat shakl tushunchasi: vektor koordinatalarida ikkinchi darajali bir jinsli ko'phad bilan aniqlangan vektor fazodagi funksiya.

dan kvadrat shakl n noma'lumlar yig'indisi bo'lib, uning har bir a'zosi yoki bu noma'lumlardan birining kvadrati yoki ikki xil noma'lumning ko'paytmasi.

Kvadrat matritsa: Matritsa ma'lum asosda kvadrat shakldagi matritsa deb ataladi. Agar maydon xarakteristikasi 2 ga teng bo'lmasa, kvadrat shakldagi matritsa simmetrik, ya'ni, deb taxmin qilishimiz mumkin.

Kvadrat shakldagi matritsani yozing:

Demak,

Vektor matritsa shaklida kvadratik shakl:

Kvadrat shaklning kanonik shakli: Kvadrat shakl kanonik deb ataladi, agar barchasi ya'ni.

Har qanday kvadratik shakl chiziqli transformatsiyalar yordamida kanonik shaklga keltirilishi mumkin. Amalda odatda quyidagi usullar qo'llaniladi.

Lagrange usuli : to'liq kvadratlarni ketma-ket tanlash. Masalan, agar

Keyin shunga o'xshash protsedura kvadratik shakl va boshqalar bilan amalga oshiriladi. Agar hamma narsa kvadrat shaklda bo'lmasa, unda dastlabki o'zgartirishdan keyin masala ko'rib chiqilayotgan protseduraga tushadi. Shunday qilib, agar, masalan, biz taxmin qilamiz

Kvadrat shaklning normal shakli: Oddiy kvadrat shakl - bu barcha koeffitsientlar +1 yoki -1 ga teng bo'lgan kanonik kvadratik shakl.

Kvadrat shaklning darajasi, indeksi va imzosi: Kvadrat shakl darajasi A matritsaning darajasi deyiladi A. Noma'lumlarning degenerativ bo'lmagan o'zgarishlarida kvadratik shaklning darajasi o'zgarmaydi.

Salbiy koeffitsientlar soni manfiy shakl indeksi deb ataladi.

Kanonik shakldagi musbat hadlar soni kvadratik shakldagi musbat inersiya indeksi, manfiy hadlar soni esa manfiy indeks deb ataladi. Ijobiy va manfiy indekslar orasidagi farq kvadrat shaklning imzosi deb ataladi

Ijobiy aniq kvadrat shakl: Haqiqiy kvadratik shakl musbat aniq (salbiy aniq) deb ataladi, agar o'zgaruvchilarning bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan har qanday haqiqiy qiymatlari uchun,

Bunday holda, matritsa musbat aniq (salbiy aniq) deb ham ataladi.

Ijobiy aniq (salbiy aniq) shakllar sinfi inkor bo'lmagan (javob. nomusbat) shakllar sinfiga kiradi.

Kvadriklar: Kvadrat - n- o'lchovli gipersurfa n+1-o'lchovli fazo, ikkinchi darajali ko'phadning nollar to'plami sifatida aniqlanadi. Agar siz koordinatalarni kiritsangiz ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (evklid yoki affin fazoda), kvadratning umumiy tenglamasi

Ushbu tenglamani matritsa yozuvida ixchamroq qayta yozish mumkin:

bu erda x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — qator vektori, x T - transpozitsiyalangan vektor, Q- o'lcham matritsasi ( n+1)×( n+1) (uning kamida bitta elementi nolga teng deb taxmin qilinadi), P qator vektoridir va R- doimiy. Haqiqiy yoki murakkab sonlar ustidagi kvadratiklar ko'pincha hisobga olinadi. Ta'rifni proyektiv fazoda kvadratlarga kengaytirish mumkin, pastga qarang.

Umuman olganda, polinom tenglamalar tizimining nollar to'plami algebraik xilma-xillik deb nomlanadi. Shunday qilib, kvadratik ikkinchi darajali (affin yoki proyektiv) algebraik xilma-xillik va 1 kod o'lchovidir.

Tekislik va fazoning o'zgarishi.

Tekislik transformatsiyasining ta'rifi. Harakatni aniqlash. harakat xususiyatlari. Harakatning ikki turi: birinchi turdagi harakat va ikkinchi turdagi harakat. Harakatlarga misollar. Harakatning analitik ifodasi. Tekislik harakatlarining tasnifi (qo'zg'almas nuqtalar va o'zgarmas chiziqlar mavjudligiga qarab). Samolyot harakatlari guruhi.

Tekislik transformatsiyasining ta'rifi: Ta'rifi. Nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan tekislik konvertatsiyasi deyiladi harakat samolyotning (yoki harakati). Tekislik konvertatsiyasi deyiladi affin, agar u bir toʻgʻrida yotgan har qanday uch nuqtani ham bir xil toʻgʻrida yotgan uchta nuqtaga aylantirsa va bir vaqtning oʻzida uch nuqtaning oddiy munosabatini saqlasa.

Harakat ta'rifi: Bu nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan shakl o'zgarishlari. Agar ikkita raqam harakat orqali bir-biriga aniq mos keladigan bo'lsa, unda bu raqamlar bir xil, tengdir.

Harakat xususiyatlari: Tekislikning har bir yo'nalishini saqlaydigan harakati parallel ko'chirish yoki aylanishdir; tekislikning har bir yo'nalishini o'zgartirish harakati eksenel simmetriya yoki sirpanish simmetriyasidir. Harakatlanayotganda to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalar to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalarga aylanadi va ularning o'zaro joylashish tartibi saqlanadi. Harakatlanayotganda yarim chiziqlar orasidagi burchaklar saqlanib qoladi.

Ikki turdagi harakatlar: birinchi turdagi harakat va ikkinchi turdagi harakatlar: Birinchi turdagi harakatlar - bu ma'lum bir figuraning asoslari yo'nalishini saqlaydigan harakatlar. Ular doimiy harakatlar orqali amalga oshirilishi mumkin.

Ikkinchi turdagi harakatlar - bu asoslarning yo'nalishini teskari tomonga o'zgartiradigan harakatlar. Ularni doimiy harakatlar bilan amalga oshirish mumkin emas.

Birinchi turdagi harakatlarga to'g'ri chiziq atrofida aylantirish va aylanish, ikkinchi turdagi harakatlarga markaziy va oyna simmetriyalari misol bo'ladi.

Birinchi turdagi harakatlarning istalgan sonining tarkibi birinchi turdagi harakatdir.

Ikkinchi turdagi juft sonli harakatlar tarkibi 1-turdagi harakat, 2-turdagi toq sonli harakatlar tarkibi esa 2-turdagi harakatlardir.

Harakatlarga misollar:Parallel uzatish. Berilgan vektor a bo'lsin. a vektoriga parallel o'tkazish - bu tekislikning o'ziga xaritasi bo'lib, bunda har bir M nuqta M 1 nuqtaga tushiriladi, shuning uchun MM 1 vektor a vektoriga teng bo'ladi.

Parallel tarjima - bu harakat, chunki u masofalarni saqlagan holda tekislikning o'ziga xaritasi hisoblanadi. Ushbu harakatni vizual ravishda butun tekislikning berilgan a vektori yo'nalishi bo'yicha uzunligi bo'yicha siljishi sifatida tasvirlash mumkin.

Aylantirish. Tekislikdagi O nuqtani belgilaymiz ( burilish markazi) va burchakni o'rnating a ( burilish burchagi). Tekislikning O nuqta atrofida a burchak bilan aylanishi - bu tekislikning o'ziga xaritasi bo'lib, bunda har bir M nuqta M 1 nuqtaga tushiriladi, OM = OM 1 va MOM 1 burchagi a ga teng bo'ladi. Bunday holda, O nuqtasi o'z o'rnida qoladi, ya'ni u o'z-o'zidan xaritaga tushiriladi va boshqa barcha nuqtalar O nuqtasi atrofida bir xil yo'nalishda - soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat sohasi farqli ravishda aylanadi (rasmda soat miliga teskari aylanish ko'rsatilgan).

Aylanish - bu harakat, chunki u masofalar saqlanib qolgan tekislikning o'ziga xaritasini ifodalaydi.

Harakatning analitik ifodasi: oldingi tasvir koordinatalari bilan nuqta tasviri orasidagi analitik bog`lanish (1) ko`rinishga ega bo`ladi.

Tekislik harakatlarining tasnifi (qo'zg'almas nuqtalar va o'zgarmas chiziqlar mavjudligiga qarab): Ta'rif:

Tekislikdagi nuqta o'zgarmas (qat'iy) hisoblanadi, agar u berilgan transformatsiya ostida o'ziga aylanadi.

Misol: Markaziy simmetriya bilan simmetriya markazining nuqtasi o'zgarmasdir. Burilish paytida aylanish markazining nuqtasi o'zgarmasdir. Eksenel simmetriya bilan o'zgarmas chiziq to'g'ri chiziqdir - simmetriya o'qi o'zgarmas nuqtalarning to'g'ri chizig'idir.

Teorema: Agar harakat bitta o'zgarmas nuqtaga ega bo'lmasa, u kamida bitta o'zgarmas yo'nalishga ega.

Misol: Parallel uzatish. Darhaqiqat, bu yo'nalishga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar o'zgarmas nuqtalardan iborat bo'lmasa-da, bir butun sifatida invariantdir.

Teorema: Agar nur harakatlansa, nur o'ziga aylanadi, u holda bu harakat berilgan nurni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir xil o'zgarish yoki simmetriyadir.

Shuning uchun, o'zgarmas nuqtalar yoki raqamlar mavjudligiga asoslanib, harakatlarni tasniflash mumkin.

Samolyot harakati guruhi: Geometriyada raqamlarning o'z-o'zidan tuzilgan guruhlari muhim rol o'ynaydi. Agar ma'lum bir figura tekislikda (yoki kosmosda) bo'lsa, unda biz tekislikning (yoki fazoning) barcha harakatlarining to'plamini ko'rib chiqishimiz mumkin, bunda bu raqam o'ziga aylanadi.

Ushbu to'plam guruhdir. Masalan, teng yonli uchburchak uchun uchburchakni o'ziga aylantiruvchi tekislik harakatlari guruhi 6 ta elementdan iborat: nuqta atrofida burchaklar orqali aylanishlar va uchta to'g'ri chiziq atrofidagi simmetriyalar.

Ular rasmda ko'rsatilgan. 1 qizil chiziqlar bilan. Muntazam uchburchakning o'z-o'zini tekislash guruhining elementlari boshqacha ko'rsatilishi mumkin. Buni tushuntirish uchun, keling, muntazam uchburchakning uchlarini 1, 2, 3 raqamlari bilan raqamlaymiz. Uchburchakning har qanday o'z-o'zini tekislashi 1, 2, 3 nuqtalarni bir xil nuqtalarga oladi, lekin boshqa tartibda olinadi, ya'ni. shartli ravishda quyidagi qavslardan biri shaklida yozilishi mumkin:

bu erda 1, 2, 3 raqamlari ko'rib chiqilayotgan harakat natijasida 1, 2, 3 cho'qqilari kiradigan cho'qqilarning raqamlarini bildiradi.

Proyektiv fazolar va ularning modellari.

Proyektiv fazo tushunchasi va proyektiv fazo modeli. Proyektiv geometriyaning asosiy faktlari. Markazi O nuqtada joylashgan bir qator chiziqlar proyeksiyalovchi tekislikning modelidir. Proyektiv nuqtalar. Kengaytirilgan tekislik proyektiv tekislikning modelidir. Kengaytirilgan uch o'lchovli afin yoki Evklid fazosi proyektiv fazoning modelidir. Parallel dizayndagi tekis va fazoviy figuralarning tasvirlari.

Proyektiv fazo tushunchasi va proyektiv fazo modeli:

Maydon ustidagi proyektiv fazo - berilgan maydon ustidagi qandaydir chiziqli fazoning chiziqlari (bir o'lchovli pastki fazolar) dan iborat bo'shliqdir. To'g'ridan-to'g'ri bo'shliqlar deyiladi nuqta proyektiv fazo. Ushbu ta'rifni ixtiyoriy tanaga umumlashtirish mumkin

Agar u o'lchamga ega bo'lsa, u holda proyektiv fazoning o'lchami raqam deb ataladi va proyektiv fazoning o'zi belgilanadi va bog'lanadi (buni ko'rsatish uchun belgi qabul qilinadi).

O'lchamning vektor fazosidan mos keladigan proyektiv fazoga o'tish deyiladi proyeksiyalash bo'sh joy.

Nuqtalarni bir hil koordinatalar yordamida tasvirlash mumkin.

Proyektiv geometriyaning asosiy faktlari: Proyektiv geometriya geometriyaning proyektiv tekislik va fazolarni o‘rganuvchi bo‘limidir. Proyektiv geometriyaning asosiy xususiyati - bu ko'plab dizaynlarga oqlangan simmetriya qo'shadigan ikkilik printsipi. Proyektiv geometriyani ham sof geometrik nuqtai nazardan, ham analitik (bir hil koordinatalardan foydalangan holda) va salgebraik nuqtai nazardan, proyektiv tekislikni maydon ustidagi struktura sifatida ko'rib chiqish mumkin. Ko'pincha va tarixan, haqiqiy proyektiv tekislik "abadiy chiziq" qo'shilishi bilan Evklid tekisligi hisoblanadi.

Holbuki, Evklid geometriyasi shug'ullanadigan figuralarning xususiyatlari metrik(burchaklar, segmentlar, maydonlarning o'ziga xos qiymatlari) va raqamlarning ekvivalenti ularga teng muvofiqlik(ya'ni, metrik xususiyatlarni saqlab qolgan holda, figuralarni harakat orqali bir-biriga aylantirish mumkin bo'lsa), geometrik figuralarning "chuqur yotuvchi" xususiyatlari harakatga qaraganda ko'proq umumiy turdagi transformatsiyalarda saqlanadi. Proyektiv geometriya sinf bo'yicha o'zgarmas bo'lgan figuralarning xususiyatlarini o'rganish bilan shug'ullanadi proyektiv transformatsiyalar, shuningdek, bu o'zgarishlarning o'zi.

Proyektiv geometriya Evklid geometriyasini to'ldiradi, bu bilan parallel chiziqlar mavjudligi bilan murakkab bo'lgan ko'plab masalalarga chiroyli va oddiy echimlar beradi. Konus kesimlarining proyektiv nazariyasi ayniqsa sodda va nafisdir.

Proyektiv geometriyaning uchta asosiy yondashuvi mavjud: mustaqil aksiomatizatsiya, Evklid geometriyasini to'ldirish va maydon bo'yicha tuzilish.

Aksiomatizatsiya

Proyektiv fazoni boshqa aksiomalar to'plami yordamida aniqlash mumkin.

Coxeter quyidagilarni ta'minlaydi:

1. To'g'ri chiziq bor va unda bo'lmagan nuqta bor.

2. Har bir chiziqda kamida uchta nuqta bor.

3. Ikki nuqta orqali siz aniq bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

4. Agar A, B, C, Va D- turli nuqtalar va AB Va CD kesishadi, keyin A.C. Va BD kesishadi.

5. Agar ABC tekislik bo'lsa, unda tekislikda bo'lmagan kamida bitta nuqta bor ABC.

6. Ikki xil tekislik kamida ikkita nuqtani kesishadi.

7. To'liq to'rtburchakning uchta diagonal nuqtasi kollinear emas.

8. Agar uchta nuqta bir chiziqda bo'lsa X X

Proyektiv tekislik (uchinchi o'lchamsiz) bir oz boshqacha aksiomalar bilan belgilanadi:

1. Ikki nuqta orqali siz aniq bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

2. Har qanday ikkita chiziq kesishadi.

3. To'rtta nuqta bor, ulardan uchtasi to'g'ri kelmaydi.

4. To'liq to'rtburchaklarning uchta diagonal nuqtasi kollinear emas.

5. Agar uchta nuqta bir chiziqda bo'lsa X ph ning proektsiyasiga nisbatan o'zgarmasdir, keyin barcha nuqtalar ustida X ph ga nisbatan invariant.

6. Dezarg teoremasi: Agar ikkita uchburchak nuqta orqali perspektiv bo‘lsa, ular chiziq orqali perspektiv bo‘ladi.

Uchinchi o'lchov mavjudligida Dezarg teoremasini ideal nuqta va chiziq kiritmasdan isbotlash mumkin.

Kengaytirilgan tekislik - proyektiv tekislik modeli: A3 affin fazoda markazi O nuqtada bo'lgan S(O) chiziqlar to'plamini va to'plam markazidan o'tmaydigan P tekislikni olamiz: O 6∈ N. Affin fazodagi chiziqlar to'plami proyektiv tekislikning modelidir. Keling, n tekislik nuqtalari to'plamining S bog'lovchining to'g'ri chiziqlar to'plamiga xaritasini aniqlaylik (Juda, agar sizda bu savol bo'lsa, meni kechiring)

Kengaytirilgan uch o'lchovli afin yoki Evklid fazosi - proektiv fazoning modeli:

Xaritani syurektiv qilish uchun biz affin tekislikni n proyektiv tekislikka rasmiy ravishda kengaytirish jarayonini takrorlaymiz va n tekislikni noto'g'ri nuqtalar to'plami (M∞) bilan to'ldiramiz, shunday qilib: ((M∞)) = P0(O). Xaritada S(O) tekisliklar toʻplamining har bir tekisligining teskari tasviri d tekislikdagi chiziq boʻlgani uchun choʻzilgan tekislikning barcha notoʻgʻri nuqtalari toʻplami: n = Π ∩ (M∞) aniq koʻrinadi. , (M∞), cho'zilgan tekislikning noto'g'ri d∞ chizig'ini ifodalaydi, bu yakka tekislikning teskari tasviri n0: (d∞) = P0(O) (= n0). (I.23) Keling, bu erda va bundan buyon biz oxirgi tenglikni P0(O) = n0 nuqtalar to'plamining tengligi ma'nosida tushunamiz, degan fikrga qo'shilamiz, lekin boshqa tuzilishga ega. Affin tekislikni noto'g'ri chiziq bilan to'ldirish orqali biz xaritalash (I.21) kengaytirilgan tekislikning barcha nuqtalari to'plamida ikkilamchi bo'lishini ta'minladik:

Parallel dizayn paytida tekis va fazoviy figuralarning rasmlari:

Stereometriyada fazoviy figuralar o'rganiladi, lekin chizmada ular tekis figuralar sifatida tasvirlanadi. Samolyotda fazoviy figurani qanday tasvirlash kerak? Odatda geometriyada buning uchun parallel dizayn qo'llaniladi. p qandaydir samolyot bo'lsin, l- uni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq (1-rasm). Ixtiyoriy nuqta orqali A, qatorga tegishli emas l, chiziqqa parallel chiziq chizing l. Bu chiziqning p tekislik bilan kesishgan nuqtasi nuqtaning parallel proyeksiyasi deyiladi A to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha p tekislikka l. Uni belgilaylik A". Agar nuqta A qatorga tegishli l, keyin parallel proyeksiya orqali A chiziqning kesishish nuqtasi p tekislikda deb hisoblanadi l samolyot bilan p.

Shunday qilib, har bir nuqta A fazoda uning proyeksiyasi solishtiriladi A" p tekislikka. Bu moslik p tekislikka to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha parallel proyeksiya deyiladi. l.

Proyektiv transformatsiyalar guruhi. Muammoni hal qilish uchun dastur.

Tekislikning proyektiv o'zgarishi tushunchasi. Tekislikning proyektiv o'zgarishlariga misollar. Proyektiv transformatsiyalarning xossalari. Gomologiya, gomologiyaning xossalari. Proyektiv transformatsiyalar guruhi.

Tekislikning proyektiv o'zgarishi tushunchasi: Proyektiv transformatsiya tushunchasi markaziy proyeksiya tushunchasini umumlashtiradi. Agar a tekislikning qandaydir a 1 tekislikka markaziy proyeksiyasini bajarsak, u holda a 1 ning a 2 ga, a 2 ning a 3, ... ga proyeksiyasi va nihoyat, qandaydir a tekislik bo‘ladi. n yana a 1 bo'yicha, u holda barcha bu proyeksiyalarning tarkibi a tekislikning proyektiv o'zgarishi; Bunday zanjirga parallel proyeksiyalarni ham kiritish mumkin.

Proyektiv tekislik o'zgarishlariga misollar: Tugallangan tekislikning proyektiv o'zgarishi - bu uning o'ziga birma-bir xaritalashi, bunda nuqtalarning kollinearligi saqlanib qoladi yoki boshqacha aytganda, har qanday chiziqning tasviri to'g'ri chiziqdir. Har qanday proyektiv transformatsiya markaziy va parallel proyeksiyalar zanjirining tarkibidir. Affin transformatsiya - bu cheksizlikdagi chiziq o'ziga aylanadigan proyektiv transformatsiyaning alohida holati.

Proyektiv o'zgarishlarning xususiyatlari:

Proyektiv o'zgartirish jarayonida to'g'ri chiziqda yotmagan uchta nuqta chiziqda yotmaydigan uchta nuqtaga aylanadi.

Proyektiv transformatsiya paytida ramka ramkaga aylanadi.

Proyektiv transformatsiya paytida chiziq to'g'ri chiziqqa, qalam esa qalamga o'tadi.

Gomologiya, gomologiyaning xossalari:

O'zgarmas nuqtalar chizig'iga ega bo'lgan tekislikning proektiv o'zgarishi, shuning uchun o'zgarmas chiziqlar qalami homologiya deb ataladi.

1. Mos kelmaydigan mos keladigan gomologik nuqtalardan o'tuvchi chiziq o'zgarmas chiziqdir;

2. Bir-biriga to'g'ri kelmaydigan mos keladigan gomologik nuqtalardan o'tadigan chiziqlar bir xil qalamga tegishli bo'lib, uning markazi o'zgarmas nuqtadir.

3. Nuqta, uning tasviri va gomologiya markazi bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.

Proyektiv o'zgarishlar guruhi: P 2 proyeksiyalovchi tekislikning o'ziga proyektiv xaritalanishini, ya'ni bu tekislikning proyektiv o'zgarishini (P 2 ' = P 2) ko'rib chiqaylik.

Avvalgidek, P 2 proyektiv tekisligining f 1 va f 2 proyeksiyalovchi o'zgarishlarining f tarkibi f 1 va f 2 o'zgarishlarning ketma-ket bajarilishi natijasidir: f = f 2 °f 1.

1-teorema: P 2 proyeksiyalovchi tekislikning barcha proyektiv o'zgarishlarining H to'plami proyeksiyalovchi o'zgarishlar tarkibiga nisbatan guruhdir.

Maydon tepasida K (\displaystyle K) Va e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\nuqtalar,e_(n))- ichida asos L (\displaystyle L).

• Kvadrat shakl, agar uning matritsasining barcha burchak minorlari qat'iy musbat bo'lsa, musbat aniq hisoblanadi.
• Kvadrat shakl manfiy aniq, agar uning matritsasining barcha burchak minorlarining belgilari almashinsa va 1-tartibdagi minor manfiy bo'lsa.

Ikki chiziqli shakl qutbdan musbat aniq kvadratik shaklga barcha nuqta aksiomalarini qanoatlantiradi.

Kanonik ko'rinish

Haqiqiy holat

Bo'lgan holatda K = R (\displaystyle K=\mathbb (R))(haqiqiy sonlar maydoni), har qanday kvadrat shakl uchun uning matritsasi diagonal bo'lgan asos mavjud va shaklning o'zi kanonik ko'rinish(oddiy ko'rinish):

Qayerda r (\displaystyle r)- kvadratik shaklning darajasi. Degenerativ bo'lmagan kvadratik shaklda p + q = n (\displaystyle p+q=n), va degeneratsiya holatida - p+q< n {\displaystyle p+q.

Kvadrat shaklni kanonik ko'rinishga keltirish uchun odatda Lagranj usuli yoki ortogonal asos o'zgarishlaridan foydalaniladi va berilgan kvadrat shaklni bir necha usul bilan kanonik shaklga keltirish mumkin.

Raqam q (\displaystyle q)(salbiy shartlar) deyiladi inertsiya indeksi kvadrat shakli va soni berilgan p - q (\displaystyle p-q)(musbat va salbiy atamalar soni orasidagi farq) deyiladi imzo kvadratik shakl. E'tibor bering, ba'zida kvadrat shaklning imzosi juftlikdir (p , q) (\displaystyle (p,q)). Raqamlar p , q , p - q (\displaystyle p,q,p-q) kvadratik shaklning invariantlari, ya'ni. uni kanonik shaklga tushirish usuliga bog'liq emas ( Silvestrning inersiya qonuni).

Murakkab holat

Bo'lgan holatda K = C (\displaystyle K=\mathbb (C))(kompleks sonlar maydoni), har qanday kvadrat shakl uchun shakl kanonik shaklga ega bo'lgan asos mavjud.

Qayerda r (\displaystyle r)- kvadratik shaklning darajasi. Shunday qilib, murakkab holatda (haqiqiy holatdan farqli o'laroq) kvadratik shakl bitta o'zgarmas - darajaga ega va barcha degenerativ bo'lmagan shakllar bir xil kanonik shaklga ega (kvadratlar yig'indisi).

Aniqlanishicha, kvadrat shaklning nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlari soni uning darajasiga teng bo'lib, uning yordami bilan degenerativ bo'lmagan transformatsiyani tanlashga bog'liq emas. A(x, x) kanonik shaklga keltiriladi. Aslida, ijobiy va salbiy koeffitsientlar soni ham o'zgarmaydi.

Teorema11.3 (kvadrat shakllarning inertsiya qonuni). Kvadrat shaklning normal shaklidagi musbat va manfiy koeffitsientlar soni kvadratik shaklni normal shaklga keltirish usuliga bog'liq emas.

Kvadrat shaklga ega bo'lsin f daraja r dan n noma'lum x 1 , x 2 , …, x n ikki yo'l bilan normal shaklga tushiriladi, ya'ni

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Buni isbotlash mumkin k = l.

Ta'rif 11.14. Haqiqiy kvadratik shakl kichraytiriladigan normal shakldagi musbat kvadratlar soni deyiladi ijobiy inertsiya indeksi bu shakl; manfiy kvadratlar soni - salbiy inertsiya indeksi, va ularning yig'indisi inertsiya indeksi kvadrat shakl yoki imzo shakllari f.

Agar p- ijobiy inertsiya indeksi; q- salbiy inertsiya indeksi; k = r = p + q- inertsiya indeksi.

Kvadrat shakllarning tasnifi

Kvadrat shaklga ega bo'lsin A(x, x) inertsiya indeksi ga teng k, musbat inersiya indeksi p ga, manfiy inersiya indeksi teng q, Keyin k = p + q.

Bu har qanday kanonik asosda isbotlangan f = {f 1 , f 2 , …, f n) bu kvadrat shakl A(x, x) oddiy shaklga keltirilishi mumkin A(x, x) = + + … + –
– … – , Qayerda  1 ,  2 , …,  n vektor koordinatalari x asosda ( f}.

Kvadrat shakl belgisining zaruriy va yetarli sharti

Bayonot11.1. A(x, x), da ko'rsatilgan n V, edi aniq belgi, zarur va etarli yoki ijobiy inertsiya indeksi p, yoki salbiy inertsiya indeksi q, o'lchamga teng edi n bo'sh joy V.

Bundan tashqari, agar p = n, keyin shakl ijobiy x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Agar q = n, keyin shakl salbiy belgilangan (ya'ni har qanday uchun x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Kvadrat shakl belgilarining almashinishining zaruriy va yetarli sharti

Bayonot 11.2. Kvadrat shakl uchun A(x, x), da ko'rsatilgan n-o'lchovli vektor fazosi V, edi o'zgaruvchan belgi(ya'ni, shundaylar bor x, y Nima A(x, x) > 0 va A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Kvazial almashinadigan kvadrat shakl uchun zarur va yetarli shart

Bayonot 11.3. Kvadrat shakl uchun A(x, x), da ko'rsatilgan n-o'lchovli vektor fazosi V, edi kvazi-almashinuvchi(ya'ni har qanday vektor uchun x yoki A(x, x) ≥ 0 yoki A(x, x) ≤ 0 va bunday nolga teng bo'lmagan vektor mavjud x, Nima A(x, x) = 0) ikkita munosabatdan biri qondirilishi uchun zarur va yetarli: p < n, q= 0 yoki p = 0, q < n.

Izoh. Ushbu xususiyatlarni qo'llash uchun kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish kerak. Silvestrning belgini aniqlash mezoni 15 buni talab qilmaydi.