Taigi, remiantis teorema dėl kvadratinės formos redukcijos, bet kuriai kvadratinei formai \(A(x,x)\) yra kanoninis pagrindas \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\) \), taigi bet kuriam vektoriui \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k\eta _k ^2. \] Kadangi \(A(x,x)\) yra tikroji vertė, o mūsų baziniai pakeitimai taip pat apima tik tikrus skaičius, darome išvadą, kad skaičiai \(\lambda _k\) yra tikri. Tarp šių skaičių yra teigiami, neigiami ir lygūs nuliui.

Apibrėžimas. Teigiamų skaičių \(\lambda _k\) skaičius \(n_+\) vadinamas teigiamas kvadratinis indeksas \(A(x,x)\), vadinamas neigiamų skaičių \(n_-\) skaičius \(\lambda _k\) neigiamas kvadratinis indeksas , iškviečiamas skaičius \((n_++n_-)\). kvadratinės formos rangas . Jei \(n_+=n\), iškviečiama kvadratinė forma teigiamas .

Paprastai tariant, kvadratinės formos redukavimas į įstrižainę nėra realizuojamas unikaliai. Kyla klausimas: ar skaičiai \(n_+\), \(n_-\) priklauso nuo pagrindo, kuriame kvadratinė forma yra įstriža, pasirinkimo?

Teorema (Kvadratinių formų inercijos dėsnis). Kvadratinės formos teigiami ir neigiami indeksai nepriklauso nuo jos redukavimo į kanoninę formą metodo.

Tegul yra dvi kanoninės bazės, \(\(f\)\), \(\(g\)\), kad bet kuris vektorius \(x\) būtų pavaizduotas tokia forma: \[ x=\sum_(k =1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] ir \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k ^2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Tegul tarp \(\lambda _k\) pirmasis \(p\) yra teigiamas, likusi dalis yra neigiama arba nulis, tarp \(\mu_m\) pirmasis \(s\) teigiamas, likusi dalis yra neigiama arba nulis. Turime įrodyti, kad \(p=s\). Perrašykime (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_ ( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] taigi visi terminai abi lygties pusės yra neneigiamos. Tarkime, \(p\) ir \(s\) nėra lygūs, pavyzdžiui, \(p

Įrodėme, kad teigiami indeksai sutampa. Panašiai galime įrodyti, kad neigiami indeksai taip pat sutampa. ir tt

1. Konvertuokite kvadratines formas į kvadratų sumą:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

§ 4. Kvadratinių formų inercijos dėsnis. Kvadratinių formų klasifikacija

1. Kvadratinių formų inercijos dėsnis. Jau pažymėjome (žr. ankstesnės pastraipos 1 pastraipos 2 pastabą), kad kvadratinės formos rangas yra lygus nulinių kanoninių koeficientų skaičiui. Taigi nenulinių kanoninių koeficientų skaičius nepriklauso nuo neišsigimusios transformacijos pasirinkimo, kurios pagalba forma A(x, x) redukuojama į kanoninę formą. Tiesą sakant, naudojant bet kokį A(x, x) formos redukavimo į kanoninę formą metodą, teigiamų ir neigiamų kanoninių koeficientų skaičius nesikeičia. Ši savybė vadinama kvadratinių formų inercijos dėsniu.
Prieš pereidami prie inercijos dėsnio pagrindimo, pateikime keletą pastabų.
Tegul forma A(x, x) pagrinde e = (e 1, e 2,..., e n) nustatoma pagal matricą A(e) = (a ij):

kur ξ 1, ξ 2, ..., ξ n yra vektoriaus x koordinatės pagrinde e. Tarkime, kad ši forma redukuojama į kanoninę formą naudojant neišsigimusią koordinačių transformaciją

ir λ1, λ2,..., λ k– nenuliniai kanoniniai koeficientai, sunumeruoti taip, kad pirmasis q iš šių koeficientų būtų teigiamas, o šie – neigiami:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λ q+1< 0, ..., λ k <0.

Apsvarstykite šią neišsigimusią koordinačių transformaciją μ i (nesunku pastebėti, kad šios transformacijos determinantas yra ne nulis):

Dėl šios transformacijos forma A(x, x) įgis formą

vadinama normaliąja kvadratinės formos forma.
Taigi, naudojant vektoriaus x koordinačių ξ 1, ξ 2, ..., ξ n nedegeneracinę transformaciją pagrindu e = (e 1, e 2,..., e n)

(ši transformacija yra transformacijų ξ į μ ir μ į η pagal (7.30) formules sandauga) kvadratinę formą galima redukuoti į normaliąją formą (7.31).
Įrodykime tokį teiginį.
7.5 teorema (kvadratinių formų inercijos dėsnis). Terminų su teigiamais (neigiamais) koeficientais skaičius normaliojoje kvadratinės formos formoje nepriklauso nuo formos redukavimo į šią formą metodo.
Įrodymas. Tegul forma A(x, x) sumažinama į normaliąją formą (7.31) naudojant neišsigimusią koordinačių transformaciją (7.32) ir sumažinama į normaliąją formą naudojant kitą neišsigimusią koordinačių transformaciją

Akivaizdu, kad teoremai įrodyti pakanka patikrinti lygybę p = q.
Tegul p > q. Įsitikinkite, kad šiuo atveju yra nulinis vektorius x, kad bazių, kuriose forma A(x, x) forma yra (7.31) ir (7.33), koordinatės η 1, η 2, ..., η q ir ζ р+1 , ..., ζ nšio vektoriaus yra lygūs nuliui:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)

Kadangi koordinatės η i gaunami koordinačių ξ 1, ..., ξ n ir koordinačių ζ neišsigimusios transformacijos būdu (7.32). i- naudojant panašią neišsigimusią tų pačių koordinačių ξ 1, ..., ξ n transformaciją, tada ryšius (7.34) galima laikyti tiesinių vienalyčių lygčių sistema koordinatėms ξ 1, ..., ξ n norimas vektorius x baze e = ( e 1, e 2,..., e n) (pavyzdžiui, išplėstoje formoje santykis η 1 = 0 pagal (7.32) turi formą a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n= 0) - Kadangi p > q, vienalyčių lygčių (7.34) skaičius yra mažesnis nei n, todėl sistema (7.34) turi nulinį sprendinį, atsižvelgiant į koordinates ξ 1, ..., ξ n. norimas vektorius x. Vadinasi, jei p > q, tai yra nulinis vektorius x, kuriam tenkinami ryšiai (7.34).
Apskaičiuokime šio vektoriaus x formos A(x, x) reikšmę. Kreipdamiesi į santykius (7.31) ir (7.33), gauname

Paskutinė lygybė gali įvykti tik η atveju q+1 = ... = η k = 0 ir ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Taigi tam tikru pagrindu visos koordinatės ζ 1, ζ 2, ..., ζ n nenulinis vektorius x yra lygus nuliui (žr. paskutines lygybes ir ryšius (7.34)), t.y. vektorius x lygus nuliui. Todėl prielaida p > q veda prie prieštaravimo. Dėl panašių priežasčių prielaida p< q.
Taigi p = q. Teorema įrodyta.
2. Kvadratinių formų klasifikacija. Šio skyriaus 2 punkto 1 pastraipoje (žr. 2 apibrėžimą) buvo įvestos teigiamos apibrėžtosios, neigiamos apibrėžtinės, kintamos ir kvaziženklinės apibrėžtinės kvadratinės formos sąvokos.
Šiame skyriuje, naudojant inercijos indekso, kvadratinės formos teigiamų ir neigiamų inercijos indeksų sąvokas, nurodysime, kaip galima sužinoti, ar kvadratinė forma priklauso vienam ar kitam aukščiau išvardintam tipui. Tokiu atveju kvadratinės formos inercijos indeksas bus šios formos nenulinių kanoninių koeficientų skaičius (t.y. jos rangas), teigiamos inercijos indeksas – teigiamų kanoninių koeficientų skaičius, neigiamas inercijos indeksas – neigiamų kanoninių koeficientų skaičius. koeficientai. Akivaizdu, kad teigiamo ir neigiamo inercijos indeksų suma yra lygi inercijos indeksui.
Taigi tegul kvadratinės formos A(x, x) inercijos indeksas, teigiami ir neigiami inercijos indeksai yra lygūs atitinkamai k, p ir q (k = p + q) Ankstesnėje pastraipoje buvo įrodyta, kad bet kurioje kanoninis pagrindas f = (f 1 , f 2 , ..., f n) šią formą galima redukuoti į tokią normaliąją formą:

čia η 1, η 2, ..., η n yra vektoriaus x koordinatės pagrinde f.
1°. Kvadratinės formos ženklo būtina ir pakankama sąlyga. Šis teiginys yra teisingas.
Kad kvadratinė forma A(x, x), apibrėžta n-matėje tiesinėje erdvėje L, būtų apibrėžtojo ženklo, būtina ir pakanka, kad arba teigiamas inercijos indeksas p, arba neigiamas inercijos indeksas q lygus erdvės L matmeniui n.
Be to, jei p = n, tada forma yra teigiama apibrėžtoji, o jei q = n, tada forma yra neigiama apibrėžtoji.
Įrodymas. Kadangi teigiamos apibrėžtinės formos ir neigiamos apibrėžtinės formos atvejai nagrinėjami panašiai, teiginio įrodymą atliksime teigiamoms apibrėžtinėms formoms.
1) Būtinybė. Tegul forma A(x, x) yra teigiama apibrėžtoji. Tada išraiška (7.35) įgaus formą

A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2.

Jei tuo pat metu p< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

forma A(x, x) išnyksta, ir tai prieštarauja teigiamos apibrėžtos kvadratinės formos apibrėžimui. Todėl p = n.
2) Pakankamumas. Tegu p = n. Tada santykis (7.35) turi formą A(x,x) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2. Aišku, kad A(x, x) ≥ 0, o jei A = 0, tai η 1 = η 2 = ... = η n= 0, ty vektorius x yra lygus nuliui. Todėl A(x, x) yra teigiama apibrėžtoji forma.
komentuoti. Norėdami išsiaiškinti kvadratinės formos apibrėžtojo ženklo klausimą naudodami nurodytą kriterijų, turime šią formą perkelti į kanoninę formą.
Kitame skyriuje įrodysime Sylvesterio kvadratinės formos apibrėžtojo ženklo kriterijų, kurio pagalba galime išsiaiškinti formos apibrėžtojo ženklo klausimą, pateiktą bet kokiu pagrindu, nesumažinant iki kanoninės formos.
2°. Būtina ir pakankama sąlyga kvadratinės formos ženklų kaitaliojimui. Įrodykime tokį teiginį.
Kad kvadratinė forma būtų kintamoji, būtina ir pakanka, kad šios formos tiek teigiamas, tiek neigiamas inercijos indeksai skirtųsi nuo nulio.
Įrodymas. 1) Būtinybė. Kadangi kintamoji forma turi ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, jos vaizde G.35) normalioje formoje turi būti ir teigiami, ir neigiami terminai (kitaip ši forma būtų arba neneigiama, arba neteigia). Vadinasi, tiek teigiamos, tiek neigiamos inercijos indeksai yra nuliniai.
2) Pakankamumas. Tegu р ≠ 0 ir q ≠ 0. Tada vektoriui x 1, kurio koordinatės η 1 ≠ 0, ..., η р ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 turime A(x 1 x 1) > 0, o vektoriui x 2 su koordinatėmis η 1 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 mes turime A(x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Būtina ir pakankama kvadratinės formos kvaziženklinio apibrėžtumo sąlyga. Šis teiginys yra teisingas.
Kad forma A(x, x) būtų kvaziženklas apibrėžta, būtina ir pakanka, kad galiotų šie santykiai: arba p< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Įrodymas. Nagrinėsime teigiamo kvaziženklo apibrėžtosios formos atvejį. Panašiai traktuojamas ir neigiamo kvaziženklo apibrėžtinės formos atvejis.
1) Būtinybė. Tegul forma A(x, x) yra teigiamo kvaziženklo apibrėžtoji. Tada akivaizdu, kad q = 0 ir p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Pakankamumas. Jei p< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 turime A(x, x) = 0, t.y. A(x, x) yra teigiamo kvaziženklo apibrėžtoji forma.
3. Sylvesterio kriterijus (James Joseph Sylvester (1814-1897) – anglų matematikas) kvadratinės formos ženklui. Tegul forma A(x, x) pagrinde e = (e 1, e 2,..., e n) nustatoma pagal matricą A(e) = (a ij):

Paleisk Δ 1 = a 11, - kampiniai minorai ir matricos determinantas (a ij). Šis teiginys yra teisingas.
7.6 teorema (Silvesterio kriterijus). Kad kvadratinė forma A(x, x) būtų teigiama apibrėžtoji, būtina ir pakanka, kad būtų tenkinamos nelygybės Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
Kad kvadratinė forma būtų neigiama apibrėžta, būtina ir pakanka, kad kampinių minorų ženklai pakaitomis su Δ 1< 0.
Įrodymas. 1) Būtinybė. Pirmiausia įrodykime, kad iš sąlygos, kad kvadratinė forma A(x, x) yra apibrėžiamo ženklo, išplaukia Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n.
Įsitikinkime, kad prielaida Δ k= 0 veda prie prieštaravimo – pagal šią prielaidą yra nulinis vektorius x, kuriam A(x, x) = 0, o tai prieštarauja apibrėžtajam formos ženklui.
Taigi tegul Δ k= 0. Apsvarstykite tokią kvadratinę homogeninę tiesinių lygčių sistemą:

Nuo Δ k yra šios sistemos determinantas ir Δ k= 0, tada sistema turi nulinį sprendimą ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (ne visi ξ i lygūs 0). Pirmąją iš lygčių (7.36) padauginkime iš ξ 1, antrąją iš ξ 2, ..., paskutinę iš ξ k ir sudėkime gautus ryšius. Dėl to gauname lygybę , kurio kairėje pusėje yra kvadratinės formos A(x, x) reikšmė nuliniam vektoriui x su koordinatėmis (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0) . Ši reikšmė lygi nuliui, o tai prieštarauja apibrėžtam formos ženklui.
Taigi, esame įsitikinę, kad Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n. Todėl galime taikyti Jacobi metodą formos A(x, x) redukavimui į kvadratų sumą (žr. 7.4 teoremą) ir naudoti formules (7.27) kanoniniams koeficientams λ i. Jei A(x, x) yra teigiama apibrėžtoji forma, tai visi kanoniniai koeficientai yra teigiami. Bet tada iš ryšių (7.27) išplaukia, kad Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Jei A(x, x) yra neigiama apibrėžtoji forma, tai visi kanoniniai koeficientai yra neigiami. Bet tada iš formulių (7.27) matyti, kad kampinių mažųjų ženklai pakaitomis, o Δ 1< 0.
2) Pakankamumas. Tegul tenkinamos kampiniams nepilnamečiams Δ keliamos sąlygos i formuluojant teoremą. Nuo Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n, tada formą A galima redukuoti į kvadratų sumą Jacobi metodu (žr. 7.4 teoremą), o kanoninius koeficientus λ i galima rasti naudojant (7.27) formules. Jei Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, tai iš ryšių (7.27) išplaukia, kad visi λ i> 0, t.y. forma A(x, x) yra teigiama apibrėžtoji. Jei ženklai Δ i pakaitinis ir Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Kvadratinės formos samprata. Kvadratinės formos matrica. Kvadratinės formos kanoninė forma. Lagranžo metodas. Įprastas kvadratinės formos vaizdas. Kvadratinės formos rangas, rodyklė ir parašas. Teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma. Keturkampiai.

Kvadratinės formos samprata: vektoriaus erdvės funkcija, apibrėžta vektoriaus koordinatėse antrojo laipsnio vienalyčiu polinomu.

Kvadratinė forma nuo n nežinomieji yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš šių nežinomųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų nežinomųjų sandauga.

Kvadratinė matrica: Matrica tam tikru pagrindu vadinama kvadratinės formos matrica. Jei lauko charakteristika nėra lygi 2, galime manyti, kad kvadratinės formos matrica yra simetriška, t.

Parašykite kvadratinės formos matricą:

Vadinasi,

Vektorinės matricos formoje kvadratinė forma yra:

Kanoninė kvadratinės formos forma: Kvadratinė forma vadinama kanonine, jei visi t.y.

Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos naudojant tiesines transformacijas. Praktikoje dažniausiai naudojami šie metodai.

Lagranžo metodas : nuoseklus pilnų kvadratų pasirinkimas. Pavyzdžiui, jei

Tada panaši procedūra atliekama su kvadratine forma ir tt Jei viskas nėra kvadratine forma, tada po išankstinio pakeitimo reikalas patenka į nagrinėjamą procedūrą. Taigi, jei, pavyzdžiui, tada darome prielaidą

Įprasta kvadratinės formos forma: Normalioji kvadratinė forma yra kanoninė kvadratinė forma, kurios visi koeficientai yra lygūs +1 arba -1.

Kvadratinės formos rangas, indeksas ir parašas: Kvadratinės formos rangas A vadinamas matricos rangu A. Kvadratinės formos rangas nesikeičia dėl neišsigimusių nežinomųjų transformacijų.

Neigiamų koeficientų skaičius vadinamas neigiamos formos indeksu.

Teigiamų narių skaičius kanoninėje formoje vadinamas teigiamu kvadratinės formos inercijos indeksu, neigiamų narių skaičius vadinamas neigiamu indeksu. Skirtumas tarp teigiamų ir neigiamų indeksų vadinamas kvadratinės formos parašu

Teigiama apibrėžta kvadratinė forma: Tikra kvadratinė forma vadinama teigiama apibrėžtąja (neigiama apibrėžta), jei bet kurioms tikrosioms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra nulis,

Šiuo atveju matrica taip pat vadinama teigiama apibrėžtąja (neigiama apibrėžta).

Teigiamų apibrėžtųjų (neigiamų apibrėžtųjų) formų klasė yra neneigiamų (resp. neteigiamų) formų klasės dalis.

Keturkampiai: keturkampis - n-dimensinis hiperpaviršius n+1-matė erdvė, apibrėžiama kaip antrojo laipsnio daugianario nulių aibė. Jei įvesite koordinates ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (euklidinėje arba afininėje erdvėje), bendroji kvadrato lygtis yra

Šią lygtį galima kompaktiškiau perrašyti matricos žymėjimu:

kur x = ( x 1 , x 2 , x n+1) – eilutės vektorius, x T yra perkeltas vektorius, K- dydžio matrica ( n+1)×( n+1) (manoma, kad bent vienas jo elementas yra ne nulis), P yra eilutės vektorius ir R- pastovus. Dažniausiai atsižvelgiama į keturkampius tikrus arba kompleksinius skaičius. Apibrėžimas gali būti išplėstas iki keturkampių projekcinėje erdvėje, žr. toliau.

Apskritai, polinominių lygčių sistemos nulių rinkinys yra žinomas kaip algebrinė įvairovė. Taigi keturkampis yra (afininė arba projekcinė) antrojo laipsnio ir 1 kodimens algebrinė atmaina.

Plokštumos ir erdvės transformacijos.

Plokštumos transformacijos apibrėžimas. Judesio aptikimas. judėjimo savybės. Dviejų tipų judesiai: pirmosios rūšies judesiai ir antrosios rūšies judesiai. Judesių pavyzdžiai. Analitinė judesio išraiška. Plokštumos judesių klasifikacija (priklausomai nuo fiksuotų taškų ir nekintamų linijų buvimo). Plokštumos judesių grupė.

Plokštumos transformacijos apibrėžimas: Apibrėžimas. Vadinama plokštumos transformacija, kuri išsaugo atstumą tarp taškų judėjimas(arba judėjimas) lėktuvu. Plokštumos transformacija vadinama afininis, jei jis bet kuriuos tris taškus, esančius toje pačioje tiesėje, paverčia trimis taškais, taip pat esančiais toje pačioje tiesėje, ir tuo pačiu išsaugant paprastą trijų taškų ryšį.

Judesio apibrėžimas: Tai formų transformacijos, išsaugančios atstumus tarp taškų. Jei dvi figūros yra tiksliai sulygiuotos viena su kita per judesį, tai šios figūros yra vienodos, lygios.

Judėjimo savybės: Kiekvienas orientaciją išsaugantis plokštumos judesys yra lygiagretus poslinkis arba sukimasis; kiekvienas orientaciją keičiantis plokštumos judesys yra arba ašinė, arba slystanti simetrija. Judant taškai, esantys tiesioje linijoje, virsta taškais, esančiais tiesėje, ir išlaikoma jų santykinių padėčių tvarka. Judant išsaugomi kampai tarp puslinijų.

Dviejų tipų judesiai: pirmosios rūšies judesiai ir antrojo tipo judesiai: Pirmosios rūšies judesiai yra tie judesiai, kurie išsaugo tam tikros figūros pagrindų orientaciją. Juos galima realizuoti nuolatiniais judesiais.

Antrosios rūšies judesiai yra tie judesiai, kurie keičia pagrindų orientaciją į priešingą pusę. Jų negalima realizuoti nuolatiniais judesiais.

Pirmosios rūšies judesių pavyzdžiai yra vertimas ir sukimas aplink tiesią liniją, o antrosios rūšies judesiai yra centrinė ir veidrodinė simetrija.

Bet kokio skaičiaus pirmosios rūšies judesių kompozicija yra pirmosios rūšies judesiai.

Antrosios rūšies nelyginio judesių skaičiaus kompozicija yra 1-osios rūšies judesiai, o nelyginio skaičiaus 2-osios rūšies judesių kompozicija yra 2-osios rūšies judesiai.

Judesių pavyzdžiai:Lygiagretus perdavimas. Tegu a yra duotas vektorius. Lygiagretus perkėlimas į vektorių a yra plokštumos susiejimas su savimi, kai kiekvienas taškas M yra susietas su tašku M 1, kad vektorius MM 1 būtų lygus vektoriui a.

Lygiagretusis vertimas yra judėjimas, nes tai yra plokštumos susiejimas su savimi, išsaugant atstumus. Šis judėjimas gali būti vizualiai pavaizduotas kaip visos plokštumos poslinkis tam tikro vektoriaus a kryptimi pagal jo ilgį.

Pasukti. Pažymėkime tašką O plokštumoje ( posūkio centras) ir nustatykite kampą α ( sukimosi kampas). Plokštumos pasukimas aplink tašką O kampu α yra plokštumos susiejimas su savimi, kai kiekvienas taškas M yra susietas su tašku M 1 taip, kad OM = OM 1 ir kampas MOM 1 lygus α. Šiuo atveju taškas O lieka savo vietoje, t. y. jis yra atvaizduojamas ant savęs, o visi kiti taškai sukasi aplink tašką O ta pačia kryptimi – pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę (paveikslėlyje parodytas sukimasis prieš laikrodžio rodyklę).

Sukimas yra judėjimas, nes jis reiškia plokštumos susiejimą su savimi, kai atstumai išsaugomi.

Analitinė judesio išraiška: analitinis ryšys tarp pirminio vaizdo koordinačių ir taško vaizdo turi formą (1).

Plokštumos judesių klasifikacija (priklausomai nuo fiksuotų taškų ir nekintamų linijų buvimo): Apibrėžimas:

Plokštumos taškas yra nekintamas (fiksuotas), jei, atlikus tam tikrą transformaciją, jis transformuojasi į save.

Pavyzdys: Esant centrinei simetrijai, simetrijos centro taškas yra nekintamas. Sukant sukimosi centro taškas yra nekintamas. Esant ašinei simetrijai, kintamoji linija yra tiesi linija - simetrijos ašis yra tiesi kintamų taškų linija.

Teorema: Jei judėjimas neturi nei vieno kintamo taško, tai jis turi bent vieną nekintamą kryptį.

Pavyzdys: lygiagretus perdavimas. Iš tiesų, tiesės, lygiagrečios šiai krypčiai, yra nekintamos kaip visuma, nors ji ir nesusideda iš nekintamų taškų.

Teorema: Jei spindulys juda, spindulys virsta savimi, tai šis judėjimas yra arba identiška transformacija, arba simetrija tiesės, kurioje yra nurodytas spindulys, atžvilgiu.

Todėl, remiantis nekintamų taškų ar figūrų buvimu, galima klasifikuoti judesius.

Lėktuvų judėjimo grupė: Geometrijoje svarbus vaidmuo tenka figūrų savikomponavimo grupėms. Jei plokštumoje (ar erdvėje) yra tam tikra figūra, tai galime laikyti aibę visų tų plokštumos (ar erdvės) judesių, kurių metu figūra virsta savimi.

Šis rinkinys yra grupė. Pavyzdžiui, lygiakraščio trikampio plokštuminių judesių grupė, paverčianti trikampį į save, susideda iš 6 elementų: sukimosi kampais aplink tašką ir simetrijos apie tris tiesias linijas.

Jie parodyti pav. 1 su raudonomis linijomis. Taisyklingo trikampio savaiminio išlygiavimo grupės elementai gali būti nurodyti skirtingai. Norėdami tai paaiškinti, sunumeruokime taisyklingo trikampio viršūnes skaičiais 1, 2, 3. Bet koks trikampio savaiminis išsilyginimas paima taškus 1, 2, 3 į tuos pačius taškus, bet paimtus kita tvarka, t.y. galima sąlygiškai parašyti vieno iš šių skliaustų forma:

kur skaičiai 1, 2, 3 rodo skaičius tų viršūnių, į kurias dėl nagrinėjamo judėjimo patenka viršūnės 1, 2, 3.

Projektyvios erdvės ir jų modeliai.

Projekcinės erdvės samprata ir projekcinės erdvės modelis. Pagrindiniai projekcinės geometrijos faktai. Tiesių krūva, kurios centras yra taške O, yra projekcinės plokštumos modelis. Projekciniai taškai. Išplėstinė plokštuma yra projekcinės plokštumos modelis. Išplėstinė trimatė afininė arba euklido erdvė yra projekcinės erdvės modelis. Lygiagrečio dizaino plokščių ir erdvinių figūrų vaizdai.

Projektinės erdvės samprata ir projekcinės erdvės modelis:

Projekcinė erdvė virš lauko – tai erdvė, susidedanti iš tiesinės erdvės virš tam tikro lauko linijų (vienmatės suberdvės). Tiesioginės erdvės vadinamos taškais projekcinė erdvė. Šis apibrėžimas gali būti apibendrintas pagal savavališką kūną

Jei jis turi dimensiją , tada projekcinės erdvės matmuo vadinamas skaičiumi , o pati projekcinė erdvė žymima ir vadinama susieta (norint tai nurodyti, priimamas žymėjimas).

Perėjimas iš dimensijos vektorinės erdvės į atitinkamą projekcinę erdvę vadinamas projektavimas erdvė.

Taškai gali būti apibūdinti naudojant vienarūšes koordinates.

Pagrindiniai projekcinės geometrijos faktai: Projekcinė geometrija yra geometrijos šaka, tirianti projekcines plokštumas ir erdves. Pagrindinis projektinės geometrijos bruožas yra dvilypumo principas, kuris daugeliui dizainų suteikia elegantiškos simetrijos. Projektinė geometrija gali būti tiriama tiek grynai geometriniu požiūriu, tiek analitiniu (naudojant vienarūšes koordinates) ir salgebriniu požiūriu, projekcinę plokštumą vertinant kaip struktūrą virš lauko. Dažnai ir istoriškai tikroji projekcinė plokštuma laikoma Euklido plokštuma, pridedant „liniją begalybėje“.

Tuo tarpu figūrų, su kuriomis susiduria Euklido geometrija, savybės metrinė(konkrečios kampų, atkarpų, plotų reikšmės), o figūrų lygiavertiškumas yra lygiavertis jiems sutapimas(t. y. kai figūras galima paversti viena į kitą judant, išsaugant metrines savybes), yra daugiau „gilių“ geometrinių figūrų savybių, kurios išsaugomos atliekant bendresnio tipo transformacijas nei judesys. Projekcinė geometrija nagrinėja figūrų, kurios klasėje yra nekintamos, savybių tyrimą projekcinės transformacijos, kaip ir pačios šios transformacijos.

Projektinė geometrija papildo Euklido geometriją, pateikdama gražius ir paprastus daugelio problemų, kurias apsunkina lygiagrečių linijų buvimas, sprendimus. Projekcinė kūginių pjūvių teorija yra ypač paprasta ir elegantiška.

Yra trys pagrindiniai projekcinės geometrijos būdai: nepriklausoma aksiomatizacija, Euklido geometrijos papildymas ir struktūra per lauką.

Aksiomatizacija

Projektinė erdvė gali būti apibrėžta naudojant skirtingą aksiomų rinkinį.

Coxeter suteikia:

1. Yra tiesi linija, o taškas nėra joje.

2. Kiekviena eilutė turi bent tris taškus.

3. Per du taškus galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją.

4. Jei A, B, C, Ir D- įvairūs taškai ir AB Ir CD susikerta, tada A.C. Ir BD susikerta.

5. Jeigu ABC yra plokštuma, tada plokštumoje yra bent vienas taškas ABC.

6. Dvi skirtingos plokštumos kerta bent du taškus.

7. Trys pilno keturkampio įstrižainės taškai nėra kolinearūs.

8. Jei trys taškai yra tiesėje X X

Projekcinė plokštuma (be trečiojo matmens) apibrėžiama šiek tiek skirtingomis aksiomomis:

1. Per du taškus galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją.

2. Bet kurios dvi tiesės susikerta.

3. Yra keturi taškai, iš kurių trys nėra kolinearūs.

4. Trys užbaigtų keturkampių įstrižainės taškai nėra kolinearūs.

5. Jei trys taškai yra tiesėje X yra nekintamieji φ projekcingumo atžvilgiu, tada visi taškai yra X nekintamas φ atžvilgiu.

6. Desargueso teorema: Jei du trikampiai yra perspektyvūs per tašką, tai jie yra perspektyvūs per tiesę.

Esant trečiajai dimensijai, Desargueso teorema gali būti įrodyta neįvedus idealaus taško ir linijos.

Išplėstinė plokštuma – projekcinės plokštumos modelis: Afininėje erdvėje A3 paimame pluoštą tiesių S(O), kurių centras yra taške O ir plokštuma Π, kuri nekerta pluošto centro: O 6∈ Π. Linijų pluoštas afininėje erdvėje yra projekcinės plokštumos modelis. Apibrėžkime plokštumos Π taškų aibės susiejimą su jungiamosios S tiesių aibės aibę (velgi, melskis, jei turi šį klausimą, atleisk man)

Išplėstinė trimatė afininė arba euklido erdvė – projekcinės erdvės modelis:

Kad atvaizdavimas būtų surjektyvus, pakartojame afininės plokštumos Π formalaus išplėtimo iki projekcinės plokštumos Π procesą, plokštumą Π papildydami netinkamų taškų rinkiniu (M∞), kad: ((M∞)) = P0(O). Kadangi žemėlapyje atvirkštinis kiekvienos plokštumų pluošto S(O) plokštumos vaizdas yra plokštumos d tiesė, akivaizdu, kad visų netinkamų išplėstinės plokštumos taškų aibė: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), reiškia netinkamą išplėstinės plokštumos tiesę d∞, kuri yra atvirkštinis vienaskaitos plokštumos Π0 vaizdas: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sutikime, kad čia ir nuo šiol paskutinę lygybę P0(O) = Π0 suprasime taškų aibių lygybės prasme, bet apdovanotą kitokia struktūra. Papildydami afininę plokštumą netinkama linija, užtikrinome, kad atvaizdavimas (I.21) taptų bijektyvus visų išplėstinės plokštumos taškų rinkinyje:

Lygiagretaus dizaino plokščių ir erdvinių figūrų vaizdai:

Stereometrijoje tiriamos erdvinės figūros, tačiau piešinyje jos vaizduojamos kaip plokščios figūros. Kaip plokštumoje turėtų būti pavaizduota erdvinė figūra? Paprastai geometrijoje tam naudojamas lygiagretusis dizainas. Tegul p yra kažkokia plokštuma, l- ją kertanti tiesė (1 pav.). Per savavališką tašką A, nepriklausantis linijai l, nubrėžkite liniją, lygiagrečią linijai l. Šios tiesės susikirtimo su plokštuma p taškas vadinamas lygiagrečia taško projekcija Aį plokštumą p tiesės kryptimi l. Pažymėkime tai A“. Jei taškas A priklauso linijai l, tada lygiagrečia projekcija A tiesės susikirtimo taškas laikomas plokštumoje p l su lėktuvu p.

Taigi, kiekvienas taškas A erdvė lyginama jos projekcija A" į plokštumą p. Šis atitikimas vadinamas lygiagrečia projekcija į plokštumą p tiesės kryptimi l.

Projekcinių transformacijų grupė. Taikymas problemų sprendimui.

Plokštumos projekcinės transformacijos samprata. Plokštumos projekcinių transformacijų pavyzdžiai. Projekcinių transformacijų savybės. Homologija, homologijos savybės. Projekcinių transformacijų grupė.

Plokštumos projekcinės transformacijos samprata: Projekcinės transformacijos samprata apibendrina centrinės projekcijos sampratą. Jei atliksime centrinę plokštumos α projekciją į kokią nors plokštumą α 1, tai α 1 projekciją į α 2, α 2 projekciją į α 3, ... ir galiausiai kokią nors plokštumą α n vėl ant α 1, tada visų šių projekcijų sudėtis yra plokštumos α projekcinė transformacija; Į tokią grandinę gali būti įtrauktos ir lygiagrečios projekcijos.

Projekcinės plokštumos transformacijų pavyzdžiai: Projekcinė užbaigtos plokštumos transformacija yra jos vienas su vienu atvaizdavimas į save, kai išsaugomas taškų kolineariškumas, arba, kitaip tariant, bet kurios linijos vaizdas yra tiesi linija. Bet kokia projekcinė transformacija yra centrinių ir lygiagrečių projekcijų grandinės kompozicija. Afininė transformacija yra ypatingas projekcinės transformacijos atvejis, kai tiesė begalybėje virsta savimi.

Projekcinių transformacijų savybės:

Projekcinės transformacijos metu trys taškai, esantys ne tiesėje, paverčiami trimis ne tiesėje esančiais taškais.

Projekcinės transformacijos metu rėmas virsta rėmeliu.

Projekcinės transformacijos metu linija pereina į tiesią liniją, o pieštukas - į pieštuką.

Homologija, homologijos savybės:

Plokštumos, turinčios nekintamų taškų liniją, taigi ir nekintamų tiesių pieštuką, projekcinė transformacija vadinama homologija.

1. Tiesė, einanti per nesutampančius atitinkamus homologijos taškus, yra nekintama tiesė;

2. Linijos, einančios per nesutampančius atitinkamus homologijos taškus, priklauso tam pačiam pieštukui, kurio centras yra nekintamas taškas.

3. Taškas, jo vaizdas ir homologijos centras yra toje pačioje tiesėje.

Projektinių transformacijų grupė: apsvarstykite projekcinės plokštumos P 2 projekcinį atvaizdavimą į save, tai yra šios plokštumos projekcinę transformaciją (P 2 ’ = P 2).

Kaip ir anksčiau, projekcinės plokštumos P 2 projekcinių transformacijų f 1 ir f 2 sudėtis yra nuoseklaus transformacijų f 1 ir f 2 vykdymo rezultatas: f = f 2 °f 1 .

1 teorema: projekcinės plokštumos P 2 visų projekcinių transformacijų aibė H yra grupė projekcinių transformacijų sudėties atžvilgiu.

Virš lauko K (\displaystyle K) Ir e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- pagrindas L (\displaystyle L).

• Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi jos matricos kampiniai minorai yra griežtai teigiami.
• Kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai kaitaliojasi visų jos matricos kampinių mažųjų ženklai, o 1 eilės minoras yra neigiamas.

Dvilinijinė forma, poliarinė su teigiama apibrėžta kvadratine forma, atitinka visas taškinės sandaugos aksiomas.

Kanoninis vaizdas

Tikras atvejis

Tuo atveju K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(realiųjų skaičių laukas), bet kuriai kvadratinei formai yra pagrindas, kuriame jos matrica yra įstrižainė, o pati forma turi kanoninis požiūris(įprastas vaizdas):

Kur r (\displaystyle r)- kvadratinės formos rangas. Neišsigimusios kvadratinės formos atveju p + q = n (\displaystyle p+q=n), o degeneruotų atveju - p+q< n {\displaystyle p+q.

Norint sumažinti kvadratinę formą į kanoninę formą, dažniausiai naudojamas Lagranžo metodas arba stačiakampio pagrindo transformacijos, o nurodyta kvadratinė forma gali būti paversta kanonine forma daugiau nei vienu būdu.

Skaičius q (\displaystyle q)(neigiami terminai) vadinamas inercijos indeksas duota kvadratinė forma ir skaičius p − q (\displaystyle p-q)(skirtumas tarp teigiamų ir neigiamų narių skaičiaus) vadinamas parašas kvadratine forma. Atkreipkite dėmesį, kad kartais kvadratinės formos parašas yra pora (p , q) (\displaystyle (p, q)). Skaičiai p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) yra kvadratinės formos invariantai, t.y. nepriklauso nuo jo redukavimo į kanoninę formą metodo ( Sylvesterio inercijos dėsnis).

Sudėtingas atvejis

Tuo atveju K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(sudėtinių skaičių laukas), bet kuriai kvadratinei formai yra pagrindas, kuriame forma turi kanoninę formą

Kur r (\displaystyle r)- kvadratinės formos rangas. Taigi sudėtingu atveju (priešingai nei tikruoju atveju) kvadratinė forma turi vieną invariantą - rangą, o visos neišsigimusios formos turi tą pačią kanoninę formą (kvadratų sumą).

Nustatyta, kad kvadratinės formos nenulinių kanoninių koeficientų skaičius yra lygus jos rangui ir nepriklauso nuo neišsigimusios transformacijos, kurios pagalba forma bus pasirinkta. A(x, x) redukuojama į kanoninę formą. Tiesą sakant, teigiamų ir neigiamų koeficientų skaičius taip pat nesikeičia.

Teorema11.3 (kvadratinių formų inercijos dėsnis). Teigiamų ir neigiamų koeficientų skaičius normalioje kvadratinės formos formoje nepriklauso nuo kvadratinės formos redukavimo į normaliąją formą metodo.

Tegul kvadratinė forma f rangas r iš n nežinomas x 1 , x 2 , …, x n sumažinta iki normalios formos dviem būdais, tai yra

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Tai galima įrodyti k = l.

Apibrėžimas 11.14. Vadinamas normaliosios formos teigiamų kvadratų skaičius, iki kurio sumažinta tikroji kvadratinė forma teigiamas inercijos indeksasši forma; neigiamų kvadratų skaičius – neigiamas inercijos indeksas, o jų suma yra inercijos indeksas kvadratinė forma arba parašas formų f.

Jeigu p– teigiamas inercijos indeksas; q– neigiamas inercijos indeksas; k = r = p + q– inercijos indeksas.

Kvadratinių formų klasifikacija

Tegul kvadratinė forma A(x, x) inercijos indeksas lygus k, teigiamos inercijos indeksas lygus p, neigiamas inercijos indeksas lygus q, Tada k = p + q.

Įrodyta, kad bet kokiu kanoniniu pagrindu f = {f 1 , f 2 , …, f n) ši kvadratinė forma A(x, x) gali būti sumažintas iki normalios formos A(x, x) = + + … + –
– … – , Kur  1 ,  2 , …,  n vektoriaus koordinates x pagrindu ( f}.

Kvadratinės formos ženklo būtina ir pakankama sąlyga

pareiškimas11.1. A(x, x), nurodyta n V, buvo konkretus ženklas, būtina ir pakanka, kad arba teigiamas inercijos indeksas p, arba neigiamas inercijos indeksas q, buvo lygus matmeniui n erdvė V.

Be to, jei p = n, tada formą teigiamai x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Jeigu q = n, tada formą neigiamas apibrėžta (tai yra bet kuriai x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Būtina ir pakankama sąlyga kvadratinės formos ženklų kaitaliojimui

Pareiškimas 11.2. Kad kvadratinė forma A(x, x), nurodyta n-dimensinė vektorinė erdvė V, buvo kintamasis ženklas(tai yra, tokių yra x, y Ką A(x, x) > 0 ir A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Būtina ir pakankama sąlyga kvazikintamajai kvadratinei formai

11.3 pareiškimas. Kad kvadratinė forma A(x, x), nurodyta n-dimensinė vektorinė erdvė V, buvo beveik kintamasis(ty bet kuriam vektoriui x arba A(x, x) ≥ 0 arba A(x, x) ≤ 0 ir yra toks nenulinis vektorius x, Ką A(x, x) = 0) būtina ir pakanka, kad būtų patenkintas vienas iš dviejų santykių: p < n, q= 0 arba p = 0, q < n.

komentuoti. Norint pritaikyti šias charakteristikas, kvadratinė forma turi būti sumažinta iki kanoninės formos. Silvesterio ženklo nustatymo 15 kriterijus to nereikalauja.