Băncile oferă lor potenţiali investitori tipuri diferite depozite, dar toate pot fi împărțite în două grupe după metodele de calcul a profiturilor. Aceasta este acumularea dobânzii la un depozit fără capitalizare și acumularea utilizând dobândă compusă. Pentru a calcula profitul în al doilea caz, veți avea nevoie de formula dobânzii compuse pentru depozituri bancare.

Vă vom spune cum să calculați singur dobânda compusă și să utilizați această formulă pentru investiții de capital competente. Veți înțelege cum vă percep băncile dobândă. Acest lucru vă va ajuta să navigați cu ușurință printre masa diferitelor oferte pentru depozite.

Cum se calculează dobânda compusă: formulă și exemple

Să începem de la simplu la complex. Tipic depozit bancar cu dobânda simplă nu prevede posibilitatea de valorificare a profiturilor. Primești plăți de dobândă lunar, trimestrial sau la final împreună cu suma principală, în funcție de condițiile băncii. Puteți retrage bani și îi puteți folosi la discreția dvs.

Iată un exemplu de depozit simplu clasic. Pune 100.000 în bancă la 12% pe an. Banca vă plătește dobândă în fiecare lună. Profitul dvs. total va fi:

100.000 * 0,12 = 12.000 de ruble

La sfârșitul fiecărei perioade, veți primi aproximativ 1000 de ruble. Formula de calcul în bancă este mai complicată, ținând cont de numărul de zile din fiecare lună și de numărul de zile dintr-un an. Prin urmare, în februarie vei primi mai puțin decât în ​​aprilie, iar în aprilie vei primi mai puțin decât în ​​mai. Dar, în total, profitul va fi de 12.000 de ruble *.

* Pentru cei care iubesc precizia în toate. De fapt, nici măcar 12.000 de ruble nu vei primi, deoarece băncile folosesc o formulă mai complexă pentru acumularea depozitelor. Suma profitului se calculează după cum urmează: % \u003d p / (Dnper. / Dnyear.). Băncile, de regulă, nu țin cont de ziua în care a fost efectuată depozitul, așa că în realitate vei primi 100.000 * 0,12 / (364/365) = 100.000 * 0,119671232 = 11.967, 1232 ruble pe an.

Dobânda compusă la un depozit prevede acumularea dobânzii pentru perioada specificată în contract (lună, an, trimestru) și adăugarea ulterioară a acestei sume la suma totală a depozitului. Dobanda pentru perioada urmatoare nu se va mai percepe la suma initiala, ci la suma + dobanda. Prin urmare, veniturile pentru noua perioadă vor fi mai mari.

Termenul financiar „dobândă compusă” înseamnă profitul total primit pentru un depozit, sub rezerva adăugării profitului pentru fiecare perioadă. Adăugarea dobânzii la suma inițială se numește capitalizare.

C profit \u003d C beg * (1 + %) w - C beg

Explicații pentru formula dobânzii compuse:

• Cu profit - suma pe care o vei primi dupa incheierea contractului, fara a include depozitul initial;
• De la început - suma pentru care a fost efectuată depunerea (suma inițială);
• % - desemnarea ratei dobânzii. Este indicată ca o fracție zecimală. p(10% pe an este 0,1;
• 14,5% pe an - 0,145 și se calculează pentru fiecare perioadă după formula:% = R* (Ndn.per. / Nyr.);
• w este numărul perioadelor de capitalizare. Dacă adăugarea la suma principală a depozitului se face în fiecare lună, atunci w = 12. Formula % simplificată pentru un calcul aproximativ al profitului va fi: % = R / 12.

Folosind această versiune simplă, dobânda compusă poate fi calculată foarte rapid fără programe suplimentareși calculatoare.

Exemplu. Pui aceleași 100.000 de ruble la 12% pe an, dar cu capitalizare în fiecare lună. Profitul tău va fi: 100.000 * (1 + 0,12 / 12) 12 - 100.000 = 100.000 * (1 + 0,01) 12 - 100.000 = 112.682,503 - 100.000 = 12,682 ruble.

Suma reală va fi diferită deoarece formula % exactă pentru fiecare lună va fi diferită din cauza numărului diferit de zile. De asemenea, nu se ia în calcul prima zi a primei perioade de creditare (ca în cazul calculării dobânzii simple).

Majoritatea produselor de depozit bancar oferă dobândă compusă capitalizată lunar sau trimestrial. Cu cât sunt mai multe perioade de capitalizare, cu atât profitul va fi mai mare. Acest lucru este ușor de verificat în primul exemplu prin schimbarea numărului de perioade de la 12 la 4: 100.000 * (1 + 0,12/4) 4 - 100.000 = 100.000 * (1.03) 4 - 100.000 = 100.000 * 10, 8 - 100. 12.550,88 ruble.

De ce clienții băncilor au adesea dificultăți cu dobânda bancară compusă? Cel mai adesea, pentru că folosesc o formulă simplificată pentru calcul și nu iau în considerare rata diferită pentru fiecare perioadă. Dar apoi și formula generala nu poate fi aplicat: la urma urmei, dacă într-un trimestru obținem % = p * (90/365) = p * 0,2466, atunci deja în al doilea trimestru % = p * (91/365) = p * 0,2493.

Cum diferă un astfel de depozit de un depozit standard cu capitalizare a dobânzii? În acest caz, la sfârșitul primei perioade (lună), la suma inițială se adaugă nu dobânda pentru această perioadă, ci o anumită cantitate fixă. Pentru a calcula dobânda compusă cu reîncărcare lunară, vom folosi o formulă diferită.

Pentru a calcula dobânda compusă cu completare, formula arată astfel:

C profit \u003d C inițial * (1 + %) w + (C suplimentar * (1 +%) w + 1 - C suplimentar * (1 + %)) / % - C inițial

Exemplu: pui 100.000 de ruble în contul tău la 12% pe an, iar în fiecare lună mai adaugi la acest depozit încă 5.000. În același timp, nu ținem cont de dobândă: credem că le primești pe un cont separat și foloseste-le diferit.

Primești: 100.000 * (1 + 0,01) 12 - 100.000 + (5.000 * (1 + 0,01) 13 - 5.000 * 1,01) / 0,01 = 12.682 + 1.904 = 14.586 ruble.

Formula pentru calcularea primei perioade: C1 \u003d C început * (1 +%). C1 nu este doar dobânda, ci și plus suma inițială a contribuției. Calcul pentru a doua perioadă: С2 = С1 * (1 + %). Rețineți că valoarea % va fi diferită în fiecare caz.

Calculați complex interes bancar pentru un depozit de 100.000 de ruble la 12% pe an, cu capitalizare în fiecare trimestru. 1 ianuarie va fi considerată ziua în care se întocmește contractul.

C1 \u003d C început * (1 +%) \u003d 100.000 * (1 + 0,12 * (30 + 28 + 31) / 365) \u003d 100.000 * (1 + 0,12 * 0,2438356) \u003, 02 0 0 0 0 0 2 = 102.926,03 ruble;

C2 \u003d 102.926,03 * (1 + 0,12 * (30 + 31 + 30) / 365) \u003d 102.926,03 * (1 + 0,0299178) \u003d 106.005,35 ruble etc. Continuând aceste calcule, obținem 112514,93 ruble. Adică, profitul va fi de 12.514,93 ruble (atunci când este calculat folosind o formulă simplificată, rezultatul a fost de 12.550 de ruble).

Nu este necesar să utilizați astfel de formule complexe, cu excepția cazului în care vă plac numerele exacte și doriți să vă verificați banca pentru a vedea dacă depozitele dvs. sunt taxate corect.

Cum să utilizați în mod profitabil dobânda bancară compusă

La dobânzi egale, un depozit cu capitalizare va aduce mai multe venituri. Dar adesea banca oferă o alegere: un depozit cu o rată mai mică, dar cu capitalizare, sau un depozit obișnuit cu miza inalta fără majuscule. A găsi cea mai bună opțiune, va trebui să utilizați formula de mai sus pentru a calcula interes compus prin depozite.

Formula poate fi folosită și în sens invers. De exemplu, calculează rata dobânzii la care vei primi profitul dorit într-un anumit timp. Formula va arăta astfel:% \u003d (Dorit / Inițial) 1 / n - 1. De exemplu, doriți să calculați la ce rată a dobânzii, după ce ați investit 10.000 de ruble pentru un an cu o capitalizare trimestrială, veți primi 15.000 de ruble ca urmare. Calculați rata: % = (15.000 / 10.000) ¼ - 1 = 0,10668. Rata ar trebui să fie de 10,668%.

Când deschideți un depozit bancar, trebuie să acordați atenție nu numai mărimii ratei dobânzii, ci și tipului de dobândă acumulată. Există un calcul simplu al dobânzii și unul complex. În acest articol, vom analiza diferența dintre tipul de calcul al ratei dobânzii și, de asemenea, vom determina beneficiile uneia sau alteia metode de calcul.

Care este diferența dintre dobânda simplă și cea compusă?

Băncile oferă de obicei o dobândă simplă acumulată. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că dobânda va fi percepută de la depozitul dvs. numai la sfârșitul termenului. Acestea. să presupunem că ați deschis un depozit de 10% pe an și ați investit 10.000 de ruble. Într-un an, veți fi creditat sub formă de dobândă de 1.000 de ruble. Dacă lăsați o contribuție pentru al doilea an, atunci după această perioadă veți fi creditat cu încă 1.000 de ruble.

Timp de 2 ani, cu un calcul simplu al dobânzii, suma dvs. totală va fi: 12.000 de ruble.

Dacă a existat un calcul complex al dobânzii, imaginea se schimbă puțin. După 1 an, contul tău ar avea și 11.000 de ruble (10.000 - contribuția ta + 1.000 de ruble în dobândă).

Totuși, această mii acumulate, la sfârșitul primei perioade, s-ar alătura corpului principal al depozitului. Și toată dobânda s-ar acumula deja pe această sumă totală. Acestea. ai primi 10% în al doilea an, numai că nu de la 10.000 de ruble, ci de la 11 mii. În bani se dovedește - 1.100 de ruble.

În total, pentru 2 ani cu acumulare complexă, suma dvs. va fi: 12.100 de ruble

Cred că nu are sens să explici ce alegi: 12.000 sau 12.100 de ruble. in afara de asta beneficiu suplimentar dobânda compusă este faptul că sunt incluse și în . Acestea. dacă licența băncii este revocată, atunci toate dobânzile acumulate sunt, de asemenea, supuse returnării deponentului.

Cu acumulare simplă, banii se plătesc doar la sfârșitul termenului, adică. de fapt, nu au fost creditate, chiar dacă a mai rămas doar o zi înainte de încheierea depozitului tău! Și în acest caz, aveți dreptul să returnați doar capitalul de bază.

Un depozit cu capitalizare lunară sau trimestrială a dobânzii devine deosebit de atractiv. Cu cât perioada de valorificare a depozitului este mai mică, cu atât mai mult venit mare El dă. Este vorba despre efectul cumulativ. Atunci când dobânda acumulată sub formă de profit acumulează și profit. Uneori dobânda compusă se numește dobândă. inclusiv reinvestirea sau capitalizare. Acordați atenție acestui lucru atunci când încheiați un acord cu o bancă. Dacă acordul prevede că dobânda se acumulează la sfârșitul termenului de depozit, atunci vorbim pe dobândă simplă.

Băncile nu oferă adesea. Chiar dacă dobânda se acumulează lunar sau trimestrial, băncile preferă să nu folosească profiturile primite pentru a le percepe dobândă suplimentară, ci să le transfere într-un cont separat. Ideea aici, așa cum am menționat mai sus, este efectul refinanțării, când rata efectivă a dobânzii datorată capitalizării va fi mai mare decât cea declarată inițial de bancă.

Exemplu. La rata nominală la 9% pe an, real rata efectivă luând în considerare reinvestirea ar fi de 9,4% pe an. La 10%, această cifră ar crește la 10,5%, iar la 11%, la 11,6%.

Băncile cotează de obicei rata dobânzii nominale, deoarece este posibil ca rata efectivă a dobânzii să nu apară dacă dobânda este retrasă.

Formula de calcul a dobânzii compuse la depozitele în bănci

Pentru cei care vor să înțeleagă singuri cât vor primi investind bani la dobândă compusă, banca are o formulă specială de reinvestire sau valorificare a unui depozit:

S=K*(1+r/t)™

K este suma inițială pe care ați depus-o în bancă,

r - rata anuală a dobânzii la care ați depus în bancă, de exemplu, 10% pe an este 0,1, 12% pe an este 0,12

t este numărul de plăți de dobândă pe an, de exemplu, dacă dobânda se acumulează anual, atunci t=1, trimestrial t=4, lunar t=12

TM este numărul de perioade de acumulare a dobânzii, adică dacă ați deschis un depozit timp de 2 ani, atunci cu o acumulare trimestrială de perioade vor fi 8, cu un TM lunar va fi 24.

S este suma care va fi în contul dumneavoastră la sfârșitul perioadei de depunere.

Exemplu.

Ați deschis un depozit pe o perioadă de 2 ani, la 12% pe an, capitalizarea dobânzii este trimestrială. Ai depus 10.000 de ruble.

Cât vei avea la sfârșitul mandatului?

K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8

Obținem, S=10.000 * (1+0.12/4)∧8 = 12.668 ruble.

În total, timp de 2 ani, o astfel de contribuție vă va aduce 2.668 de ruble sau un profit de 26,68%.

Dacă, de exemplu, luăm un calcul simplu al dobânzii la același 12% pe an timp de 2 ani, cu acumulare anuală, dar fără capitalizare, atunci la sfârșitul termenului suma va fi puțin mai mică, și anume 2.400 de ruble sau 24 % Randament.

Desigur, diferența de 2,68% nu este atât de mare. Dar totul se schimbă dacă suma depozitului se modifică în sus sau termenul depozitului crește. La intervale mari de timp, diferența dintre calculul simplu și complex al dobânzii este cel mai vizibilă. Pe perioade lungi de timp, diferența de rezultat obținut poate varia semnificativ. Nu e de mirare că Rothschild (cea mai bogată familie de pe planetă) au numit dobânda compusă „”.

Dobânda compusă diferă de dobânda obișnuită prin aceea că este percepută nu numai din principalul depozitului, ci și din suma dobânzii acumulate pe aceasta. Din acest motiv, sumele cont de economii cei cu dobândă compusă cresc mai repede decât cei cu dobândă simplă. Mai mult, economiile vor crește și mai repede dacă dobânda este capitalizată de mai multe ori pe an. Dobânda compusă se găsește în diferite tipuri de investiții, precum și în anumite tipuri de împrumuturi, de exemplu, Carduri de credit. Calcularea creșterii sumei inițiale la rata dobânzii compuse este destul de simplă dacă cunoașteți formula corectă.

Pași

Partea 1

1. Determinați capitalizarea anuală. Rata dobânzii la investiții sau contracte de împrumut este stabilită pentru un an. De exemplu, dacă rata împrumutului auto este de 6%, atunci plătiți 6% din suma împrumutului anual. Când se capitalizează dobânda o dată pe an, este mai ușor să se calculeze dobânda compusă.

   • Dobânzile pentru datorii și investiții pot fi capitalizate (adăugate la suma principală) anual, lunar și chiar zilnic.
   • Cu cât are loc mai multă capitalizare, cu atât crește mai rapid valoarea dobânzii.
   • Rata dobânzii compusă poate fi privită atât din punctul de vedere al investitorului, cât și al debitorului. Capitalizarea frecventă sugerează că veniturile din dobânzi ale investitorului vor crește mai repede. Pentru debitor, aceasta înseamnă că va trebui să plătească mai multă dobândă pentru utilizarea fondurilor împrumutate până la rambursarea împrumutului.
   • De exemplu, scrierea cu majuscule depozit poate fi efectuată o dată pe an, iar valorificarea împrumutului poate fi lunară sau chiar săptămânală.

2. Calculați capitalizarea dobânzii pentru primul an. Să presupunem că ai 1.000 USD și îi investești în obligațiuni guvernamentale americane la 6% pe an. Dobânda pentru obligațiunile guvernamentale SUA este calculată anual pe baza ratei dobânzii și a valorii actuale. Securitate.

   • Dobânda pentru primul an al investiției va fi de 60 USD (1000 USD*6% = 60 USD).
   • Pentru a calcula dobânda pentru al doilea an, mai întâi trebuie să adăugați dobânda acumulată anterior la suma investiției inițiale. În exemplul de mai sus, ar fi 1060 USD (sau 1000 USD + 60 USD = 1060 USD). Adică, valoarea actuală a obligațiunii de stat este de 1060 USD, iar dobânda suplimentară este calculată din această valoare.

3. Calculați capitalizarea dobânzii pentru anii următori. Pentru a vedea mai clar diferența dintre dobânda compusă și dobânda obișnuită, calculați valoarea acestora pentru anii următori. De la an la an, suma dobânzii va crește.

   • Pentru al doilea an, înmulțiți valoarea actuală a obligațiunii de 1060 USD cu rata dobânzii (1060 USD*6% = 63,60 USD). Suma dobânzii pentru anul va crește cu 3,60 USD (sau 63,60 USD - 60,00 USD=3,60 USD). Acest lucru se datorează faptului că valoarea principală a investiției a crescut de la 1.000 USD la 1.060 USD.
   • În al treilea an, valoarea actuală a investiției este de 1123,60 USD (1060 USD + 63,60 USD = 1123,60 USD). Dobânda pentru acest an va fi deja egală cu 67,42 USD. Și această sumă va fi adăugată la valoarea actuală a titlului pentru a calcula dobânda pentru al 4-lea an.
   • Cu cât durata împrumutului/investiției este mai lungă, cu atât este mai mare impactul dobânzii compuse asupra sumei totale. Termenul unui împrumut este perioada de timp în care debitorul încă nu și-a rambursat datoriile.
   • Fără capitalizare, dobânda pentru al doilea an va fi de 60 USD (1000 USD * 6% = 60 USD). De fapt, dobânda pentru fiecare an va fi de 60 USD dacă nu este inclusă în suma principală. Cu alte cuvinte, asta interes simplu.

4. Creați o foaie de calcul în Excel pentru a calcula dobânda compusă în totalitate. Este util să vizualizați dobânda compusă ca o simplă foaie de calcul în Excel care vă va arăta creșterea investiției dvs. Deschideți documentul și etichetați celulele de sus din coloanele A, B și C ca „An”, „Cost” și „Dobândă acumulată”.

   • Introduceți anii de la 0 la 5 în celulele A2-A7.
   • Introduceți suma investiției inițiale în celula B2. Să presupunem că ați început cu o investiție de 1000 USD. Introdu 1000 aici.
   • Introduceți formula „=B2*1.06” (fără ghilimele) în celula B3 și apăsați enter. Această formulă spune că în fiecare an dobânda dumneavoastră este capitalizată la o rată de 6% (0,06). Faceți clic pe colțul din dreapta jos al celulei B3 și trageți formula în celula B7. Sumele din celule vor fi calculate automat.
   • Pune un zero în celula C2. În celula C3, introduceți formula „=B3-B$2” și apăsați enter. Aceasta vă va oferi diferența dintre costul actual și inițial al investiției (celulele B3 și B2), care este suma totală a dobânzii acumulate. Faceți clic pe colțul din dreapta jos al celulei C3 și trageți formula în jos în celula C7. Sumele vor fi calculate automat.
   • În același mod, puteți face calcule pentru câți ani doriți. De asemenea, puteți modifica cu ușurință suma inițială și rata dobânzii prin schimbarea formulei de calcul a dobânzii și a conținutului celulelor corespunzătoare.

5. Efectuați operații matematice asupra formulei. Simplificați expresia calculând părțile individuale, începând cu paranteze și fracția aflată acolo.

   • Împărțiți mai întâi fracția. Rezultatul va fi următorul: F V = $ 5000 (1 + 0 , 00288) 2 ∗ 12 (\displaystyle FV=\$5000(1+0.00288)^(2*12)).
   • Adunați sumele dintre paranteze. Vei primi: F V = $ 5000 (1 , 00288) 2 ∗ 12 (\displaystyle FV=\$5000(1.00288)^(2*12)).
   • Calculați gradul în sine (expresia de mai sus între paranteze). Rezultatul va fi astfel: F V = 5000 USD (1, 00288) 24 (\displaystyle FV=\5000 USD(1,00288)^(24)).
   • Ridicați numărul dintre paranteze la puterea corespunzătoare. Acest lucru se poate face pe un calculator: mai întâi introduceți suma între paranteze (1,00288 în exemplul nostru), faceți clic pe butonul de exponențiere x y (\displaystyle x^(y)), apoi introduceți valoarea exponentului (24) și apăsați enter. Rezultatul va arăta astfel: F V = 5000 USD (1, 0715) (\displaystyle FV=\5000 USD (1,0715)).
   • În cele din urmă, înmulțiți suma inițială cu numărul dintre paranteze. În exemplul de mai sus, înmulțiți 5000 USD cu 1,0715 pentru a obține 5357,50 USD. Aceasta este valoarea viitoare a investiției dumneavoastră în doi ani.

6. Scădeți suma inițială din rezultat. Diferența va reprezenta suma dobânzii acumulate.

   • Scădeți 5.000 USD inițiali din valoarea viitoare a depozitului de 5.357,50 USD și aveți 357,50 USD (5.375,50 USD-5.000 USD=357,50 USD).
   • Adică, după doi ani, vei câștiga 357,50 USD în dobândă.

Partea 3

1. Învață formula. Dobânda compusă va crește și mai rapid dacă creșteți în mod regulat suma depozitului, de exemplu, depunând o anumită sumă într-un cont de depozit în fiecare lună. Formula aplicată în acest caz devine mai mare, dar se bazează pe aceleași principii. Arata cam asa: F V = P (1 + i c) n ∗ c + R ((1 + i c) n ∗ c - 1) i c (\displaystyle FV=P(1+(\frac (i)(c)))^(n* c)+(\frac (R((1+(\frac (i)(c)))^(n*c)-1))(\frac (i)(c)))). Toate variabilele din formulă rămân aceleași, dar li se adaugă încă un indicator:

   • „P” - suma inițială;
   • „i” – rata anuală a dobânzii;
   • „c” – frecvența capitalizării (de câte ori pe an se adaugă dobânda la suma principalului);
   • „n” – durata perioadei în ani;
   • „R” - valoarea reîncărcării lunare a depozitului.

2. Determinați valorile inițiale ale variabilelor. Pentru a calcula valoarea viitoare a unui depozit, trebuie să cunoașteți suma inițială (actuală) a depozitului, rata anuală a dobânzii, frecvența capitalizării dobânzii, termenul depozitului și valoarea reîncărcării lunare a depozitului. Toate acestea pot fi găsite în contractul pe care l-ați semnat cu banca dumneavoastră.

   • Nu uitați să traduceți procent anualîntr-o zecimală. Pentru a face acest lucru, pur și simplu împărțiți-l la 100%. De exemplu, rata de 3,45% menționată mai sus ar fi 0,0345 (sau 3,45%/100%=0,0345) în formă zecimală.
   • Ca frecvență de capitalizare, specificați de câte ori pe an se adaugă dobândă la suma totală a depozitului. Dacă acest lucru se întâmplă anual, introduceți unul, lunar - 12, zilnic - 365 (nu vă faceți griji pentru anii bisecți).

3. Înlocuiți datele din formulă. Continuând cu exemplul de mai sus, să presupunem că decideți să depuneți 100 USD în fiecare lună. În același timp, suma inițială a depozitului este de 5.000 USD, rata este de 3,45% pe an, iar capitalizarea are loc lunar. Calculați creșterea depozitului timp de doi ani.

   • Introduceți datele dvs. în formula: F V = 5 $ , 000 (1 + 0,0345 12) 2 ∗ 12 + 100 $ ((1 + 0,0345 12) 2 ∗ 12 − 1) 0,0345 12 (\displaystyle FV=\$5.000 (0.0345 12) (0.0345 12) $ 12)))^(2*12)+(\frac (\$100((1+(\frac (0,0345)(12)))^(2*12)-1))(\frac (0,0345)(12 ))))

4. Faceți un calcul. Din nou, amintiți-vă ordinea corectă a operațiunilor. Aceasta înseamnă că trebuie să începeți prin a face acțiunile din paranteze.

   • Mai întâi de toate, calculați fracțiile. Adică, împărțiți „i” la „c” în trei locuri pentru a obține același rezultat de 0,00288 peste tot. Acum formula va arăta astfel: F V = 5000 $ (1 + 0 , 00288) 2 ∗ 12 + 100 $ ((1 + 0 , 00288) 2 ∗ 12 − 1) 0 . 00288 (\displaystyle FV=\5000$(1+8)^(02*8) 12)+(\frac (\$100((1+0,00288)^(2*12)-1))(0,00288))).
   • Adăugați în paranteze. Adică, adăugați unul la rezultatul calculelor anterioare, acolo unde este necesar. Vei primi: F V = 5000 $ (1 , 00288) 2 ∗ 12 + 100 $ ((1 , 00288) 2 ∗ 12 − 1) 0 . 00288 (\displaystyle FV=\5000 $(1,00288)^(\*frac2)^(2*12) (\$100((1,00288)^(2*12)-1))(0,00288))).
   • Calculați gradul. Pentru a face acest lucru, înmulțiți cele două numere din partea de sus în afara parantezelor. În exemplul nostru, valoarea gradului va fi 24 (sau 2*12). Formula va apărea după cum urmează: F V = 5000 USD (1 , 00288) 24 + 100 USD ((1 , 00288) 24 − 1) 0 . 00288 (\displaystyle FV=\5000 USD(1,00288)^(24)+(\frac (\1008($1008) )^(24)-1))(0,00288))).
   • Ridicați numerele necesare la o putere. Ar trebui să ridicați numerele dintre paranteze la puterea pe care ați obținut-o în etapa anterioară a calculelor. Pentru a face acest lucru, pe calculator, introduceți numărul dintre paranteze (în exemplu este 1,00288), apăsați butonul de exponențiere x y (\displaystyle x^(y)), apoi introduceți o valoare pentru grad (în acest caz, 24). Vei primi: F V = 5000 $ (1 , 0715) + 100 $ (1 , 0715 − 1) 0 . 00288 (\displaystyle FV=\5000 $(1,0715)+(\frac (\100 $(1,0715-1))( 8))02.
   • Scădea. Scădeți unul din rezultatul calculului anterior din partea dreaptă a formulei (în exemplu, scădeți 1 din 1,0715). Acum formula arată astfel: F V = 5000 USD (1 , 0715) + 100 USD (0 , 0715) 0 . 00288 (\displaystyle FV=\5000 USD(1,0715)+(\frac (\100(0,0715))(0,00288))).
   • Faceți înmulțirea. Înmulțiți suma investiției inițiale cu numărul din primele paranteze și suma suplimentară lunară cu aceeași sumă din paranteze. Vei primi: F V = 5357 USD , 50 + 7 USD , 15 0 , 00288 (\displaystyle FV=\5357,50 USD+(\frac (\7,15 USD)(0,00288)))
   • Faceți împărțirea. Veți obține următorul rezultat: F V = 5 USD, 357,50 + 2 USD, 482,64 (\displaystyle FV=\5.357,50 USD+\2.482,64 USD)
   • Adunați numerele. În cele din urmă, adună cele două numere rămase pentru a afla suma viitoare din cont. Cu alte cuvinte, adăugați 5357,50 USD și 2482,64 USD pentru a obține 7840,14 USD. Aceasta este valoarea viitoare a investiției dumneavoastră în doi ani.

interes compus Se obișnuiește să se numească efectul care apare atunci când profiturile și dobânda se acumulează, în urma căruia plățile dobânzilor cresc exponențial. Majoritatea băncilor moderne acceptă clienți tocmai la dobândă compusă, ceea ce este, fără îndoială, benefic pentru deponent. Chiar și Einstein însuși a apreciat importanța descoperirii interesului compus, numindu-l principala „forță motrice a lumii”.

Pentru a înțelege mai bine ce este dobânda compusă, trebuie să mergeți la exemple cu calcule.

Cum se calculează dobânda compusă?

Pentru a calcula:

În formulă, SUM înseamnă suma finală a decontării cu clientul, X este suma investiției, n este numărul de perioade de facturare. Pe grafic puteți vedea ce se înțelege prin creșterea exponențială a sumei:

Pentru depozitele bancare, formula este puțin mai complicată, deoarece este introdus un nou element al ecuației -:

Deci, trebuie să cunoaștem frecvența de capitalizare. Capitalizarea se referă la recalcularea sumei pe care se acumulează dobânda - la suma de bază se adaugă suma acumulată pentru ultima perioadă. Dacă recalcularea are loc lunar, frecvența valorificării (în formula noastră este D) este de 30 de zile, dacă trimestrial este de 90 de zile.

Indicatorii necunoscuți rămași în formula de calcul a dobânzii compuse bancare sunt Y - numărul de zile dintr-un an (365 sau 366) și P - rata dobânzii. Întregul bloc de valori după unitatea de sub paranteză este numit rata dobânzii.

Luați în considerare un exemplu:

Citizen I investește 100.000 de ruble la 15% pe an cu o capitalizare lunară. Cât va putea câștiga în 8 ani?

A) cu dobanda simpla?

B) cu dobândă compusă?

Deci, calculăm mai întâi procentul simplu. 15% din 100.000 de ruble sunt 15.000 de ruble. Dacă 15 mii de ruble sunt înmulțite cu 8, atunci obțineți un profit dintr-un depozit de 120 de mii de ruble. Astfel, după 8 ani, cetățeanul I va putea retrage 220 de mii de ruble.

Pentru a calcula dobânda compusă, înlocuim datele din formula:

Rezultatul calculelor ar trebui să fie o surpriză neplăcută - profitul va fi același de 120 de mii de ruble. Atunci să încercăm să calculăm suma pentru capitalizarea anuală, și nu pentru lunar:

Vom obține un rezultat care ne va satisface mult mai mult - 306 mii de profituri. Concluzionăm: cu cât se produce mai rar capitalizarea, cu atât profitul va fi mai mare. Dobânda se calculează anual după cum urmează:

Se poate observa că sub interes compus cresc ca un bulgăre de zăpadă. Cu cât deponentul nu le retrage mai mult timp, cu atât profitul său va fi mai mare de la lună la lună.

Alte formule utile

Alte formule pot fi utile pentru calcularea depozitelor:

1. Rata dobânzii. Formula arată în ce procent trebuie să depuneți fonduri pentru a obține rezultatul dorit.

Cunoaștem toți indicatorii, așa că să încercăm să rezolvăm exemplul imediat:

În ce procent ar trebui pus 10.000 de ruble pentru a primi 80.000 de ruble în 15 ani?

Este clar că trebuie să pui bani la 15% pe an.

1. Numărul de perioade. Formula arată de câte perioade de dobândă aveți nevoie pentru a depune fonduri pentru a obține rezultatul dorit:

Din nou, încercăm să rezolvăm un exemplu:

Cât timp durează să depui bani la 20% pe an în sumă de 150.000 de mii de ruble pentru a primi 1 milion de ruble?

Finanțarea este necesară pentru 10 ani.

. Baza de calcul a dobânzii compuse, spre deosebire de dobânda simplă, nu rămâne constantă. Noah - crește cu fiecare pas în timp. Suma absolută a dobânzii acumulate crește și procesul creșterea volumului datoriilor se accelerează. Acumularea de dobândă compusă poate fi reprezentată ca un urmăritor noua reinvestire a fondurilor investite sub pro simplecenți pentru o perioadă de acumulare ( perioada de rulare ). A te alaturase numește adesea adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru calculul acestora capitalizarea dobânzii.

Să găsim o formulă pentru calcularea sumei acumulate conform condiției dobânda respectivă se acumulează și se capitalizează o dată aan (dobândă anuală). Pentru aceasta, se aplică devenirea complexă kaextensii. Pentru a scrie formula de creștere, le aplicămaceeași notație ca și în formula de creștere prin pro simplu cenți:

P - valoarea inițială a datoriei (împrumuturi, credit, capital la, etc.),

S - suma acumulată la sfârșitul termenului de împrumut,

P - termenul, numărul de ani de angajare,

i - nivel rata anuala procente depuse de defracție de cent.

Evident, la sfârșitul primului an, dobânda este egală cu valoarea R i , iar suma acumulată va fi K concîn al doilea an va atinge valoarea LA sfârşitul n - al-lea an, suma acumulată va fi este egal cu

(4.1)

Dobânda pentru aceeași perioadă în ansamblu este următoarea:

(4.2)

Unele dintre ele se învață calculând dobânda pe dobândă. Ea este

(4.3)

După cum se arată mai sus, creșterea dobânzii compuse esteeste un proces corespunzător unei progresii geometrice si, al cărui prim termen este egal cu R , iar numitorul este .Ultimul membru al progresiei este egal cu suma acumulată la sfârșit termenul de împrumut.

valoarea numit multiplicator incremental la dobândă compusă. Semnificațiile acestui lucrumultiplicator pentru numere întregi P sunt date în tabele complexe la sută.Acuratețea calculului multiplicatorului în calculele practiceeste determinată de gradul admisibil de rotunjire a acumulatuluisume (până la ultimul ban, rublă etc.).

Timpul de construcție a ratei compuse măsoară de obicei Xia ca AST/ A SF.

După cum puteți vedea, valoarea multiplicatorului de acumulare depinde de doi parametri - iși P. Trebuie remarcat faptul că pentru o lungă perioadă de timpchiar și o mică modificare a ratei afectează în mod semnificativprin valoarea multiplicatorului. La rândul său, un timp foarte lungduce la rezultate înspăimântătoare chiar și cu un micrata dobânzii.

Se obține formula de acumulare a dobânzii compusepentru o rată anuală a dobânzii și un termen măsurat în ani.Cu toate acestea, poate fi aplicat și pentru alte perioade de angajamente.niya. În aceste cazuriiînseamnă rata pentru o perioadă de acumulare (lună, trimestru etc.) și n este numărul de astfel de perioade. Pe exemplu dacă i– rata de jumătate de an, atunci P – numărul de semestre etc.

Formulele (4.1) - (4.3) presupun că dobânda la procenți sunt percepute la aceeași rată ca atunci când se percepe pentru suma principală a datoriei. Vom complica condițiile de calcul al dobânziicamarad Să se calculeze dobânda la datoria principală la rataiși dobânda la dobândă – la rata În acest caz

Seria dintre paranteze drepte reprezintă geometriao progresie cu primul termen egal cu 1 și numitorul. Ca urmare, avem

(4.4)

· Exemplul 4.1

2. Calculul dobânzii în perioadele calendaristice adiacente. Tu Anterior, la calcularea dobânzii, nu s-a luat în considerare locația perioadei de calcul a dobânzii în raport cu perioadele calendaristice. Cu toate acestea, adesea datele de început și de încheiere ale împrumutului sunt în două perioade. Este clar că acumulate pe întregul termen, dobânda nu poate fi atribuită doar ultimuluimenstruația lui. În contabilitate, fiscalitate,În sfârșit, în analiza activității financiare a întreprinderii Nu există nicio problemă de distribuire a dobânzii acumulate pe perioade.

Durata totală a împrumutului este împărțită în două perioaden 1 și n 2 . Respectiv,

Unde

· Exemplul 4.2

3. Tarife variabile. Formula presupune o constantărata pe toată perioada dobânzii. Instabilitate piata monetara forțează să modernizeze schema „clasică”, de exemplu, folosind pareri rate variabile ( plutitoare rată). Desigur, calcululpentru viitor la astfel de rate este foarte condiționat. Alt lucru -calcul post factum. În acest caz, și de asemenea cândmărimile pariurilor sunt fixate în contract, multiplicatorul total Agentul de extensie este definit ca produsul coeficientilor, i.e.

(4.5)

unde - valori consecutive ale ratelor; - perioadele în care corespunzătoare ratele.

· Exemplul 4.3

4. Calculul dobânzii pentru un număr fracționar de ani. Adesea, timpul în th dax pentru calculul dobânzii nu este un număr întreg. În regulile unui număr de bănci comerciale pentru unele operațiuni dobânda se percepe numai pentru un număr întreg de ani sau alte perioade de acumulare. Partea fracțională a perioadei este eliminată. În cele mai multe cazuri, se ia în considerare întregul termen. în carese folosesc două metode. Conform primei, să-i spunem general, calculul se efectuează după formula:

(4.6)

Al doilea, sm nebun,metoda presupune calcularea dobânzii pe ansamblunumărul de ani folosind formula dobânzii compuse și pentru partea fracționată termen folosind formula dobânzii simple:

,(4.7)

Unde - termenul de împrumut, A este un număr întreg de ani,b - parte fracțională a anului.

O metodă similară se aplică în cazurile în careacumularea la domiciliu este semestrial, trimestrial sau lunar.

Atunci când alegeți o metodă de calcul, trebuie avut în vedere faptul că multerezidentul creșterii conform metodei mixte se dovedește a fi ceva mai mare decât conform metodei generale, deoarece pentru P < 1 este corectin relatie

Se observă cea mai mare diferență dat la b = 1/2.

· Exemplul 4.4

5. Comparația creșterii în interes compus și simplu. Lăsați baza de timp pentru acumulare să fie aceeași, nivelul ratele dobânzilor potriviri, atunci:

1) pentru o perioadă mai mică de un an, dobânda simplă este mai mare decât dobânda compusă

2) de mai bine de un an

3) pe o perioadă de 1 an, multiplicatorii de angajamente sunt egali între ei

Folosind factorul simplu de acumulare a dobânzii compuse, puteți determina timpul necesar pentru a crește suma inițială în n o singura data. Pentru aceasta, este necesar ca coeficienții de creștere să fie egali cu valoarea n:

1) pentru dobândă simplă

2) pentru dobândă compusă

Formulele de dublare a capitalului sunt: