Agar populyatsiyaning o'sishi individlar soniga mutanosib bo'lsa, populyatsiya soni eksponent tarzda o'sib boradi.

"Eksponensial o'sish" iborasi bizning lug'atimizga tez, odatda boshqarilmaydigan, o'sish degan ma'noni anglatadi. Ko'pincha, masalan, shaharlarning tez o'sishi yoki aholi sonining ko'payishini tasvirlash uchun ishlatiladi. Biroq, matematikada bu atama aniq ma'noga ega va o'sishning ma'lum bir turini bildiradi.

Eksponensial o'sish aholi sonining ko'payishi (tug'ilganlar soni minus o'lganlar soni) populyatsiyadagi individlar soniga mutanosib bo'lgan populyatsiyalarda sodir bo'ladi. Masalan, odam populyatsiyasi uchun tug'ilish koeffitsienti reproduktiv juftliklar soniga, o'lim darajasi esa populyatsiyadagi odamlar soniga taxminan proportsionaldir (uni N deb ataymiz). Keyin, oqilona taxmin qilish uchun,

aholining o'sishi = tug'ilganlar soni - o'lganlar soni

(Bu erda r proportsionallik koeffitsienti deb ataladi, bu bizga mutanosiblik ifodasini tenglama sifatida yozish imkonini beradi.)

dt vaqt ichida populyatsiyaga qo'shilgan individlar soni dN bo'lsin, u holda populyatsiyada jami N ta individ bo'lsa, eksponensial o'sish shartlari qondiriladi, agar

Isaak Nyuton 17-asrda differensial hisobni ixtiro qilganligi sababli, biz bu tenglamani har qanday vaqtda populyatsiyaning kattaligi bo'lgan N uchun qanday echishni bilamiz. (Ma’lumot uchun: bunday tenglama differentsial deb ataladi.) Mana uning yechimi:

bu erda N 0 - ortga hisoblash boshlanishidagi populyatsiyadagi individlar soni, t esa shu daqiqadan boshlab o'tgan vaqt. E belgisi ushbu maxsus raqamni bildiradi, u natural logarifmning asosi deb ataladi (va taxminan 2,7 ga teng) va tenglamaning butun o'ng tomoni eksponensial funktsiya deb ataladi.

Eksponensial o'sish nima ekanligini yaxshiroq tushunish uchun dastlab bitta bakteriyadan iborat populyatsiyani tasavvur qiling. Muayyan vaqtdan so'ng (bir necha soat yoki daqiqa) bakteriya ikkiga bo'linadi va shu bilan populyatsiya sonini ikki baravar oshiradi. Keyingi vaqtdan so'ng, bu ikki bakteriyaning har biri yana ikkiga bo'linadi va populyatsiya soni yana ikki baravar ko'payadi - endi to'rtta bakteriya bo'ladi. O'nta bunday ikkilanishdan keyin mingdan ortiq bakteriya bo'ladi, yigirmadan keyin - milliondan ortiq va hokazo. Agar aholi har bir bo'linishda ikki baravar ko'paysa, uning o'sishi cheksiz davom etadi.

Shaxmatni ixtiro qilgan odam o'z sultoniga shu qadar zavq bag'ishlaganki, u uning har qanday iltimosini bajarishga va'da bergani haqida afsonalar mavjud (ehtimol haqiqat emas). U kishi Sultondan shaxmat taxtasining birinchi kvadratiga bir dona bug‘doy, ikkinchisiga ikkita, uchinchisiga to‘rt dona va hokazo bug‘doy qo‘yishni so‘radi. Sulton bu talabni o'zi ko'rsatgan xizmatga nisbatan ahamiyatsiz deb hisoblab, o'z sub'ektidan boshqa iltimos bilan chiqishni so'radi, lekin u rad etdi. Tabiiyki, 64-yilga kelib, donlar soni shu darajada bo'ldiki, butun dunyoda bu talabni qondirish uchun bug'doy yetishmaydi. Menga ma'lum bo'lgan afsonaning versiyasida Sulton o'sha paytda ixtirochining boshini kesib tashlashni buyurdi. Talabalarimga aytganimdek, axloq: ba'zida juda aqlli bo'lmaslik kerak!

Shaxmat taxtasi misoli (shuningdek, xayoliy bakteriyalar) bizga hech qanday populyatsiya abadiy o'sishi mumkin emasligini ko'rsatadi. Ertami-kechmi uning resurslari tugaydi - bo'sh joy, energiya, suv va boshqalar. Shuning uchun populyatsiyalar faqat bir muncha vaqt eksponent ravishda o'sishi mumkin va ertami-kechmi ularning o'sishi sekinlashishi kerak. Buning uchun biz tenglamani shunday o'zgartirishimiz kerakki, aholi soni maksimal mumkin bo'lgan darajaga yaqinlashganda (qo'llab-quvvatlanishi mumkin) tashqi muhit) o'sish sur'ati sekinlashdi. Keling, bu maksimal populyatsiya hajmini K deb ataymiz. Keyin o'zgartirilgan tenglama quyidagicha ko'rinadi:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Agar N K dan ancha kichik bo'lsa, N/K terminini e'tiborsiz qoldirish mumkin va biz oddiy eksponensial o'sishning dastlabki tenglamasiga qaytamiz. Biroq, N maksimal qiymati K ga yaqinlashganda, 1 - (N/K) qiymati nolga intiladi va shunga mos ravishda aholi o'sishi nolga intiladi. Bu holatda umumiy aholi soni barqarorlashadi va K darajasida qoladi. Ushbu tenglama bilan tasvirlangan egri chiziq, shuningdek, tenglamaning o'zi bir nechta nomga ega - S-egri, logistik tenglama, Volterra tenglamasi, Lotka-Volterra tenglamasi. (Vito Volterra (1860–1940) taniqli italyan matematiki va oʻqituvchisi; Alfred Lotka (1880–1949) amerikalik matematik va sugʻurta boʻyicha tahlilchi boʻlgan.) Nima deb nomlanishidan qatʼi nazar, bu aholi sonining oʻsib borayotganining juda oddiy ifodasidir. keskin eksponent va keyin ma'lum chegaraga yaqinlashganda sekinlashadi. Va u haqiqiy populyatsiyalarning o'sishini odatdagi eksponensial funktsiyadan ancha yaxshi aks ettiradi.

Eksponensial o'sish- miqdorning o'sishi, o'sish sur'ati miqdorning o'zi qiymatiga mutanosib bo'lganda. Yuborish eksponensial qonun. Eksponensial o'sish sekinroq (etarlicha uzoq vaqt davomida) chiziqli yoki kuch qonuniga bog'liqlikdan farq qiladi. Teng intervalli diskret ta'rif sohasi bo'lsa, u geometrik o'sish yoki geometrik yemirilish deb ham ataladi (funktsiyaning qiymatlari geometrik progressiyani hosil qiladi). Eksponensial o'sish modeli Maltusian o'sish modeli sifatida ham tanilgan.

Xususiyatlari

Har qanday eksponensial o'sib borayotgan miqdor uchun u qanchalik katta qiymatga ega bo'lsa, u tezroq o'sadi. Bu shuningdek, qaram o'zgaruvchining kattaligi va uning o'sish sur'ati to'g'ridan-to'g'ri proportsional ekanligini anglatadi. Ammo shu bilan birga, giperbolik egri chiziqdan farqli o'laroq, eksponensial egri chiziq hech qachon chekli vaqt oralig'ida cheksizlikka bormaydi.

Eksponensial o'sish oxir-oqibat har qanday kuch qonunidan va bundan tashqari, har qanday chiziqli o'sishdan tezroq bo'ladi.

Matematik belgilar

Eksponensial o'sish differensial tenglama bilan tavsiflanadi:

$\backslash frac(dx)(dt)\; =\; kx$

Ushbu differensial tenglamaning yechimi eksponensialdir:

$x\; =\; ae^(kt)$

Misollar

Eksponensial o'sishga misol sifatida resurs cheklanishidan oldin koloniyadagi bakteriyalar sonining ko'payishi bo'lishi mumkin. Eksponensial o'sishning yana bir misoli murakkab foizdir.

Shuningdek qarang

"Eksponensial o'sish" maqolasi haqida sharh yozing

Havolalar

Eksponensial o'sishni tavsiflovchi parcha

U kech uyg'ondi. Uyg'onish paytida yuzaga keladigan samimiylik, otasining kasalligi paytida uni eng ko'p band qilganini aniq ko'rsatdi. U uyg'onib, eshik ortida nima borligini tingladi va uning ingrashini eshitib, hali ham shunday deb o'ziga o'zi aytdi.
- Nega bunday bo'lishi kerak? Men nimani xohlardim? Men uning o'lishini xohlayman! – o‘zidan nafrat bilan qichqirdi u.
U kiyindi, yuvindi, namoz o'qib, ayvonga chiqdi. Ayvonga otsiz aravalar olib kelindi, ular ichiga narsalar solingan.
Ertalab issiq va kulrang edi. Malika Marya ayvonda to'xtadi, uning ruhiy jirkanchligidan dahshatga tushishdan to'xtamadi va unga kirishdan oldin o'z fikrlarini tartibga solishga harakat qildi.
Doktor zinadan tushib, unga yaqinlashdi.
"U bugun o'zini yaxshi his qilmoqda", dedi shifokor. - Men seni qidirayotgandim. Uning gaplaridan yangiroq bosh bilan nimanidir tushunishingiz mumkin. Qani ketdik. U sizni chaqirmoqda ...
Bu xabarni eshitgan malika Maryaning yuragi shu qadar qattiq urdiki, rangi oqarib, yiqilib tushmaslik uchun eshikka suyandi. Uni ko'rish, u bilan gaplashish, uning nigohi ostiga tushish, malika Maryaning butun qalbi bu dahshatli jinoiy vasvasalarga to'lib-toshgan paytda, juda quvonchli va dahshatli edi.
— Ketdik, — dedi shifokor.
Malika Marya otasining ichiga kirib, karavotga yotdi. U chalqancha yotardi, kichkina, suyakli qo‘llari ko‘rpachada nilufar tugun tomirlari bilan qoplangan, chap ko‘zi tik tikilib, o‘ng ko‘zi qisilgan, qoshlari va lablari qimirlamay qolgan edi. U juda ozg'in, kichkina va achinarli edi. Uning yuzi qichishgan yoki erib ketganday tuyuldi, uning yuzi qiyshayib ketdi. Malika Marya kelib, uning qo'lini o'pdi. Chap qo'li uning qo'lini shunday qisib qo'ydiki, uni anchadan beri kutgani ma'lum bo'ldi. U qo‘lini siltab qo‘ydi, qoshlari va lablari jahl bilan qimirladi.
U qo'rquv bilan unga qaradi va undan nima istayotganini taxmin qilishga urindi. U o‘z o‘rnini o‘zgartirib, chap ko‘zi uning yuzini ko‘rishi uchun harakat qilganida, u bir necha soniya undan ko‘zini uzmay, tinchlandi. Keyin uning lablari va tili qimirladi, tovushlar eshitildi va u gapira boshladi, qo'rqoq va iltijo bilan unga qarab, uni tushunmasligidan qo'rqib ketdi.
Mavzular: Qishki shinalar.
Mintaqa: Ukraina.
Marja: 13%. Rag'batlantirish davri: 1.09 - 31.12 2012 va 1.09 - 31.12 2013.
Sarflash: 42 389 UAH va 131 341 UAH. (shu jumladan agentlik to'lovlari).

Ma'lumoti bo'yicha matematik bo'lmasam-da, bu fanga ishtiyoqim bor, shuning uchun maqolada bir qarashda, murakkab matematik atamalardan foydalaniladi.

Ushbu maqolaning maqsadi bitta qiziq hodisa haqida gapirishdir: reklama byudjetingizni ikki baravar oshirish orqali siz ikki barobar ko'p emas, balki 2,5, 3 va hokazolarni olishni boshlaysiz. marta ko'proq. Albatta, ma'lum bir nuqtaga qadar. Matematikada bu hodisa eksponensial o'sish deb ataladi. Eksponensial o'sishga misol sifatida resurs cheklanishidan oldin koloniyadagi bakteriyalar sonining ko'payishi bo'lishi mumkin.

Murakkab foizlarga duch kelganlar, masalan, depozitlar bo'yicha daromadlarni hisoblashda, biz nima haqida gapirayotganimizni darhol tushunadilar, chunki murakkab foiz - bu eksponensial o'sishning yana bir misolidir. Agar siz omonatdan to'plangan mablag'larni olmasangiz, daromadning o'sishi chiziqli emas, balki eksponent tarzda sodir bo'ladi. Savdo daromadlarining o'sishi bilan ham xuddi shunday: reklama byudjeti oshgani sayin, daromadlar eksponent ravishda o'sadi. Ushbu maqola doirasida men yana bir hodisani tasvirlamoqchiman. Aynan shu hodisa tufayli kontekstli reklama bo'limi endi bunday deb nomlanmaydi, balki pullik trafik bo'limi deb ataladi. Bu haqida sinergiya ta'siri haqida.

Sinerji ta'siri qanday? Keling, ideal vaziyatni tasavvur qilaylik: onlayn-do'kon bor, uni targ'ib qilish uchun birinchi oyda faqat kontekstli reklama ishlatilgan, bu 20 ta sotuvni keltirgan, ikkinchi oyda esa faqat SEO reklamasi ishlatilgan, bu ham 20 ta savdoni keltirgan. Uchinchi oyda ham kontekstli reklama, ham SEO qo'llanildi - bu oxir-oqibatda 40 ta emas, balki 50 ta savdoni berdi. Bu sinergiya effekti: ikki yoki undan ortiq omillarning o'zaro ta'siri bu omillarning har biridan kattaroq natijalarni ko'rsatadigan vaziyat. alohida ishlab chiqarishi mumkin edi.

Ikki yoki undan ortiq reklama kanallaridan bir vaqtning o'zida foydalanish orqali biz ko'proq daromad olamiz. Sinerji effekti haqida bilgan holda, bizning Internet-marketologlarimiz reklama kanallarining maksimal sonidan foydalanishga intilishadi. Biz ushbu kichik hiylaga e'tibor berishni tavsiya qilamiz :) Endi davom etamiz aniq misol, bu yuqorida aytilganlarning barchasini ko'rsatadi - shinalar mavzusidagi "pullik trafik" xizmati bo'yicha ish.

Men darhol Google Analytics-dan yangi skrinshotni ilova qilaman, chunki o'quvchilar ularni juda yaxshi ko'rishlarini bilaman:

Bu ish loyiha ustidagi ishlarning keyingi natijalarini aks ettiradi, men o'tgan yili e'lon qilgan ishi. Keling, bu ikki yilni taqqoslaylik. Avvalo, keling, har bir mavsumning xarajatlarini taqqoslaylik - 2012 va 2013 (mavsum deganda men 1 sentyabrdan 31 dekabrgacha bo'lgan davrni nazarda tutaman):

• narx agregatorlarida reklama;
• kontekstli reklama.

2012 yilgi mavsumda reklama Google Ads-da qo'llanildi va ikkita narx ro'yxatida joylashtirildi: Yandex.Market va Hotline.ua. 2013 yilning xuddi shunday mavsumida Google Ads, Yandex.Direct va 10 ta narx agregatorlarida reklama allaqachon ishlatilgan. Qo'shimcha reklama kanallaridan foydalanish xarajatlarni deyarli 310% ga oshirdi. Keling, reklama xarajatlarining 310% ga oshishi bilan loyiha daromadi qanday oshganini ko'rib chiqaylik:

Shunday qilib, biz reklama xarajatlarini 310% ga oshirish orqali mijozning daromadini 310% ga emas, balki 573% ga oshirganimizni ko'ramiz. Ajoyib, shunday emasmi?! Ya'ni, xarajatlar bilan solishtirganda daromadning o'sishi chiziqli emas, balki eksponensial tarzda sodir bo'ladi.

Bunday natijani olishda, albatta, sinergiya ta'siri bor edi.

Keling, yalpi foydaning o'sishini ko'rib chiqaylik:

Keling, tranzaktsiyalar soni qanday oshganini ham ko'rsatamiz:

Ushbu skrinshot bizga o'rtacha chek bilan vaziyat haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. Agar daromad 573% ga va sotuvlar soni 557% ga oshgan bo'lsa, unda o'rtacha chek biroz oshgani aniq bo'ladi.

Google Analytics-dan olingan daromadlar, xarajatlar va marjalar to'g'risidagi ma'lumotlarga ega bo'lgan holda, keling, eng muhim ishlash ko'rsatkichini - ROMI (marketing investitsiyalari daromadi) ni quyidagi formuladan foydalanib hisoblaylik:

ROMI = ((Daromad × Marja) - Mijoz xarajatlari) / Mijoz xarajatlari

Shunday qilib, keling, ikki mavsumdagi ROMI natijalarini taqqoslaylik:

Shuni ta'kidlash kerakki, ROMI-ni hisoblashda biz faqat Google Analytics ko'rsatadigan daromadni hisobga oldik, ya'ni biz telefon orqali amalga oshirilgan savdolarning yana 80 foizini hisobga olmadik, ya'ni biz faqat hisobga oldik. Mijoz olingan daromadning 20% ​​- bu faqat 5-qism.

Telefon buyurtmalarining 80 foizini hisobga olgan holda ROMI-ni hisoblaganimizda juda qiziq holat yuzaga keladi. Buning uchun daromadimizni 5 ga ko'paytiramiz va keyin odatdagidek hisoblaymiz:

Haqiqatga yaqinroq bo'lgan daromadga asoslangan ROMI o'sishi yanada jozibali ko'rinadi. Biroq, nuqta nafaqat ROMIda, balki ichida haqiqiy o'sish aylanma: sezilarli darajada ko'proq mijozlar -> sezilarli darajada ko'proq savdo.

Endi yana bir bor 2013 yilgi mavsum natijalari

Mijoz xarajatlari: 131 341 UAH. (shu jumladan agentlik to'lovlari). Marja: 13%. Tranzaktsiyalar soni: 880. Google Analytics daromadi: 1 317 166,2 UAH. Yalpi foyda (shu jumladan telefon buyurtmalari): 856 158 UAH. Yalpi foyda bo'yicha ROMI (shu jumladan telefon orqali buyurtmalar) : 551,86%.

Albatta, olingan natija chegaradan uzoqdir: reklama byudjetini oshirish uchun joy mavjud > mijozning daromadini oshirish uchun joy mavjud. Kelgusi mavsumda biz, albatta, qo'shimcha reklama kanallaridan foydalanamiz (ularning soni, ehtimol, hech qachon tugamaydi).

Yangi mavsumda bo'lishi kerak bo'lgan xususiyatlar qatorida ifTheyCall telefon buyurtmalarini kuzatish vositasidan foydalanish ham bor. Bu Netpeak-ning yangi mahsuloti bo'lib, biz uni 2013 yil sentyabr-dekabr oylarida ishlatishga vaqtimiz yo'q edi. Ushbu vosita sizga har bir reklama kanalining ta'sirini aniqroq baholash, byudjetingizni qayta taqsimlash va yanada samaraliroq bo'lish imkonini beradi.

Natijalarni rasm shaklida ko'rsataman.

Grafikdan ko'rinib turibdiki, zararsizlik nuqtasi quyida keltirilgan. Shu paytgacha reklamaga qilingan sarmoya o'zini oqlamaydi. Misol uchun, agar siz 100 UAH sarflasangiz. 100 marta bosish uchun - bu investitsiyalarni qoplaydigan sotuvni olish ehtimoli deyarli 0 ga teng. Grafikdagi ikkinchi nuqta - optimal nuqta (uni shunday deb ataymiz) - bunda siz maksimal miqdorda pul investitsiya qilganingizda. reklama va olish maksimal daromad. Bu nuqtadan so'ng to'yinganlikka o'tish sodir bo'ladi, ya'ni bozor to'yingan, barcha potentsial xaridorlar reklama bilan qoplangan va reklamaga investitsiyalarning ko'payishi daromadning oshishiga olib kelmaydi. Agar sizning reklama byudjetingiz zarar ko'rish nuqtasidan past bo'lsa, reklamaga ikki baravar ko'p sarmoya kiritib, daromadingiz optimal nuqtaga yetguningizcha eksponent ravishda o'sib borishi mumkin.

• 2 yoki undan ortiq reklama kanallaridan bir vaqtning o'zida foydalanishning sinergiya ta'siri:

Ushbu rasmga qo'shilishi kerak bo'lgan narsa - yangi reklama kanallarini sinab ko'rish :)

Oldingi bo'limda ta'kidlanganidek, har qanday populyatsiya printsipial jihatdan o'z hajmini eksponent ravishda oshirishga qodir va shuning uchun populyatsiyalarning o'sish potentsialini baholash uchun eksponensial modeldan foydalaniladi. Biroq, ba'zi hollarda, eksponensial model haqiqatda kuzatilgan jarayonlarni tavsiflash uchun mos keladi. Shubhasiz, bu etarli darajada uzoq vaqt davomida (avlod davomiyligiga nisbatan) hech narsa populyatsiyaning o'sishini cheklamasa va shunga mos ravishda uning o'ziga xos tezligi ko'rsatkichi ( r) doimiy ijobiy qiymatni saqlaydi.

Masalan, 1937 yilda Protekshi kichik oroliga (AQShning shimoli-g'arbiy sohilida, Vashington shtati yaqinida) 2 erkak va 6 urg'ochi qirg'ovul keltirildi. (Phasanius colchicus torqualus), ilgari orolda uchramagan. O'sha yili qirg'ovullar ko'paya boshladi va 6 yildan keyin 8 ta qush bilan boshlangan populyatsiya allaqachon 1898 boshga etdi. Shakldan quyidagicha. 28 A, hech bo'lmaganda dastlabki 3-4 yil ichida qirg'ovullar sonining ko'payishi eksponensial munosabat (logarifmik ordinatalar shkalasidagi to'g'ri chiziq) bilan yaxshi tasvirlangan. Afsuski, keyinchalik, harbiy harakatlar boshlanganligi sababli, orolda qo'shinlar joylashtirildi, yillik hisoblar to'xtatildi va qirg'ovullarning o'zi asosan yo'q qilindi.

Aholining eksponentsial o'sishining yana bir taniqli holati - halqali kaptar populyatsiyasining ko'payishi (Streptopelia decaocto) 1950-yillarning oxiri va 1960-yillarning boshlarida Britaniya orollarida. (28-rasm, b). Bu o'sish faqat 8 yildan so'ng to'xtadi, barcha mos yashash joylari to'planganidan keyin.

Aholining eksponensial o'sishiga misollar ro'yxatini davom ettirish mumkin. Xususan, bug'ularning soni eksponensial (yoki hech bo'lmaganda eksponensialga yaqin) bir necha marta ko'payadi (Rangifer tarandus) turli orollarga kiritilishida kuzatilgan. Shunday qilib, 1911 yilda Sent-Pol oroliga (Bering dengizidagi Pribilof orollari arxipelagining bir qismi) olib kelingan 25 kishidan (4 erkak va 21 ayol) 1938 yilga kelib aholi soni paydo bo'ldi. 2 ming kishiga yetdi, ammo keyin keskin pasayish kuzatildi va 1950 yilga kelib orolda atigi 8 ta kiyik qoldi. Xuddi shunday rasm Sent-Metyu orolida (Bering dengizida ham joylashgan) kuzatilgan: 1944 yilda orolga kiritilgan 29 shaxslar (5 erkak va 24 ayol) 1957 yilda 1350 kishilik aholini keltirib chiqardi va 1963 yilda. - taxminan 6 ming kishi (bu orolning maydoni 332 km 2 ni tashkil qiladi, bu Sent-Pol orolining maydonidan taxminan uch baravar katta). Keyingi yillarda esa kiyiklar sonining halokatli qisqarishi kuzatildi, 1966 yilga kelib ulardan atigi 42 tasi qolgan.Yuqoridagi ikkala holatda ham ularning sonining keskin kamayishiga qishda oziq-ovqat yetishmasligi sabab boʻlgan. deyarli faqat likenlardan iborat.

Laboratoriyada, agar madaniy organizmlar, odatda, ularning rivojlanishini cheklaydigan ortiqcha resurslar bilan ta'minlangan bo'lsa, shuningdek, atrof-muhitning barcha fizik-kimyoviy parametrlarining qiymatini berilgan bardoshlik chegaralarida ushlab turish orqali eksponensial o'sish uchun sharoit yaratish mumkin. turlari. Ko'pincha, eksponent o'sishni ta'minlash uchun organizmlarning metabolik mahsulotlarini olib tashlash (masalan, turli xil suv hayvonlari va o'simliklarini etishtirishda oqim tizimlaridan foydalanish) yoki to'planishning oldini olish uchun yangi tug'ilgan shaxslarni bir-biridan ajratish kerak (bu muhim, chunki masalan, juda murakkab xulq-atvorga ega ko'plab kemiruvchilar va boshqa hayvonlarni etishtirishda). Amalda faqat juda kichik organizmlar (xamirturushlar, oddiylar, bir hujayrali suv o'tlari va boshqalar) uchun eksponensial o'sish egri chizig'ini eksperimental ravishda olish qiyin emas. Katta organizmlarni faqat texnik sabablarga ko'ra ko'p miqdorda etishtirish qiyin. Bundan tashqari, bu juda ko'p vaqtni talab qiladi.

Eksponensial o'sish uchun sharoitlar paydo bo'ladigan vaziyatlar nafaqat orol aholisi uchun, balki tabiatda ham mumkin. Masalan, bahorda mo''tadil kenglikdagi ko'llarda, muz eriganidan so'ng, sirt qatlamlarida plankton suvo'tlari uchun odatda etishmaydigan ko'p miqdordagi biogen elementlar (fosfor, azot, kremniy) mavjud va shuning uchun ajablanarli emas. suv isishidan keyin diatomlar yoki yashil suv o'tlari sonining tez (eksponensialga yaqin) ko'payishi. Barcha etishmayotgan elementlar suv o'tlari hujayralarida bog'langanda yoki populyatsiyalarning ishlab chiqarilishi ularni turli fitofaglar tomonidan iste'mol qilinishi bilan muvozanatlashganda to'xtaydi.

Raqamlarda haqiqatda kuzatilgan eksponensial o'sishning boshqa misollari mavjud bo'lsa-da, ularni juda ko'p deb aytish mumkin emas. Shubhasiz, agar populyatsiya eksponensial qonun bo'yicha ko'paysa, u juda qisqa vaqt ichida sodir bo'ladi, undan keyin pasayish yoki platoga (= statsionar daraja) etib boradi. Aholining eksponensial o'sishini to'xtatish uchun printsipial jihatdan bir nechta variant mavjud. Birinchi variant - juda past qiymatlarga qadar keskin (halokatli) pasayish davrlari bilan sonlarning eksponentsial o'sishi davrlari. Bunday tartibga solish (va populyatsiyani tartibga solish deganda biz populyatsiyaning o'sishini cheklashga olib keladigan har qanday mexanizmlarning ta'sirini tushunamiz) ko'pincha qisqa muddatli organizmlarda bo'ladi. hayot davrasi, asosiy cheklovchi omillarning sezilarli tebranishlari bo'lgan joylarda, masalan, yuqori kengliklarda yashovchi hasharotlar orasida yashash. Bundan tashqari, bunday organizmlarning noqulay fasllardan omon qolishlariga imkon beradigan uyqu bosqichlari bo'lishi kerakligi ham aniq. Ikkinchi variant - eksponent o'sishni keskin to'xtatish va aholini doimiy (=statsionar) darajada ushlab turish, uning atrofida turli xil tebranishlar mumkin. Uchinchi variant - platoga silliq chiqish. Natijada paydo bo'lgan egri chiziqning S-shakli populyatsiya soni ortib borishi bilan uning o'sish sur'ati doimiy bo'lib qolmasligini, aksincha pasayishini ko'rsatadi. Populyatsiyalarning S shaklidagi o'sishi laboratoriya tajribalarida ham, turlar yangi yashash joylariga kiritilganda ham tez-tez kuzatiladi.

Eksponensial o'sish

Eksponensial o'sish- miqdorning o'sishi, o'sish sur'ati miqdorning o'zi qiymatiga mutanosib bo'lganda. Ularning aytishicha, bunday o'sish bo'ysunadi eksponensial qonun. Eksponensial o'sish sekinroq (etarlicha uzoq vaqt davomida) chiziqli, quvvat yoki geometrik bog'liqliklardan farq qiladi.

Xususiyatlari

Har qanday eksponent ravishda o'sib borayotgan miqdor uchun u qanchalik katta qiymatga ega bo'lsa, u tezroq o'sadi. Bu shuningdek, qaram o'zgaruvchining kattaligi va uning o'sish sur'ati to'g'ridan-to'g'ri proportsional ekanligini anglatadi. Ammo shu bilan birga, giperbolik egri chiziqdan farqli o'laroq, eksponensial egri chiziq hech qachon chekli vaqt oralig'ida cheksizlikka bormaydi.

Eksponensial o'sish oxir-oqibat har qanday geometrik progressiyadan, har qanday kuch progressiyasidan va hatto har qanday chiziqli o'sishdan ham tezroq bo'ladi.

Matematik belgilar

Eksponensial o'sish differensial tenglama bilan tavsiflanadi:

Ushbu differensial tenglamaning yechimi eksponensialdir:

Misollar

Eksponensial o'sishga misol sifatida resurs cheklanishidan oldin koloniyadagi bakteriyalar sonining ko'payishi bo'lishi mumkin. Eksponensial o'sishning yana bir misoli murakkab foizdir.

Shuningdek qarang

Havolalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "eksponensial o'sish" nima ekanligini ko'ring:

Uning qiymatiga mutanosib tezlikda o'sadigan miqdorning ortishi (geometrik progressiyaning o'sishi). Ular aytadilar: bunday o'sish eksponensial qonunga bo'ysunadi. Bu shuni anglatadiki, har qanday eksponent o'sib borayotgan miqdor uchun ... ... Biznes atamalari lug'ati

eksponentsial o'sish- eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. eksponensial ortib borayotgan vok. Exponentialanstieg, m rus. eksponentsial o'sish, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas

EKSPONENTSIAL O'SISh- nisbatan doimiy sur'atda o'sish... Botanika atamalari lug'ati

Vaqt o'tishi bilan sifatni oshirish jarayoni. Sifatlar jismoniy (masalan, bo'yning o'sishi) va mavhum bo'lishi mumkin (masalan, inson kamoloti, tizimning kengayishi): Hujayra o'sishi yoki ko'payishi Populyatsiyaning o'sishi ... ... Vikipediya

BAYIYLIK- rivojlanayotgan organizm hajmining oshishini bildiradi. Odatdagi hollarda R. tana vaznining ortishi bilan bogʻliq boʻladi, lekin biz tana vaznining har bir oʻsishini R. deb belgilamaymiz (masalan, yogʻning choʻkishi, ayrim hayvonlarda reproduktiv mahsulotlarning toʻplanishi, ... ... Buyuk tibbiy ensiklopediya

Matematikada eksponensial o'sish - bu miqdorning eksponensial o'sishi (geometrik progressiyaning o'sishi) uning qiymatiga mutanosib tezlikda o'sadi. Ularning aytishicha, bunday o'sish eksponensial qonunga bo'ysunadi. Bu... ... Vikipediya

- [algoritmdan!; algorismus, asli lot. ismning transliteratsiyasiga qarang. osiyolik. 9-asr olimi Xorazmiy (Muhammad bin Muso al Xorazmiy)], xatti-harakat (hisoblash) usulini belgilovchi dastur; samarali bo'lishi uchun qoidalar (retseptlar) tizimi ... ... Falsafiy entsiklopediya

Vaqt o'tishi bilan turli darajadagi takrorlanuvchanlikka ega bo'lgan harakatlar yoki jarayonlar. K. barcha tabiat hodisalariga xosdir: yulduzlarning nurlanishi pulsatsiyalanadi va ular ichida tsiklik hodisalar sodir boʻladi. I. reaktsiyalar; Sayyoralar yuqori darajadagi davriylik bilan aylanadi... Jismoniy ensiklopediya

Har qanday Diofant tenglamasidan uning yechimi bor yoki yo'qligini aniqlash algoritmini topish masalasi. Muammoni qo'yishda asosiy narsa har qanday tenglamaga mos keladigan universal usulni topish talabidir (barchasi ma'lum ... ... Matematik entsiklopediya

Uchta chiqishli perseptronning mantiqiy sxemasi Perceptron yoki perceptron (inglizcha perceptron dan ... Vikipediya

Kitoblar

• Dunyoning buyuk ko'llari, V.A. Rumyantsev, V. G. Drabkova, A. V. Izmailova. Aholining eksponensial o'sishi va keyinchalik sanoatning o'sishi va Qishloq xo'jaligi nafaqat chuchuk suv ta'minotining halokatli taqchilligiga, balki ularning yomonlashishiga ham olib keladi...