Kung ang paglaki ng populasyon ay proporsyonal sa bilang ng mga indibidwal, ang laki ng populasyon ay lalago nang husto.

Ang ekspresyong "exponential growth" ay pumasok sa ating leksikon na nangangahulugan ng mabilis, kadalasang hindi makontrol, pagtaas. Madalas itong ginagamit, halimbawa, upang ilarawan ang mabilis na paglaki ng mga lungsod o pagtaas ng populasyon. Gayunpaman, sa matematika ang terminong ito ay may isang tiyak na kahulugan at nagsasaad ng isang tiyak na uri ng paglago.

Ang exponential growth ay nangyayari sa mga populasyon kung saan ang pagtaas ng populasyon (ang bilang ng mga kapanganakan minus ang bilang ng mga namamatay) ay proporsyonal sa bilang ng mga indibidwal sa populasyon. Para sa isang populasyon ng tao, halimbawa, ang rate ng kapanganakan ay halos proporsyonal sa bilang ng mga pares ng reproductive, at ang rate ng pagkamatay ay halos proporsyonal sa bilang ng mga tao sa populasyon (tawagin natin itong N). Pagkatapos, sa isang makatwirang pagtatantya,

paglaki ng populasyon = bilang ng mga ipinanganak - bilang ng mga namamatay

(Narito ang r ay ang tinatawag na proportionality coefficient, na nagpapahintulot sa amin na isulat ang proportionality expression bilang isang equation.)

Hayaang ang dN ay ang bilang ng mga indibidwal na idinagdag sa populasyon sa panahon ng dt, kung gayon kung mayroong kabuuang N indibidwal sa populasyon, kung gayon ang mga kondisyon para sa paglaki ng exponential ay masisiyahan kung

Dahil naimbento ni Isaac Newton ang differential calculus noong ika-17 siglo, alam natin kung paano lutasin ang equation na ito para sa N, ang laki ng populasyon sa anumang oras. (Para sa sanggunian: ang naturang equation ay tinatawag na differential.) Narito ang solusyon nito:

kung saan ang N 0 ay ang bilang ng mga indibidwal sa populasyon sa simula ng countdown, at ang t ay ang oras na lumipas mula sa sandaling ito. Ang simbolo e ay kumakatawan sa espesyal na numerong ito, ito ay tinatawag na base ng natural na logarithm (at humigit-kumulang katumbas ng 2.7), at ang buong kanang bahagi ng equation ay tinatawag na exponential function.

Upang mas maunawaan kung ano ang exponential growth, isipin ang isang populasyon na unang binubuo ng isang bacterium. Pagkatapos ng isang tiyak na oras (ilang oras o minuto), ang bacterium ay nahahati sa dalawa, sa gayon ay nadodoble ang laki ng populasyon. Pagkatapos ng susunod na yugto ng panahon, ang bawat isa sa dalawang bakteryang ito ay muling mahahati sa dalawa, at ang laki ng populasyon ay magdodoble muli - magkakaroon na ngayon ng apat na bakterya. Pagkatapos ng sampung tulad ng pagdodoble magkakaroon ng higit sa isang libong bakterya, pagkatapos ng dalawampu - higit sa isang milyon, at iba pa. Kung dumoble ang populasyon sa bawat dibisyon, magpapatuloy ang paglaki nito nang walang hanggan.

Mayroong isang alamat (malamang na hindi totoo) na ang taong nag-imbento ng chess ay nagbigay ng kasiyahan sa kanyang Sultan na ipinangako niyang tuparin ang alinman sa kanyang mga kahilingan. Hiniling ng lalaki sa Sultan na maglagay ng isang butil ng trigo sa unang parisukat ng chessboard, dalawa sa pangalawa, apat sa pangatlo, at iba pa. Ang Sultan, na isinasaalang-alang ang kahilingan na ito ay hindi gaanong mahalaga kumpara sa serbisyong ibinigay niya, hiniling sa kanyang paksa na magkaroon ng isa pang kahilingan, ngunit tumanggi siya. Naturally, sa pamamagitan ng ika-64 na pagdodoble, ang bilang ng mga butil ay naging tulad na walang sapat na trigo sa buong mundo upang matugunan ang kahilingang ito. Sa bersyon ng alamat na alam ko, ang Sultan sa sandaling iyon ay nag-utos na putulin ang ulo ng imbentor. Ang moral, gaya ng sinasabi ko sa aking mga estudyante, ay: minsan hindi ka dapat maging masyadong matalino!

Ang halimbawa ng chessboard (pati na rin ang haka-haka na bakterya) ay nagpapakita sa atin na walang populasyon ang maaaring lumago magpakailanman. Maaga o huli ay mauubusan na lamang ito ng mga mapagkukunan - espasyo, enerhiya, tubig, anuman. Samakatuwid, ang mga populasyon ay maaari lamang lumaki nang malaki sa ilang sandali, at sa malao't madali ang kanilang paglaki ay dapat bumagal. Upang gawin ito, kailangan nating baguhin ang equation upang kapag ang laki ng populasyon ay lumalapit sa pinakamataas na posible (na maaaring suportahan) panlabas na kapaligiran) bumagal ang rate ng paglago. Tawagan natin itong maximum na laki ng populasyon na K. Pagkatapos ang binagong equation ay magiging ganito:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Kapag ang N ay mas mababa sa K, ang termino ng N/K ay maaaring mapabayaan at bumalik tayo sa orihinal na equation ng ordinaryong exponential growth. Gayunpaman, kapag ang N ay lumalapit sa pinakamataas na halaga nito K, ang halaga 1 - (N/K) ay nagiging zero, at naaayon sa paglaki ng populasyon ay nagiging zero. Ang kabuuang laki ng populasyon sa kasong ito ay nagpapatatag at nananatili sa antas K. Ang kurba na inilarawan ng equation na ito, pati na rin ang equation mismo, ay may ilang mga pangalan - S-curve, logistic equation, Volterra equation, Lotka-Volterra equation. (Vito Volterra (1860–1940) ay isang kilalang Italyano na matematiko at guro; Alfred Lotka (1880–1949) ay isang Amerikanong matematiko at analyst ng seguro.) Anuman ang tawag dito, ito ay isang medyo simpleng pagpapahayag ng laki ng populasyon na lumalaki. nang husto at pagkatapos ay bumagal habang papalapit ito sa isang tiyak na limitasyon. At ito ay sumasalamin sa paglaki ng mga tunay na populasyon na mas mahusay kaysa sa karaniwang exponential function.

Exponential na paglago- isang pagtaas sa isang dami, kapag ang rate ng paglago ay proporsyonal sa halaga ng dami mismo. Nagsusumite batas ng exponential. Ang exponential growth ay ikinukumpara sa mas mabagal (sa loob ng sapat na mahabang yugto ng panahon) na linear o power-law dependencies. Sa kaso ng isang discrete domain ng kahulugan na may pantay na pagitan, ito ay tinatawag ding geometric na paglago o geometric decay (ang mga halaga ng function ay bumubuo ng isang geometric na pag-unlad). Ang exponential growth model ay kilala rin bilang Malthusian growth model.

Ari-arian

Para sa anumang exponentially lumalaking dami, mas malaki ang halaga nito, mas mabilis itong lumaki. Nangangahulugan din ito na ang magnitude ng dependent variable at ang rate ng paglaki nito ay direktang proporsyonal. Ngunit sa parehong oras, hindi tulad ng isang hyperbolic curve, isang exponential curve ay hindi kailanman napupunta sa infinity sa isang may hangganang tagal ng panahon.

Ang exponential growth sa huli ay lumalabas na mas mabilis kaysa sa anumang power-law at, higit pa rito, anumang linear growth.

matematikal na notasyon

Ang exponential growth ay inilalarawan ng differential equation:

$\backslash frac(dx)(dt)\; =\; kx$

Ang solusyon sa differential equation na ito ay exponential:

$x\; =\; ae^(kt)$

Mga halimbawa

Ang isang halimbawa ng exponential growth ay ang pagtaas ng bilang ng bacteria sa isang kolonya bago mangyari ang resource limitation. Ang isa pang halimbawa ng exponential growth ay compound interest.

Tingnan din

Sumulat ng pagsusuri tungkol sa artikulong "Exponential Growth"

Mga link

Isang sipi na nagpapakita ng Exponential Growth

Late siya nagising. Ang sinseridad na nangyayari sa panahon ng paggising ay malinaw na nagpakita sa kanya kung ano ang pinaka-abala sa kanya sa panahon ng pagkakasakit ng kanyang ama. Nagising siya, nakinig sa kung ano ang nasa likod ng pinto, at, narinig ang kanyang pag-ungol, sinabi sa kanyang sarili na may buntong-hininga na ito ay pareho pa rin.
- Bakit kailangang mangyari iyon? Ano ang gusto ko? Gusto ko siyang patayin! naiinis na sigaw niya sa sarili.
Siya ay nagbihis, naglaba, nagbasa ng mga panalangin at lumabas sa balkonahe. Ang mga walang kabayong karwahe ay dinala sa balkonahe, kung saan ang mga bagay ay iniimpake.
Ang umaga ay mainit at kulay abo. Huminto si Prinsesa Marya sa balkonahe, hindi tumitigil sa pagkasindak sa kanyang espirituwal na pagkasuklam at sinusubukang ayusin ang kanyang mga iniisip bago pumasok sa kanya.
Bumaba ang Doctor sa hagdan at nilapitan siya.
"Mabuti na siya ngayon," sabi ng doktor. - Hinahanap kita. May maiintindihan ka sa mga sinasabi niya, mas sariwa ang ulo. Tara na. Tinatawag ka niya...
Napakalakas ng tibok ng puso ni Prinsesa Marya sa balitang ito kaya't namutla siya, napasandal sa pinto upang hindi mahulog. Ang makita siya, ang makipag-usap sa kanya, ang mahulog sa ilalim ng kanyang tingin ngayon, nang ang buong kaluluwa ni Prinsesa Marya ay napuno ng mga kakila-kilabot na mga kriminal na tukso, ay masakit na nagagalak at nakakatakot.
"Halika," sabi ng doktor.
Pumasok si Prinsesa Marya sa kanyang ama at humiga sa kama. Nakahiga siya ng mataas, na ang kanyang maliit at payat na mga kamay ay natatakpan ng lilac na buhol-buhol na mga ugat sa kumot, na ang kanyang kaliwang mata ay nakatitig nang diretso at ang kanyang kanang mata ay duling, na may hindi gumagalaw na mga kilay at labi. Napakapayat niya, maliit at nakakaawa. Ang kanyang mukha ay tila nalanta o natunaw, ang kanyang mga tampok ay naninigas. Lumapit si Prinsesa Marya at hinalikan ang kamay niya. Pinisil ng kaliwang kamay niya ang kamay niya para malinaw na matagal na siyang naghihintay. Hinila niya ang kamay niya, at galit na gumalaw ang mga kilay at labi nito.
Tiningnan niya ito ng may takot, sinusubukang hulaan kung ano ang gusto nito sa kanya. Nang magpalit siya ng posisyon at kumilos para makita ng kaliwang mata ang mukha niya, tumahimik ito, hindi inalis ang tingin sa kanya ng ilang segundo. Pagkatapos ay gumalaw ang kanyang mga labi at dila, narinig ang mga tunog, at nagsimula siyang magsalita, mahiyain at nagsusumamo na nakatingin sa kanya, tila natatakot na hindi siya maintindihan.
Mga paksa: Gulong taglamig.
Rehiyon: Ukraine.
Margin: 13%. Panahon ng promosyon: 1.09 - 31.12 2012 vs 1.09 - 31.12 2013.
Paggastos: 42,389 UAH vs 131,341 UAH. (kabilang ang mga bayarin sa ahensya).

Bagaman hindi ako isang matematiko sa pamamagitan ng pagsasanay, mayroon akong hilig para sa agham na ito, kaya ang artikulo ay gagamit ng ilan, sa unang sulyap, kumplikadong mga termino sa matematika.

Ang layunin ng artikulong ito ay pag-usapan ang tungkol sa isang kakaibang kababalaghan: sa pamamagitan ng pagdodoble ng iyong badyet sa advertising, nagsisimula kang kumita ng hindi dalawang beses, ngunit 2.5, 3, atbp. beses pa. Siyempre, hanggang sa isang tiyak na punto. Ang kababalaghang ito sa matematika ay tinatawag na exponential growth. Ang isang halimbawa ng exponential growth ay ang pagtaas ng bilang ng bacteria sa isang kolonya bago mangyari ang resource limitation.

Sa inyo na nakatagpo ng compound interest, halimbawa, kapag kinakalkula ang kita sa mga deposito, ay agad na mauunawaan kung ano ang pinag-uusapan natin, dahil ang compound interest ay isa lamang halimbawa ng exponential growth. Kung hindi ka mag-withdraw ng mga naipon na pondo mula sa deposito, ang paglago ng kita ay nangyayari hindi linearly, ngunit exponentially. Pareho ito sa paglago ng kita sa mga benta: habang tumataas ang badyet sa advertising, lumalago nang husto ang kita. Sa loob ng balangkas ng artikulong ito, nais kong ilarawan ang isa pang kababalaghan. Ito ay dahil sa hindi pangkaraniwang bagay na ito na ang departamento ng advertising sa konteksto ay hindi na tinatawag na, ngunit tinatawag na ang bayad na departamento ng trapiko. Ito ay tungkol tungkol sa synergy effect.

Ano ang epekto ng synergy? Isipin natin ang isang perpektong sitwasyon: mayroong isang online na tindahan, para sa pag-promote nito sa unang buwan ay ginamit lamang ang advertising sa konteksto, na nagdala ng 20 benta, at sa ikalawang buwan ay ginamit lamang ang promosyon ng SEO, na nagdala din ng 20 na benta. Sa ikatlong buwan, ginamit ang parehong contextual advertising at SEO - na sa huli ay nagbigay ng hindi 40 benta, ngunit 50. Ito ang synergy effect: isang sitwasyon kung saan ang pakikipag-ugnayan ng dalawa o higit pang mga kadahilanan ay nagbibigay ng pagtaas sa mga resulta na mas malaki kaysa sa bawat isa sa mga salik na ito maaaring gumawa ng hiwalay.

Sa pamamagitan ng paggamit ng dalawa o higit pang mga channel ng advertising nang sabay-sabay, nakakakuha kami ng mas malaking kita. Alam mismo ang tungkol sa epekto ng synergy, ang aming mga Internet marketer ay nagsusumikap na gamitin ang maximum na bilang ng mga channel sa advertising. Inirerekomenda naming tandaan ang maliit na trick na ito :) Ngayon ay magpatuloy tayo sa tiyak na halimbawa, na maglalarawan sa lahat ng nasa itaas - isang kaso sa serbisyong "bayad na trapiko" sa paksa ng mga gulong.

Kaagad akong mag-a-attach ng bagong screenshot mula sa Google Analytics, dahil alam kong mahal na mahal sila ng mga mambabasa:

Ang kasong ito ay sumasalamin sa karagdagang mga resulta ng trabaho sa proyekto, ang kaso kung saan nai-post ko noong nakaraang taon. Ihambing natin ang dalawang taon na ito. Upang magsimula, ihambing natin ang mga gastos ng bawat season - 2012 at 2013 (sa panahon ang ibig kong sabihin ay ang panahon mula Setyembre 1 hanggang Disyembre 31):

• advertising sa mga aggregator ng presyo;
• advertising sa konteksto.

Noong 2012 season, ginamit ang advertising sa Google Ads at placement sa dalawang listahan ng presyo: Yandex.Market at Hotline.ua. Sa katulad na season ng 2013, ginamit na ang advertising sa Google Ads, Yandex.Direct at 10 price aggregators. Ang paggamit ng karagdagang mga channel sa advertising ay tumaas ng mga gastos ng halos 310%. Ngayon tingnan natin kung paano tumaas ang kita ng proyekto sa pagtaas ng mga gastos sa advertising ng 310%:

Kaya, nakikita namin na sa pamamagitan ng pagtaas ng mga gastos sa advertising ng 310%, nadagdagan namin ang kita ng kliyente hindi ng 310%, ngunit ng 573%. Kahanga-hanga, hindi ba?! Iyon ay, ang paglago ng kita kumpara sa paggasta ay nangyayari hindi linearly, ngunit exponentially.

Sa pagkuha ng ganoong resulta, siyempre, nagkaroon ng synergy effect.

Tingnan natin ang paglago ng kabuuang kita:

Ilarawan din natin kung paano lumaki ang bilang ng mga transaksyon:

Ang screenshot na ito ay nagbibigay-daan sa amin na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa sitwasyon gamit ang average na pagsusuri. Kung ang kita ay tumaas ng 573% at ang bilang ng mga benta sa pamamagitan ng 557%, pagkatapos ay nagiging malinaw na ang average na tseke ay bahagyang tumaas.

Sa pagkakaroon ng data sa kita mula sa Google Analytics, mga gastos at margin, kalkulahin natin ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng pagganap - ROMI (return on marketing investment) gamit ang sumusunod na formula:

ROMI = ((Kita × Margin) - Paggastos ng Customer) / Paggastos ng Customer

Kaya't ihambing natin ang mga resulta ng ROMI ng dalawang season:

Mahalagang tandaan na kapag kinakalkula ang ROMI, isinasaalang-alang lamang namin ang kita na ipinapakita ng Google Analytics, na nangangahulugang hindi namin isinasaalang-alang ang isa pang 80% ng mga benta na ginawa sa pamamagitan ng telepono, iyon ay, isinasaalang-alang lamang namin. 20% ng kita ng kliyente ang natanggap - ito pa lamang ang ika-5 bahagi.

Lumilitaw ang isang napaka-kagiliw-giliw na sitwasyon kapag kinakalkula namin ang aming ROMI na isinasaalang-alang ang 80% ng mga order sa telepono. Upang gawin ito, i-multiply natin ang ating kita sa 5, at pagkatapos ay bilangin gaya ng dati:

Ang paglago ng ROMI batay sa kita na mas malapit sa katotohanan ay mukhang mas kaakit-akit. Gayunpaman, ang punto ay hindi lamang sa ROMI, ngunit sa tunay na pagtaas turnover: mas maraming kliyente -> mas maraming benta.

Ngayon muli ang mga resulta ng 2013 season

Mga gastos sa kliyente: 131,341 UAH. (kabilang ang mga bayarin sa ahensya). Margin: 13%. Bilang ng mga transaksyon: 880. Kita sa Google Analytics: 1,317,166.2 UAH. Gross profit (kabilang ang mga order sa telepono): 856,158 UAH. ROMI sa pamamagitan ng kabuuang kita (kabilang ang mga order sa pamamagitan ng telepono) : 551,86%.

Siyempre, ang resultang nakuha ay malayo sa limitasyon: may puwang para taasan ang badyet sa advertising > may puwang para lumaki ang kita ng kliyente. Sa susunod na season tiyak na gagamit kami ng mga karagdagang channel sa advertising (malamang na hindi na magtatapos ang kanilang numero).

Kabilang sa mga kailangang-kailangan na feature ng bagong season ay ang paggamit ng phone order tracking tool ifTheyCall. Ito ay isang bagong produkto mula sa Netpeak, na wala kaming oras na gamitin sa panahon ng Setyembre-Disyembre 2013. Ang tool na ito ay magbibigay-daan sa iyo na mas tumpak na masuri ang epekto ng bawat channel ng advertising, muling ipamahagi ang iyong badyet at maging mas epektibo.

Ilalarawan ko ang mga resulta sa anyo ng mga larawan.

Gaya ng nakikita mo mula sa graph, ang break-even point ay nasa ibaba. Hanggang sa puntong ito, ang pamumuhunan sa advertising ay hindi magbabayad. Halimbawa, kung gumastos ka ng 100 UAH. upang makakuha ng 100 pag-click - ang posibilidad na makakuha ng benta na makakabawi sa mga pamumuhunang ito ay halos katumbas ng 0. Ang pangalawang punto sa graph ay ang pinakamabuting punto (tawagin natin ito) - ito ay kapag namuhunan ka ng pinakamataas na halaga ng pera sa advertising at makakuha pinakamataas na kita. Pagkatapos ng puntong ito, mayroong paglipat sa saturation, iyon ay, ang merkado ay puspos, ang lahat ng mga potensyal na mamimili ay sakop ng advertising, at ang pagtaas ng pamumuhunan sa advertising ay hindi na nagreresulta sa pagtaas ng kita. Kung ang iyong badyet sa advertising ay mas mababa sa break-even point, malamang na sa pamamagitan ng pamumuhunan ng dalawang beses na mas malaki sa advertising, ang iyong kita ay lalago nang husto hanggang sa maabot mo ang pinakamabuting punto.

• epekto ng synergy mula sa paggamit ng 2 o higit pang mga channel sa advertising nang sabay-sabay:

Ang natitira pang maidaragdag sa paglalarawang ito ay subukan ang mga bagong channel sa advertising :)

Gaya ng binigyang-diin sa nakaraang seksyon, ang anumang populasyon sa prinsipyo ay may kakayahang palakihin ang laki nito, at ito ang dahilan kung bakit ginagamit ang exponential model upang tantyahin ang potensyal na paglaki ng mga populasyon. Sa ilang mga kaso, gayunpaman, ang exponential model ay lumalabas na angkop para sa paglalarawan ng aktwal na naobserbahang mga proseso. Malinaw, ito ay posible kapag sa loob ng sapat na mahabang panahon (na may kaugnayan sa tagal ng henerasyon) walang naglilimita sa paglaki ng populasyon at, nang naaayon, ang tagapagpahiwatig ng tiyak na rate nito ( r) nagpapanatili ng palaging positibong halaga.

Halimbawa, noong 1937, 2 lalaki at 6 na babaeng pheasants ang dinala sa maliit na isla ng Protekshi (sa hilagang-kanlurang baybayin ng USA malapit sa Washington State). (Phasanius colchicus torqualus), dati ay hindi nakatagpo sa isla. Sa parehong taon, nagsimulang dumami ang mga pheasants, at pagkalipas ng 6 na taon ang populasyon, na nagsimula sa 8 ibon, ay may bilang na 1,898 na indibidwal. Tulad ng sumusunod mula sa Fig. 28 A, para sa hindi bababa sa unang 3-4 na taon, ang pagtaas sa bilang ng mga pheasant ay mahusay na inilarawan ng isang exponential na relasyon (isang tuwid na linya sa isang logarithmic ordinate scale). Sa kasamaang palad, nang maglaon, dahil sa pagsiklab ng labanan, ang mga tropa ay nakatalaga sa isla, huminto ang mga taunang bilang, at ang populasyon ng pheasant mismo ay higit na nalipol.

Ang isa pang kilalang kaso ng exponential population growth ay ang pagtaas sa laki ng populasyon ng ringed dove (Streptopelia decaocto) sa British Isles noong huling bahagi ng 1950s at unang bahagi ng 1960s. (Larawan 28, b). Ang paglago na ito ay huminto lamang pagkatapos ng 8 taon, pagkatapos ng lahat ng angkop na mga tirahan ay naninirahan.

Maaaring ipagpatuloy ang listahan ng mga halimbawa ng exponential population growth. Sa partikular, ilang beses ang exponential (o hindi bababa sa malapit sa exponential) na pagtaas sa bilang ng mga reindeer (Rangifer tarandus) ay naobserbahan sa panahon ng pagpapakilala nito sa iba't ibang isla. Kaya, mula sa 25 indibidwal (4 na lalaki at 21 babae), na dinala noong 1911 sa St. Paul Island (bahagi ng kapuluan ng Pribilof Islands sa Dagat Bering), isang populasyon ang lumitaw na ang laki noong 1938 ay . umabot sa 2 libong indibidwal, ngunit pagkatapos ay sumunod ang isang matalim na pagbaba, at noong 1950 8 usa lamang ang nanatili sa isla. Ang isang katulad na larawan ay naobserbahan sa St. Matthew Island (na matatagpuan din sa Bering Sea): 29 na indibidwal (5 lalaki at 24 na babae) na ipinakilala sa isla noong 1944 ay nagbigay ng populasyon na 1350 indibidwal noong 1957, at noong 1963. - humigit-kumulang 6 na libong indibidwal (ang lugar ng islang ito ay 332 km 2, na humigit-kumulang tatlong beses sa lugar ng St. Paul Island). Sa mga sumunod na taon, gayunpaman, nagkaroon ng malaking pagbaba sa bilang ng mga usa; noong 1966, 42 na lamang sa kanila ang natitira. Sa parehong mga kaso sa itaas, ang dahilan ng matinding pagbaba ng bilang ay ang kakulangan ng pagkain sa taglamig, na binubuo halos eksklusibo ng lichens.

Sa laboratoryo, posible na lumikha ng mga kondisyon para sa paglaki ng exponential kung ang mga nilinang na organismo ay binibigyan ng labis na mga mapagkukunan, na kadalasang naglilimita sa kanilang pag-unlad, at gayundin sa pamamagitan ng pagpapanatili ng halaga ng lahat ng mga parameter ng physicochemical ng kapaligiran sa loob ng mga limitasyon ng pagpapaubaya ng ibinigay. uri ng hayop. Kadalasan, upang mapanatili ang exponential growth, kinakailangan na alisin ang mga metabolic na produkto ng mga organismo (gamit, halimbawa, mga sistema ng daloy kapag naglilinang ng iba't ibang mga hayop at halaman sa tubig) o ihiwalay ang mga nascent na indibidwal mula sa isa't isa upang maiwasan ang pagsisiksikan (ito ay mahalaga, para sa halimbawa, kapag naglilinang ng maraming rodent at iba pang mga hayop na may medyo kumplikadong pag-uugali). Sa pagsasagawa, hindi mahirap mag-eksperimentong makakuha ng exponential growth curve para lamang sa napakaliit na organismo (yeasts, protozoa, unicellular algae, atbp.). Ang mga malalaking organismo ay mahirap linangin sa malalaking dami para sa mga teknikal na kadahilanan. Bilang karagdagan, ito ay tumatagal ng maraming oras.

Ang mga sitwasyon kung saan ang mga kondisyon para sa exponential growth ay posible din sa kalikasan, at hindi lamang para sa mga populasyon ng isla. Halimbawa, sa mga lawa ng mapagtimpi na latitude sa tagsibol, pagkatapos matunaw ang yelo, ang mga layer sa ibabaw ay naglalaman ng isang malaking halaga ng mga biogenic na elemento (phosphorus, nitrogen, silicon) na kadalasang kulang para sa planktonic algae, at samakatuwid ay hindi nakakagulat na kaagad. pagkatapos ng pag-init ng tubig, isang mabilis (malapit sa exponential) na pagtaas sa bilang ng mga diatom o berdeng algae. Ito ay hihinto lamang kapag ang lahat ng mga kulang na elemento ay nakatali sa mga selula ng algae o kapag ang produksyon ng mga populasyon ay balanse sa pamamagitan ng kanilang pagkonsumo ng iba't ibang phytophagous na hayop.

Bagama't may iba pang mga halimbawa ng aktwal na naobserbahang exponential na pagtaas sa mga numero, hindi sila masasabing napakarami. Malinaw, kung ang populasyon ay tumaas ayon sa exponential law, ito ay nangyayari lamang sa napakaikling panahon, na sinusundan ng pagbaba o pag-abot sa isang talampas (= stationary level). Sa prinsipyo, maraming mga opsyon ang posible para sa pagpapahinto ng exponential population growth. Ang unang opsyon ay ang pagpapalit-palit ng mga panahon ng exponential growth sa mga numero na may mga panahon ng matalim (catastrophic) na pagbaba, hanggang sa napakababang halaga. Ang nasabing regulasyon (at sa pamamagitan ng regulasyon ng populasyon ay nangangahulugang ang pagkilos ng anumang mekanismo na humahantong sa limitasyon ng paglaki ng populasyon) ay malamang sa mga organismo na may maikling ikot ng buhay, naninirahan sa mga lugar na may malinaw na pagbabagu-bago sa pangunahing mga salik na naglilimita, halimbawa, sa mga insekto na naninirahan sa matataas na latitude. Malinaw din na ang mga naturang organismo ay dapat na may mga tulog na yugto na nagpapahintulot sa kanila na mabuhay sa hindi kanais-nais na mga panahon. Ang pangalawang opsyon ay ang biglaang ihinto ang exponential growth at panatilihin ang populasyon sa isang pare-pareho (=stationary) na antas, kung saan posible ang iba't ibang pagbabago. Ang ikatlong opsyon ay isang maayos na paglabas sa talampas. Ang nagreresultang S-shape ng curve ay nagpapahiwatig na habang lumalaki ang laki ng populasyon, ang rate ng paglago nito ay hindi nananatiling pare-pareho, ngunit bumababa. Ang hugis-S na paglaki ng mga populasyon ay madalas na sinusunod kapwa sa mga eksperimento sa laboratoryo at kapag ang mga species ay ipinakilala sa mga bagong tirahan.

Exponential na paglago

Exponential na paglago- isang pagtaas sa isang dami, kapag ang rate ng paglago ay proporsyonal sa halaga ng dami mismo. Sinasabi nila na ang gayong paglago ay sumusunod batas ng exponential. Ang exponential growth ay ikinukumpara sa mas mabagal (sa loob ng sapat na mahabang yugto ng panahon) na linear, power o geometric na dependencies.

Ari-arian

Para sa anumang exponentially lumalaking dami, mas malaki ang halaga na kailangan nito, mas mabilis itong lumaki. Nangangahulugan din ito na ang magnitude ng dependent variable at ang rate ng paglaki nito ay direktang proporsyonal. Ngunit sa parehong oras, hindi tulad ng isang hyperbolic curve, isang exponential curve ay hindi kailanman napupunta sa infinity sa isang may hangganang tagal ng panahon.

Ang exponential growth sa huli ay lumalabas na mas mabilis kaysa sa anumang geometric na pag-unlad, kaysa sa anumang pag-unlad ng kapangyarihan, at higit pa kaysa sa anumang linear na paglago.

matematikal na notasyon

Ang exponential growth ay inilalarawan ng differential equation:

Ang solusyon sa differential equation na ito ay exponential:

Mga halimbawa

Ang isang halimbawa ng exponential growth ay ang pagtaas ng bilang ng bacteria sa isang kolonya bago mangyari ang resource limitation. Ang isa pang halimbawa ng exponential growth ay compound interest.

Tingnan din

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010.

Tingnan kung ano ang "Exponential growth" sa iba pang mga diksyunaryo:

Isang pagtaas sa isang dami (pagtaas sa geometric na pag-unlad) na lumalaki sa isang rate na proporsyonal sa halaga nito. Sabi nila: ang ganitong paglago ay sumusunod sa exponential law. Nangangahulugan ito na para sa anumang exponentially lumalaking dami,... ... Diksyunaryo ng mga termino ng negosyo

exponential growth- eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. exponential tumataas vok. Exponentialanstieg, m rus. exponential growth, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas

EXPONENTIAL NA PAGLAGO- paglago sa medyo pare-pareho ang bilis... Diksyunaryo ng mga terminong botanikal

Ang proseso ng pagtaas ng kalidad sa paglipas ng panahon. Ang mga katangian ay maaaring parehong pisikal (halimbawa, paglaki sa taas) at abstract (halimbawa, pagkahinog ng tao, pagpapalawak ng isang sistema): Paglago ng selula, o paglaganap Paglago ng populasyon Paglago ... ... Wikipedia

TAAS- nangangahulugan ng pagtaas sa laki ng umuunlad na organismo. Sa karaniwang mga kaso, ang R. ay nauugnay sa pagtaas ng timbang, ngunit hindi namin itinalaga ang bawat pagtaas sa timbang ng katawan bilang R. (halimbawa, pag-deposito ng taba, akumulasyon ng mga produktong reproduktibo sa ilang mga hayop, ... ... Great Medical Encyclopedia

Ang exponential growth sa matematika ay isang exponential increase sa isang quantity (pagtaas sa geometric progression) na lumalaki sa rate na proporsyonal sa halaga nito. Sinasabi nila na ang naturang paglago ay sumusunod sa exponential law. Ito ay... ... Wikipedia

- [mula sa algorithm!; algorismus, orihinal na Lat. transliterasyon ng pangalan cf. Asyano. Siyentista ng ika-9 na siglo Khorezmi (Muhammad bin Musa al Khorezmi)], isang programa na tumutukoy sa paraan ng pag-uugali (computation); sistema ng mga tuntunin (reseta) para sa epektibong... ... Philosophical Encyclopedia

Mga paggalaw o proseso na may iba't ibang antas ng repeatability sa paglipas ng panahon. K. ay katangian ng lahat ng natural na phenomena: ang radiation ng mga bituin ay pumipintig, at ang mga cyclical na kaganapan ay nangyayari sa loob ng mga ito. ako. mga reaksyon; Ang mga planeta ay umiikot na may mataas na antas ng periodicity... Pisikal na encyclopedia

Ang problema ng paghahanap ng isang algorithm para sa pagkilala mula sa anumang Diophantine equation kung mayroon itong solusyon. Mahalaga sa paglalagay ng problema ay ang pangangailangan upang makahanap ng isang unibersal na pamamaraan, na dapat na angkop para sa anumang equation (lahat ng kilala... ... Mathematical Encyclopedia

Logical circuit ng isang perceptron na may tatlong output Perceptron, o perceptron (English perceptron mula sa ... Wikipedia

Mga libro

• Great Lakes of the World, V.A. Rumyantsev, V. G. Drabkova, A. V. Izmailova. Exponential na paglaki ng populasyon at kasunod na paglaki ng industriya at Agrikultura humahantong hindi lamang sa isang sakuna na kakulangan ng mga suplay ng sariwang tubig, kundi pati na rin sa kanilang pagkasira...