Deci, conform teoremei de reducere a formei pătratice, pentru orice formă pătratică \(A(x,x)\) există o bază canonică \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\)\), deci că pentru orice vector \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k \eta _k ^2. \] Deoarece \(A(x,x)\) are valoare reală, iar modificările noastre de bază includ, de asemenea, numai numere reale, concluzionăm că numerele \(\lambda _k\) sunt reale. Printre aceste numere sunt pozitive, negative și egale cu zero.

Definiție. Se numește numărul \(n_+\) de numere pozitive \(\lambda _k\). indice pozitiv al formei pătratice \(A(x,x)\) , numărul \(n_-\) al numerelor negative \(\lambda _k\) se numește indicele negativ al formei pătratice , se numește numărul \((n_++n_-)\). rangul formei pătratice . Dacă \(n_+=n\), se numește forma pătratică pozitiv .

În general, reducerea unei forme pătratice la o formă diagonală se realizează în mai multe moduri. Se pune întrebarea: numerele \(n_+\), \(n_-\) depind de alegerea unei baze în care forma pătrată este diagonală?

Teorema (Legea inerției formelor pătratice). Indicii pozitivi și negativi ai unei forme pătratice nu depind de modul în care aceasta poate fi redusă la forma canonică.

Să fie două baze canonice, \(\(f\)\), \(\(g\)\), astfel încât orice vector \(x\) să poată fi reprezentat ca: \[ x=\sum_(k= 1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] unde \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= ​​\sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Fie dintre \(\lambda _k\) primul \(p\) pozitiv, restul fie negativ, fie zero, dintre \(\mu_m\) primul \(s\) pozitiv , restul fie negativ, fie zero. Trebuie să demonstrăm că \(p=s\). Rescrie (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] astfel încât toți termenii din ambele părți ale egalității sunt nenegative. Să presupunem că \(p\) și \(s\) nu sunt egale, de exemplu, \(p

Am demonstrat că indicii pozitivi coincid. În mod similar, se poate demonstra că și indicii negativi coincid. h.t.d.

1. Convertiți formele pătratice în suma pătratelor:

a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

§ 4. Legea inerţiei formelor pătratice. Clasificarea formelor pătratice

1. Legea inerției formelor pătratice. Am observat deja (vezi Remarca 2, punctul 1 din secțiunea anterioară) că rangul unei forme pătratice este egal cu numărul de coeficienți canonici nenuli. Astfel, numărul de coeficienți canonici nenuli nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate prin care forma A(x, x) se reduce la formă canonică. De fapt, orice modalitate de reducere a formei A(x, x) la forma canonică nu modifică numărul de coeficienți canonici pozitivi și negativi. Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.
Înainte de a trece la justificarea legii inerției, să facem câteva observații.
Fie forma A(x, x) în baza e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) să fie determinată de matricea A(e) = (a ij ):

unde ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n sunt coordonatele vectorului x din baza e. Să presupunem că această formă este redusă la forma canonică folosind o transformare de coordonate nedegenerată

unde λ 1 , λ 2 ,..., λ k sunt coeficienți canonici diferiti de zero numerotați astfel încât primul q dintre acești coeficienți să fie pozitivi, iar următorii coeficienți să fie negativi:

λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.

Luați în considerare următoarea transformare de coordonate nedegenerată μ i (este ușor de observat că determinantul acestei transformări este diferit de zero):

Ca rezultat al acestei transformări, forma A(x, x) va lua forma

numită forma normală a formei pătratice.
Deci, cu ajutorul unei transformări de coordonate nedegenerate ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n a vectorului x în baza e = (e 1 , e 2 ,..., e n )

(această transformare este produsul transformărilor lui ξ în μ și μ în η prin formulele (7.30)) forma pătratică poate fi redusă la forma normală (7.31).
Să demonstrăm următoarea afirmație.
Teorema 7.5 (legea inerției formelor pătratice). Numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) în forma normală a unei forme pătratice nu depinde de modul în care forma este redusă la această formă.
Dovada. Fie ca forma A(x, x) să fie redusă la forma normală (7.31) cu ajutorul unei transformări de coordonate nedegenerate (7.32) și, cu ajutorul unei alte transformări de coordonate nedegenerate, să fie redusă la forma normală

Evident, pentru a demonstra teorema, este suficient să verificăm validitatea egalității p = q.
Fie p > q. Să verificăm că în acest caz există un vector nenul x astfel încât, în raport cu bazele în care forma A(x, x) are forma (7.31) și (7.33), coordonatele η 1 , η 2, ..., η q și ζ p+1, ..., ζ n din acest vector sunt egale cu zero:

η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)

Deoarece coordonatele η i obtinut prin transformarea nedegenerata (7.32) a coordonatelor ξ 1 , ..., ξ n , si a coordonatelor ζ i- cu ajutorul unei transformări similare nedegenerate a acelorași coordonate ξ 1 , ..., ξ n , atunci relațiile (7.34) pot fi considerate ca un sistem de ecuații liniare omogene față de coordonatele ξ 1 , .. ., ξ n al vectorului dorit x în baza e = ( e 1 , e 2 ,..., e n ) (de exemplu, în formă extinsă, relația η 1 = 0 are, conform (7.32), formează un 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n\u003d 0)- Deoarece р> q, atunci numărul de ecuații omogene (7.34) este mai mic decât n și, prin urmare, sistemul (7.34) are o soluție diferită de zero în raport cu coordonatele ξ 1, ..., ξ n a vectorului dorit x. Prin urmare, dacă p > q, atunci există un vector x diferit de zero pentru care relațiile (7.34) sunt valabile.
Calculați valoarea formei A(x, x) pentru acest vector x. Revenind la relațiile (7.31) și (7.33), obținem

Ultima egalitate poate avea loc numai în cazul η q+1 = ... = η k = 0 și ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Astfel, în anumite baze, toate coordonatele ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ n vectori nenuli x sunt egali cu zero (vezi ultimele egalități și relații (7.34)), i.e. vectorul x este zero. Prin urmare, ipoteza p > q conduce la o contradicție. Prin considerații analoge, ipoteza p< q.
Deci p = q. Teorema a fost demonstrată.
2. Clasificarea formelor pătratice. În punctul 1 al §2 al acestui capitol (vezi Definiția 2) au fost introduse conceptele formelor pătratice definite pozitive, definite negative, variabile cu semn și cvasi-semn definite.
În această subsecțiune, folosind conceptele de indice de inerție, indici pozitivi și negativi de inerție ai pătratului formei, indicăm cum este posibil să aflăm dacă o formă pătratică aparține unuia sau altuia dintre tipurile enumerate mai sus. În acest caz, indicele de inerție al unei forme pătratice este numărul de coeficienți canonici non-zero ai acestei forme (adică rangul său), indicele pozitiv de inerție este numărul de coeficienți canonici pozitivi și indicele negativ de inerție. este numărul de coeficienți canonici negativi. Este clar că suma indicilor de inerție pozitiv și negativ este egală cu indicele de inerție.
Deci, fie indicele de inerție, indicele de inerție pozitiv și negativ al formei pătratice A(x, x), respectiv k, p și q (k = p + q).În paragraful anterior s-a dovedit. că în orice bază canonică f = (f 1 , f 2 , ..., f n) această formă poate fi redusă la următoarea formă normală:

unde η 1 , η 2 , ..., η n sunt coordonatele vectorului x în baza f .
1°. Condiție necesară și suficientă pentru definiția semnului unei forme pătratice. Următoarea afirmație este adevărată.
Pentru ca forma pătratică A(x, x), dată în spațiul liniar n-dimensional L, să fie definită de semn, este necesar și suficient ca fie indicele pozitiv de inerție p, fie indicele negativ de inerție q să fie egală cu dimensiunea n a spațiului L.
În plus, dacă p \u003d n, atunci forma este definită pozitivă, dar dacă q \u003d n, atunci forma este definită negativă.
Dovada. Întrucât cazurile de formă pozitiv-definită și de formă negativ-definită sunt tratate în mod similar, vom demonstra afirmația pentru formele pozitiv-definite.
1) Necesitatea. Fie forma A(x, x) definită pozitiv. Atunci expresia (7.35) ia forma

A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.

Dacă în același timp r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0

forma A(x, x) dispare, iar aceasta contrazice definiția unei forme pătratice definite pozitive. Prin urmare, p = n.
2) Suficiență. Fie p = n. Atunci relația (7.35) are forma А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 . Este clar că A(x, x) ≥ 0, în plus, dacă A = 0, atunci η 1 = η 2 = ... = η n= 0, adică vectorul x este zero. Prin urmare, A(x, x) este o formă definită pozitivă.
Cometariu. Pentru a clarifica problema semnificației unei forme pătratice cu ajutorul criteriului indicat, trebuie să reducem această formă la o formă canonică.
În subsecțiunea următoare, demonstrăm criteriul Sylvester pentru definiția semnului unei forme pătratice, cu ajutorul căruia se poate clarifica problema definiției semnului unei forme date în orice bază fără reducerea la forma canonică.
2°. O condiție necesară și suficientă pentru schimbarea semnului unei forme cuadratice. Să demonstrăm următoarea afirmație.
Pentru ca o formă pătratică să fie alternantă de semne, este necesar și suficient ca atât indicii de inerție pozitivi, cât și cei negativi ai acestei forme să fie nenuli.
Dovada. 1) Necesitatea. Deoarece forma alternantă ia atât valori pozitive, cât și negative, reprezentarea sa G.35) în forma normală trebuie să conțină atât termeni pozitivi, cât și negativi (în caz contrar, această formă ar lua valori fie nenegative, fie nepozitive). Prin urmare, atât indicii de inerție pozitivi, cât și cei negativi sunt diferiti de zero.
2) Suficiență. Fie p ≠ 0 și q ≠ 0. Atunci pentru vectorul x 1 , cu coordonatele η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 avem A(x 1 x 1) > 0, iar pentru vectorul x 2 cu coordonatele η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 avem A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Condiție necesară și suficientă pentru ca o formă pătratică să fie cvasi-semnată. Următoarea afirmație este adevărată.
Pentru ca forma A(x, x) să fie cvasi-definită, este necesar și suficient ca următoarele relații să fie valabile: fie p< n , q = 0, либо р = 0, q < n .
Dovada. Considerăm cazul unei forme cvasidefinite pozitive. Cazul unei forme cvasidefinite negative este considerat în mod similar.
1) Necesitatea. Fie forma A(x, x) pozitiv cvasi-definită. Atunci, evident, q = 0 și p< n (если бы р = n , то форма была бы положительно определенной),
2) Suficiență. Dacă p< n , q = 0, то А(х, х) ≥ 0 и для ненулевого вектора х с координатами η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 avem A(x, x) = 0, i.e. A(x, x) este o formă definită de cvasi-semn pozitiv.
3. Criteriul lui Sylvester (James Joseph Sylvester (1814-1897) - matematician englez) al caracterului-definitiv al unei forme patratice. Fie forma A(x, x) în baza e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) să fie determinată de matricea A(e) = (a ij ):

lăsați-l să plece Δ 1 \u003d a 11, - minore unghiulare și determinant de matrice (а ij ). Următoarea afirmație este adevărată.
Teorema 7.6 (criteriul lui Sylvester). Pentru ca forma pătratică A(x, x) să fie definită pozitiv, este necesar și suficient ca inegalitățile Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 să fie satisfăcute.
Pentru ca forma pătratică să fie definită negativă, este necesar și suficient ca semnele minorelor unghiulare să se alterneze, cu Δ 1< 0.
Dovada. 1) Necesitatea. Să demonstrăm mai întâi că din condiția de semnificație a formei pătratice A(x, x) rezultă că Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n .
Să ne asigurăm că ipoteza Δ k= 0 duce la o contradicție - în această ipoteză, există un vector x diferit de zero pentru care A(x, x) = 0, ceea ce contrazice caracterul definit de semn al formei.
Deci fie Δ k= 0. Se consideră următorul sistem pătrat omogen de ecuații liniare:

Deoarece Δ k este determinantul acestui sistem și Δ k= 0, atunci sistemul are o soluție diferită de zero ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (nu toate ξ i sunt egale cu 0). Înmulțim prima dintre ecuațiile (7.36) cu ξ 1 , a doua cu ξ 2 , ..., ultima cu ξ k și adunăm rapoartele rezultate. Drept urmare, obținem egalitatea , a cărei parte stângă este valoarea formei pătratice A(x, x) pentru un vector nenul x cu coordonate (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Această valoare este egală cu zero, ceea ce contrazice caracterul de semnificație al formei.
Deci, am verificat că Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n . Prin urmare, putem aplica metoda Jacobi de reducere a formei A(x, x) la o sumă de pătrate (vezi Teorema 7.4) și să folosim formulele (7.27) pentru coeficienții canonici λ i. Dacă A(x, x) este o formă definită pozitivă, atunci toți coeficienții canonici sunt pozitivi. Dar apoi din relațiile (7.27) rezultă că Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Dacă A(x, x) este o formă definită negativă, atunci toți coeficienții canonici sunt negativi. Dar apoi din formulele (7.27) rezultă că semnele minorilor unghiulari alternează, cu Δ 1< 0.
2) Suficiență. Fie condițiile impuse minorilor unghiulari Δ iîn formularea teoremei. Deoarece Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n , atunci forma A poate fi redusă la suma pătratelor prin metoda Jacobi (vezi Teorema 7.4), iar coeficienții canonici λ i poate fi găsită prin formulele (7.27). Dacă Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, atunci relațiile (7.27) implică că toate λ i> 0, adică forma A(x, x) este definită pozitiv. Dacă semnele Δ i alternativ și Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Conceptul de formă pătratică. Matrice de formă pătratică. Forma canonică a unei forme pătratice. Metoda Lagrange. Forma normală a unei forme pătratice. Rangul, indicele și semnătura unei forme pătratice. Forma patratică definită pozitivă. Quadrics.

Conceptul de formă pătratică: o funcţie pe un spaţiu vectorial dat de un polinom omogen de gradul doi în coordonatele vectorului.

formă pătratică din n a necunoscutelor se numește suma, fiecare termen fiind fie pătratul uneia dintre aceste necunoscute, fie produsul a două necunoscute diferite.

Matricea pătratică: Matricea se numește matrice de formă pătratică în baza dată. Dacă caracteristica câmpului nu este egală cu 2, putem presupune că matricea formei pătratice este simetrică, adică .

Scrieți o matrice de formă pătratică:

Prin urmare,

În formă vectorială-matrice, forma pătratică este:

Forma canonică a unei forme pătratice: O formă pătratică se numește canonică dacă toate i.e.

Orice formă pătratică poate fi redusă la o formă canonică folosind transformări liniare. În practică, se folosesc de obicei următoarele metode.

Metoda Lagrange : selecția succesivă de pătrate întregi. De exemplu, dacă

Apoi se efectuează o procedură similară cu forma pătratică și așa mai departe. Astfel, dacă, de exemplu, atunci setăm

Forma normală a unei forme pătratice este: O formă pătratică normală este o formă pătratică canonică în care toți coeficienții sunt egali cu +1 sau -1.

Rangul, indicele și semnătura unei forme pătratice: Rangul formei pătratice DAR numit rangul matricei DAR. Rangul unei forme pătratice nu se schimbă în cazul transformărilor nedegenerate ale necunoscutelor.

Numărul de coeficienți negativi se numește indice de formă negativă.

Numărul de termeni pozitivi în forma canonică se numește indice pozitiv de inerție al formei pătratice, numărul de termeni negativi se numește indice negativ. Diferența dintre indici pozitivi și negativi se numește semnătura formei pătratice

Forma patratică definită pozitivă: O formă pătratică reală se numește pozitiv-definit (negativ-definit) dacă pentru orice valori reale ale variabilelor care nu sunt simultan egale cu zero

În acest caz, matricea se mai numește și definit pozitiv (definit negativ).

Clasa formelor pozitiv-definite (negativ-definite) face parte din clasa formelor nenegative (respectiv, nepozitive).

Quads: Quadric - n-hipersuprafaţa dimensională în n Spațiu +1-dimensional, definit ca mulțimea de zerouri a unui polinom de gradul doi. Dacă introduceți coordonatele ( X 1 , X 2 , x n+1 ) (în spațiu euclidian sau afin), ecuația cvadrică generală are forma

Această ecuație poate fi rescrisă mai compact în notație matriceală:

unde x = ( X 1 , X 2 , x n+1) este un vector rând, X T este vectorul transpus, Q este matricea dimensiunilor ( n+1)×( n+1) (se presupune că cel puțin unul dintre elementele sale este diferit de zero), P este un vector rând și R este o constantă. Cel mai adesea, cvadricele sunt considerate peste numere reale sau complexe. Definiția poate fi extinsă la cvadrici în spațiu proiectiv, vezi mai jos.

Mai general, mulțimea de zerouri a unui sistem de ecuații polinomiale este cunoscută ca o varietate algebrică. Astfel, o cvadrică este o varietate algebrică (afină sau proiectivă) de gradul doi și codimensiunea 1.

Transformări plane și spațiale.

Definirea transformării plane. Definiţia mişcare. proprietățile de mișcare. Două tipuri de mișcări: mișcarea de primul fel și mișcarea de al doilea fel. Exemple de mișcare. Exprimarea analitică a mișcării. Clasificarea mișcărilor plane (în funcție de prezența punctelor fixe și a dreptelor invariante). Grup de mișcări ale planului.

Definiția transformării plane: Definiție. Se numește o transformare plană care păstrează distanța dintre puncte circulaţie(sau deplasarea) avionului. Transformarea plană se numește afin, dacă este nevoie de trei puncte situate pe aceeași linie până la trei puncte situate, de asemenea, pe aceeași linie și, în același timp, păstrează relația simplă a celor trei puncte.

Definiția mișcării: Aceasta este o transformare de formă care păstrează distanțele dintre puncte. Dacă două figuri sunt combinate exact între ele prin mișcare, atunci aceste cifre sunt aceleași, egale.

Proprietăți de mișcare: fiecare mișcare de păstrare a orientării a unui plan este fie o translație paralelă, fie o rotație; fiecare mișcare de schimbare a orientării a unui plan este fie o simetrie axială, fie o simetrie de alunecare. Punctele situate pe o linie dreaptă, atunci când se deplasează, trec în puncte situate pe o linie dreaptă, iar ordinea aranjamentului lor reciproc este păstrată. La mișcare, unghiurile dintre semilinii sunt păstrate.

Două tipuri de mișcări: mișcarea de primul fel și mișcarea de al doilea fel: Mișcările de primul fel sunt acele mișcări care păstrează orientarea bazelor unei anumite figuri. Ele pot fi realizate cu mișcări continue.

Mișcările de al doilea fel sunt acele mișcări care schimbă orientarea bazelor spre opus. Ele nu pot fi realizate prin mișcări continue.

Exemple de mișcări de primul fel sunt translația și rotația în jurul unei linii drepte, iar mișcările de al doilea fel sunt simetrii centrale și oglindă.

Compoziția oricărui număr de mișcări de primul fel este o mișcare de primul fel.

Compoziția unui număr par de mișcări de al doilea fel este o mișcare de primul fel, iar compoziția unui număr impar de mișcări de al doilea fel este o mișcare de al 2-lea fel.

Exemple de mișcare:Transfer paralel. Fie a un vector dat. Transferul paralel la vectorul a este maparea planului pe el însuși, în care fiecare punct M este mapat la punctul M 1, astfel încât vectorul MM 1 este egal cu vectorul a.

Translația paralelă este o mișcare deoarece este o mapare a planului pe el însuși, păstrând distanțele. Vizual, această mișcare poate fi reprezentată ca o deplasare a întregului plan în direcția unui vector dat a prin lungimea sa.

Întoarce . Să desemnăm un punct O pe plan ( centru de cotitură) și setați unghiul α ( unghiul de rotatie). Rotația planului în jurul punctului O cu unghiul α este maparea planului pe el însuși, în care fiecare punct M este mapat la punctul M 1, că OM = OM 1 și unghiul MOM 1 este egal cu α. În acest caz, punctul O rămâne la locul său, adică este afișat în sine și toate celelalte puncte se rotesc în jurul punctului O în aceeași direcție - în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic (figura arată o rotație în sens invers acelor de ceasornic).

O viraj este o mișcare deoarece este o mapare a avionului pe sine, care păstrează distanțele.

Exprimarea analitică a mișcării: legătura analitică dintre coordonatele preimaginei și imaginea punctului are forma (1).

Clasificarea mișcărilor plane (în funcție de prezența punctelor fixe și a dreptelor invariante): Definiție:

Un punct dintr-un plan este invariant (fix) dacă, în cadrul unei transformări date, se transformă în sine.

Exemplu: Cu simetria centrală, punctul centrului de simetrie este invariant. La întoarcere, punctul centrului de rotație este invariant. Cu simetria axială, linia este invariantă - axa de simetrie este linia punctelor invariante.

Teoremă: Dacă mișcarea nu are niciun punct invariant, atunci are cel puțin o direcție invariantă.

Exemplu: transfer paralel. Într-adevăr, liniile paralele cu această direcție sunt invariante ca o figură în ansamblu, deși nu constă din puncte invariante.

Teorema: Dacă o rază se mișcă, raza se transpune în sine, atunci această mișcare este fie o transformare identică, fie o simetrie față de linia care conține raza dată.

Prin urmare, în funcție de prezența punctelor sau figurilor invariante, este posibilă clasificarea mișcărilor.

Grupul de mișcare a avionului:În geometrie, grupurile de figuri de autocoincidență joacă un rol important. Dacă - o figură în plan (sau în spațiu), atunci putem considera ansamblul tuturor acelor mișcări ale planului (sau spațiului), în care figura trece în sine.

Acest set este un grup. De exemplu, pentru un triunghi echilateral, grupul de mișcări plane care iau triunghiul în sine este format din 6 elemente: rotații prin unghiuri în jurul unui punct și simetrii în jurul a trei drepte.

Sunt prezentate în fig. 1 cu linii roșii. Elementele grupului de autocoincidență al unui triunghi regulat pot fi specificate în alt mod. Pentru a clarifica acest lucru, să numărăm vârfurile unui triunghi regulat cu numerele 1, 2, 3. poate fi introdus condiționat sub forma uneia dintre aceste paranteze:

unde numerele 1, 2, 3 denotă numerele acelor vârfuri în care trec vârfurile 1, 2, 3 ca urmare a mișcării luate în considerare.

Spații proiective și modelele acestora.

Conceptul de spațiu proiectiv și modelul de spațiu proiectiv. Date de bază ale geometriei proiective. O grămadă de linii centrate în punctul O este un model plan proiectiv. puncte proiective. Planul extins este un model al planului proiectiv. Un spațiu afin tridimensional extins sau euclidian este un model de spațiu proiectiv. Imagini ale figurilor plane și spațiale în design paralel.

Conceptul de spațiu proiectiv și modelul spațiului proiectiv:

Un spațiu proiectiv peste un câmp este un spațiu format din linii (subspații unidimensionale) ale unui spațiu liniar peste un câmp dat. Spațiile drepte se numesc puncte spațiu proiectiv. Această definiție se pretează la generalizare la un organism arbitrar

Dacă are dimensiunea , atunci dimensiunea spațiului proiectiv se numește număr , iar spațiul proiectiv însuși este notat și se numește asociat cu (pentru a indica acest lucru, se adoptă notația).

Se numește trecerea de la un spațiu vectorial de dimensiune la spațiul proiectiv corespunzător proiectivizarea spatii.

Punctele pot fi descrise folosind coordonate omogene.

Date de bază ale geometriei proiective: Geometria proiectivă este o ramură a geometriei care studiază planurile și spațiile proiective. Caracteristica principală a geometriei proiective este principiul dualității, care adaugă o simetrie grațioasă multor modele. Geometria proiectivă poate fi studiată atât din punct de vedere pur geometric, cât și din punct de vedere analitic (folosind coordonate omogene) și salgebric, considerând planul proiectiv ca structură peste un câmp. Adesea, și din punct de vedere istoric, planul proiectiv real este tratat ca plan euclidian cu adăugarea unei „linii la infinit”.

În timp ce proprietățile figurilor cu care se ocupă geometria euclidiană sunt metric(valori specifice ale unghiurilor, segmentelor, ariilor), iar echivalența figurilor este echivalentă cu acestea congruenţă(adică, când figurile pot fi traduse unele în altele prin mișcare, păstrând în același timp proprietățile metrice), există proprietăți mai „profunde” ale figurilor geometrice care sunt păstrate prin transformări de tip mai general decât mișcarea. Geometria proiectivă studiază proprietățile figurilor care sunt invariante în cadrul clasei transformări proiective, precum și aceste transformări în sine.

Geometria proiectivă completează euclidianul oferind soluții frumoase și simple la multe probleme complicate de prezența liniilor paralele. Teoria proiectivă a secțiunilor conice este deosebit de simplă și elegantă.

Există trei abordări principale ale geometriei proiective: axiomatizarea independentă, adăugarea la geometria euclidiană și structura pe un câmp.

Axiomatizarea

Un spațiu proiectiv poate fi definit folosind un set diferit de axiome.

Coxeter oferă următoarele:

1. Există o linie și un punct nu este pe ea.

2. Există cel puțin trei puncte pe fiecare linie.

3. Exact o linie dreaptă poate fi trasată prin două puncte.

4. Dacă A, B, C, și D puncte diferite și ABși CD se intersectează, atunci ACși BD se intersectează.

5. Dacă ABC este un plan, atunci există cel puțin un punct care nu este în plan ABC.

6. Două plane distincte se intersectează în cel puțin două puncte.

7. Trei puncte diagonale ale unui patrulater complet nu sunt coliniare.

8. Dacă sunt trei puncte pe o linie dreaptă X X

Planul proiectiv (fără a treia dimensiune) este definit de axiome oarecum diferite:

1. Exact o linie dreaptă poate fi trasată prin două puncte.

2. Oricare două linii se intersectează.

3. Există patru puncte, dintre care nu există trei coliniare.

4. Trei puncte diagonale ale patrulaterelor complete nu sunt coliniare.

5. Dacă există trei puncte pe o linie dreaptă X sunt invariante sub proiectivitatea lui φ, atunci toate punctele pe X sunt invariante în raport cu φ.

6. Teorema lui Desargues: Dacă două triunghiuri sunt perspectivă printr-un punct, atunci sunt perspectivă printr-o dreaptă.

În prezența unei a treia dimensiuni, teorema lui Desargues poate fi demonstrată fără introducerea punctului și dreptei ideale.

Plan extins - model plan proiectiv:într-un spațiu afin A3, se ia un mănunchi de drepte S(O) centrate într-un punct O și un plan Π care nu trece prin centrul mănunchiului: O 6∈ Π. Un mănunchi de linii într-un spațiu afin este un model al planului proiectiv. Să setăm maparea mulțimii de puncte ale planului Π la setul de linii ale pachetului S (La naiba, roagă-te dacă ai această întrebare, îmi pare rău)

Spațiu afin tridimensional extins sau euclidian - model spațiu proiectiv:

Pentru a face maparea surjectivă, repetăm ​​procesul de extindere formală a planului afin Π la planul proiectiv, Π, completând planul Π cu un set de puncte improprii (M∞) astfel încât: ((M∞)) = P0(O). Deoarece în mapare imaginea inversă a fiecărui plan al mănunchiului de plane S(O) este o dreaptă pe planul d, este evident că mulțimea tuturor punctelor improprie ale planului extins: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), este o dreaptă improprie d∞ a planului extins care este imaginea inversă a planului singular Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Să fim de acord că aici și mai jos vom înțelege ultima egalitate P0(O) = Π0 în sensul egalității de mulțimi de puncte, dar dotate cu structuri diferite. Completând planul afin cu o linie necorespunzătoare, ne-am asigurat că maparea (I.21) devine bijectivă pe mulțimea tuturor punctelor planului extins:

Imagini ale figurilor plate și spațiale în design paralel:

În stereometrie, sunt studiate figurile spațiale, dar în desen sunt descrise ca figuri plate. Cum ar trebui, atunci, o figură spațială să fie reprezentată pe un plan? De obicei, în geometrie, designul paralel este utilizat pentru aceasta. Fie p un avion, l- o linie dreaptă care o intersectează (Fig. 1). Printr-un punct arbitrar A, neaparținând liniei l trageți o linie paralelă cu linia l. Punctul de intersecție al acestei drepte cu planul p se numește proiecția paralelă a punctului A la planul p în direcția dreptei l. Să o notăm A". Dacă punctul A aparține liniei l, apoi proiecția paralelă A faţă de planul p este considerat punctul de intersecţie al dreptei l cu avionul p.

Astfel, fiecare punct A spațiul este mapat la proiecția sa A" pe planul p. Această corespondență se numește proiecție paralelă pe planul p în direcția dreptei l.

Grup de transformări proiective. Aplicație la rezolvarea problemelor.

Conceptul de transformare proiectivă a planului. Exemple de transformări plane proiective. Proprietățile transformărilor proiective. Omologie, proprietăți ale omologiei. Grup de transformări proiective.

Conceptul unei transformări plane proiective: Noţiunea de transformare proiectivă generalizează noţiunea de proiecţie centrală. Dacă realizăm proiecția centrală a planului α pe un plan α 1 , atunci proiecția lui α 1 pe α 2 , α 2 pe α 3 , ... și, în final, un anumit plan α n din nou pe α 1 , atunci compoziția tuturor acestor proiecții este transformarea proiectivă a planului α; un astfel de lanț poate include proiecții paralele.

Exemple de transformări plane proiective: O transformare proiectivă a unui plan augmentat este maparea sa unu-la-unu pe sine, care păstrează coliniaritatea punctelor sau, cu alte cuvinte, imaginea oricărei linii drepte este o linie dreaptă. Orice transformare proiectivă este o compoziție a unui lanț de proiecții centrale și paralele. O transformare afină este un caz special al uneia proiective, în care linia de la infinit intră în sine.

Proprietățile transformărilor proiective:

În cadrul unei transformări proiective, trei puncte care nu sunt pe o linie sunt mapate la trei puncte care nu sunt pe o linie.

Sub o transformare proiectivă, cadrul trece la cadru.

Sub o transformare proiectivă, o linie trece într-o linie dreaptă, un snop merge într-un snop.

Omologie, proprietăți de omologie:

O transformare proiectivă a unui plan care are o linie de puncte invariante și, prin urmare, un creion de linii invariante se numește omologie.

1. O linie care trece prin punctele de omologie necoincidente corespunzătoare este o linie invariantă;

2. Liniile care trec prin punctele de omologie necoincidente corespunzătoare aparțin aceluiași creion, al cărui centru este un punct invariant.

3. Un punct, imaginea lui și centrul omologiei se află pe aceeași linie dreaptă.

Grup de transformări proiective: luați în considerare o mapare proiectivă a planului proiectiv P 2 asupra lui însuși, adică o transformare proiectivă a acestui plan (P 2 ’ = P 2).

Ca și mai înainte, compoziția f a transformărilor proiective f 1 și f 2 ale planului proiectiv P 2 este rezultatul executării succesive a transformărilor f 1 și f 2: f = f 2 °f 1 .

Teorema 1: Mulțimea H a tuturor transformărilor proiective ale planului proiectiv P 2 este un grup sub alcătuirea transformărilor proiective.

Deasupra câmpului K (\displaystyle K)și e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots,e_(n))- baza in L (\displaystyle L).

• O formă pătratică este definită pozitivă dacă și numai dacă toate minorele unghiulare ale matricei sale sunt strict pozitive.
• O formă pătratică este negativă definită dacă și numai dacă semnele tuturor minorelor unghiulare ale matricei sale se alternează, ordinul 1 minor fiind negativ.

O formă biliniară care este polară față de o formă pătratică definită pozitivă satisface toate axiomele produsului scalar.

Vedere canonică

caz real

În cazul când K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(câmpul numerelor reale), pentru orice formă pătratică există o bază în care matricea sa este diagonală, iar forma în sine are vedere canonică(vedere normală):

Unde r (\displaystyle r) este rangul formei pătratice. În cazul unei forme pătratice nedegenerate p + q = n (\displaystyle p+q=n), iar în cazul degeneratului - p+q< n {\displaystyle p+q.

Pentru a reduce o formă pătratică la o formă canonică, se utilizează de obicei metoda Lagrange sau transformările ortogonale ale bazei, iar o formă pătratică dată poate fi redusă la o formă canonică nu într-unul, ci în mai multe moduri.

Număr q (\displaystyle q)(termeni negativi) se numește indicele de inerție forma pătratică dată și numărul p - q (\displaystyle p-q)(diferența dintre numărul de termeni pozitivi și negativi) se numește semnătură formă pătratică. Rețineți că uneori semnătura unei forme pătratice este o pereche (p, q) (\displaystyle (p,q)). Numerele p , q , p - q (\displaystyle p,q,p-q) sunt invarianți ai formei pătratice, i.e. nu depind de metoda reducerii sale la forma canonică ( Legea inerției lui Sylvester).

caz complex

În cazul când K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(câmpul numerelor complexe), pentru orice formă pătratică există o bază în care forma are o formă canonică

Unde r (\displaystyle r) este rangul formei pătratice. Astfel, în cazul complex (spre deosebire de cazul real), forma pătratică are un singur invariant - rangul, iar toate formele nedegenerate au aceeași formă canonică (suma pătratelor).

Se stabilește că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate prin care forma A(X, X) se reduce la forma canonică. De fapt, nici numărul de coeficienți pozitivi și negativi nu se modifică.

Teorema11.3 (legea inerției formelor pătratice). Numărul de coeficienți pozitivi și negativi în forma normală a unei forme pătratice nu depinde de modul în care forma pătratică este redusă la forma normală.

Fie forma pătratică f rang r din n necunoscut X 1 , X 2 , …, X n redus la forma normala in doua moduri, i.e.

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Se poate dovedi că k = l.

Definiția 11.14. Se numește numărul de pătrate pozitive în formă normală la care se reduce forma pătratică reală indice de inerție pozitiv acest formular; numărul de pătrate negative - indice de inerție negativ, iar suma lor este indicele de inerție pătratică sau semnătură forme f.

În cazul în care un p este un indice de inerție pozitiv; q– indice de inerție negativ; k = r = p + q este indicele de inerție.

Clasificarea formelor pătratice

Fie forma pătratică A(X, X) indicele de inerție este k, indicele pozitiv de inerție este p , indicele negativ de inerție este q, apoi k = p + q.

S-a dovedit că în orice bază canonică f = {f 1 , f 2 , …, f n) această formă pătratică A(X, X) poate fi redusă la forma normală A(X, X) = + + … + –
– … – , Unde  1 ,  2 , …,  n coordonate vectoriale X in baza ( f}.

Condiție necesară și suficientă pentru ca o formă pătratică să fie definită de semn

Afirmație11.1. A(X, X) specificat în n V, a fost semn-definit, este necesar și suficient ca fie un indice de inerție pozitiv p, sau un indice negativ de inerție q, a fost egal cu dimensiunea n spaţiu V.

În același timp, dacă p = n, apoi forma pozitiv X ≠ 0 A(X, X) > 0).

Dacă q = n, apoi forma negativ definit (adică pentru orice X ≠ 0 A(X, X) < 0).

O condiție necesară și suficientă pentru schimbarea semnului unei forme cuadratice

Afirmația 11.2. Pentru forma pătratică A(X, X) specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost alternativ(adică există X, y ce A(X, X) > 0 și A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

O condiție necesară și suficientă pentru formele cuadratice cvasi-schimbătoare

Afirmația 11.3. Pentru forma pătratică A(X, X) specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost cvasisemn(adică pentru orice vector X sau A(X, X) ≥ 0 sau A(X, X) ≤ 0 și există un astfel de vector diferit de zero X, ce A(X, X) = 0) este necesar și suficient pentru ca una dintre cele două relații să aibă loc: p < n, q= 0 sau p = 0, q < n.

cometariu. Pentru a aplica aceste trăsături, forma pătratică trebuie redusă la forma canonică. În criteriul 15 al definiției semnului al lui Sylvester, acest lucru nu este necesar.