Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, а t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка-Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Экспоненциальный рост - возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Подчиняется экспоненциальному закону . Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной или степенной зависимостям. В случае дискретной области определения с равными интервалами его ещё называют геометрическим ростом или геометрическим распадом (значения функции образуют геометрическую прогрессию). Экспоненциальная модель роста также известна как мальтузианская модель роста.

Свойства

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растёт. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость её роста прямо пропорциональны . Но при этом, в отличие от гиперболической , экспоненциальная кривая никогда не уходит в бесконечность за конечный промежуток времени.

Экспоненциальный рост в итоге оказывается более быстрым, чем любой степенной и тем более любой линейный рост .

Математическая запись

Экспоненциальный рост описывается дифференциальным уравнением :

$\backslash frac\{dx\}\{dt\}\; =\; kx$

Решение этого дифференциального уравнения - экспонента:

$x\; =\; ae^\{kt\}$

Примеры

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов. Другим примером экспоненциального роста являются сложные проценты .

См. также

Напишите отзыв о статье "Экспоненциальный рост"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Экспоненциальный рост

Она проснулась поздно. Та искренность, которая бывает при пробуждении, показала ей ясно то, что более всего в болезни отца занимало ее. Она проснулась, прислушалась к тому, что было за дверью, и, услыхав его кряхтенье, со вздохом сказала себе, что было все то же.
– Да чему же быть? Чего же я хотела? Я хочу его смерти! – вскрикнула она с отвращением к себе самой.
Она оделась, умылась, прочла молитвы и вышла на крыльцо. К крыльцу поданы были без лошадей экипажи, в которые укладывали вещи.
Утро было теплое и серое. Княжна Марья остановилась на крыльце, не переставая ужасаться перед своей душевной мерзостью и стараясь привести в порядок свои мысли, прежде чем войти к нему.
Доктор сошел с лестницы и подошел к ней.
– Ему получше нынче, – сказал доктор. – Я вас искал. Можно кое что понять из того, что он говорит, голова посвежее. Пойдемте. Он зовет вас…
Сердце княжны Марьи так сильно забилось при этом известии, что она, побледнев, прислонилась к двери, чтобы не упасть. Увидать его, говорить с ним, подпасть под его взгляд теперь, когда вся душа княжны Марьи была переполнена этих страшных преступных искушений, – было мучительно радостно и ужасно.
– Пойдемте, – сказал доктор.
Княжна Марья вошла к отцу и подошла к кровати. Он лежал высоко на спине, с своими маленькими, костлявыми, покрытыми лиловыми узловатыми жилками ручками на одеяле, с уставленным прямо левым глазом и с скосившимся правым глазом, с неподвижными бровями и губами. Он весь был такой худенький, маленький и жалкий. Лицо его, казалось, ссохлось или растаяло, измельчало чертами. Княжна Марья подошла и поцеловала его руку. Левая рука сжала ее руку так, что видно было, что он уже давно ждал ее. Он задергал ее руку, и брови и губы его сердито зашевелились.
Она испуганно глядела на него, стараясь угадать, чего он хотел от нее. Когда она, переменя положение, подвинулась, так что левый глаз видел ее лицо, он успокоился, на несколько секунд не спуская с нее глаза. Потом губы и язык его зашевелились, послышались звуки, и он стал говорить, робко и умоляюще глядя на нее, видимо, боясь, что она не поймет его.
Тематика : зимние шины.
Регион : Украина.
Маржа : 13%. Период продвижения : 1.09 - 31.12 2012 vs 1.09 - 31.12 2013.
Траты : 42 389 грн vs 131 341 грн. (включая оплату за услуги агентства).

Хотя я по образованию вовсе не математик, однако питаю симпатию к этой науке, поэтому в статье будут использоваться некоторые, на первый взгляд, сложные математические термины.

Цель данной статьи рассказать об одном любопытном феномене: увеличивая бюджет на рекламу вдвое, вы начинаете зарабатывать не вдвое больше, а в 2.5, 3 и т.д. раз больше. Конечно, до определенного момента. Этот феномен в математике называется экспоненциальным ростом. Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.

Тем из вас, кто сталкивался со сложным процентом, например, при расчете дохода по депозитам, сразу станет понятно о чем речь, так как сложный процент — как раз еще один пример экспоненциального роста. Если не снимать накопленные средства с депозита, то рост дохода происходит не линейно, а экспоненциально. Так же и с ростом дохода от продаж: при увеличении бюджета на рекламу доход растет экспоненциально. В рамках этой статьи хочется проиллюстрировать еще один феномен. Именно из-за этого феномена отдел контекстной рекламы более не именуется так, а называется отделом платного трафика. Речь идет об эффекте синергии.

Что же такое эффект синергии? Представим себе идеальную ситуацию: есть интернет-магазин, для его продвижения в первый месяц использовалась только контекстная реклама, которая принесла 20 продаж, а во второй месяц использовалось только SEO-продвижение, которое дало также 20 продаж. В третий месяц использовались и контекстная реклама, и SEO — что в итоге дало не 40 продаж, а 50. Это и есть эффект синергии: ситуация, когда взаимодействие двух и более факторов дает увеличение результата больше, чем мог бы дать каждый из этих факторов по отдельности.

Используя одновременно два и более каналов рекламы, мы получаем большую отдачу. Зная об эффекте синергии не понаслышке, наши интернет-маркетологи стремятся задействовать максимум каналов рекламы. Вот такую маленькую хитрость рекомендуем взять на заметку:) Теперь перейдем к конкретному примеру, который проиллюстрирует все вышесказанное — кейс по услуге «платный трафик» в тематике шин.

Сразу приложу свежий скриншотик из Google Analytics, так как знаю, что читатели кейсов их очень любят:

Этот кейс отражает дальнейшие результаты работы по проекту, кейс которого я выкладывала в прошлом году. Сравним эти два года. Для начала сравним расходы каждого сезона - 2012 и 2013 года (под сезоном подразумеваю период с 1.09. по 31.12):

• реклама в прайс-агрегаторах;
• контекстная реклама.

В сезоне 2012 года использовалась реклама в Google Ads и размещение на двух прайсах: Яндекс.Маркет и Hotline.ua. В аналогичном сезоне 2013 года уже использовалась реклама в Google Ads, Яндекс.Директе и на 10 прайс-агрегаторах. Использование дополнительных каналов рекламы увеличило расходы почти на 310%. Теперь посмотрим, как при увеличении затрат на рекламу на 310% вырос доход по проекту:

Таким образом, мы видим, что увеличив расходы на рекламу на 310%, мы увеличили доход клиента не на 310%, а на 573%. Замечательно, не так ли?! То есть рост дохода в сравнении с тратами проиходит не линейно, а экспоненциально.

В получении такого результата, конечно же, не обошлось без эффекта синергии.

Посмотрим на рост валовой прибыли:

Проиллюстрируем также, как выросло число транзакций:

Этот скриншот позволяет сделать выводы о ситуации со средним чеком. Если доход вырос на 573%, а количество продаж на 557%, то становится ясно, что немного вырос средний чек.

Обладая данными о доходе из Google Analytics, тратах и марже, посчитаем самый главный показатель эффективности — ROMI (возврат маркетинговых инвестиций) по следующей формуле:

ROMI = ((Доход × Маржа) — Траты клиента) / Траты клиента

Итак, сравним результаты по ROMI двух сезонов:

Важно отметить, что при расчете ROMI мы учитывали только тот доход, который показывает Google Analytics, а это говорит о том, что мы не учли еще 80% продаж, которые были осуществлены по телефону, то есть учли лишь 20% полученного дохода клиента — это всего лишь 5-я часть.

Очень интересная ситуация вырисовывается, когда мы посчитаем наш ROMI с учетом 80% заказов по телефону. Для этого умножим наш доход на 5, а дальше считаем как обычно:

Рост ROMI на более приближенном к реальности доходе выглядит еще привлекательнее. Однако дело ведь не только в ROMI, а в реальном увеличении оборотов: значительно больше клиентов -> значительно больше продаж.

Теперь еще раз итоги сезона 2013-го года

Траты клиента : 131 341 грн. (включая оплату за услуги агентства). Маржа : 13%. Количество транзакций : 880. Доход по Google Analytics : 1 317 166,2 грн. Валовая прибыль (с учетом заказов по телефону) : 856 158 грн. ROMI по валовой прибыли (с учетом заказов по телефону) : 551,86%.

Конечно, полученный результат — это еще далеко не предел: есть куда растить бюджет на рекламу > есть куда расти доходу клиента. В следующем сезоне мы обязательно задействуем дополнительные каналы рекламы (их количество, наверное, никогда не закончится).

Среди must have фишек нового сезона — использование инструмента отслеживания заказов по телефону ifTheyCall . Это новинка от Netpeak, которую мы просто не успели задействовать в сезоне сентябрь-декабрь 2013 года. Этот инструмент позволит корректнее оценить отдачу от каждого канала рекламы, перераспределить бюджет и быть еще эффективнее.

Проиллюстрирую итоги в виде картинок

Как видно из графика — внизу находится точка безубыточности. До этой точки вложения в рекламу не окупятся. К примеру, если вы потратите 100 грн. на то, чтобы получить 100 кликов — вероятность получить продажу, которая окупила бы эти вложения практически равна 0. Вторая точка на графике — это точка оптимума (назовем ее так) — это когда вы вкладываете в рекламу максимум средств и получаете максимальный доход. После этой точки наблюдается уход в насыщение, то есть рынок насыщен, рекламой охвачены все потенциальные покупатели, рост вложений в рекламу не дает более роста дохода. Если ваш рекламный бюджет находится за точкой безубыточности, то велика вероятность, что вкладывая в рекламу вдвое больше — ваш доход будет расти экспоненциально до достижения точки оптимума.

• эффект синергии от использования 2-х и более каналов рекламы одновременно:

К этой иллюстрации остается только добавить — пробуйте новые каналы рекламы:)

Как уже подчеркивалось в предыдущем разделе, любая популяция в принципе способна экспоненциально увеличивать свою численность, и именно поэтому экспоненциальная модель используется для оценки потенциальных возможностей роста популяций. В некоторых случаях, однако, экспоненциальная модель оказывается пригодной для описания и реально наблюдаемых процессов. Очевидно, это возможно тогда, когда в течение достаточно продолжительного (относительно длительности поколения) времени ничто не ограничивает рост популяции и соответственно показатель его удельной скорости (r ) сохраняет постоянное положительное значение.

Так, например, в 1937 г. на небольшой остров Протекши (у северо-западного побережья США близ штата Вашингтон) были завезены 2 самца и 6 самок фазана (Phasanius colchicus torqualus), ранее на острове не встречавшегося. В том же году фазаны начали размножаться, а через 6 лет популяция, начало которой дали 8 птиц, насчитывала уже 1898 особей. Как следует из рис. 28 а, в течение по крайней мере первых 3-4 лет рост численности фазанов хорошо описывался экспоненциальной зависимостью (прямая линия при логарифмической шкале по ординате). К сожалению, позднее, в связи с началом военных действий, на острове были расположены войска, ежегодные учеты прекратились, а сама популяция фазанов была в значительной степени истреблена.

Другой известный случай экспоненциального роста популяции-увеличение численности популяции кольчатой горлицы (Streptopelia decaocto) на Британских островах в конце 1950-х- начале 1960-х гг. (рис. 28, б). Прекратился этот рост только через 8 лет, после того как все пригодные местообитания были заселены.

Список примеров экспоненциального роста популяции может быть продолжен. В частности, несколько раз экспоненциальное (или, по крайней мере близкое к экспоненциальному) увеличение численности северного оленя (Rangifer tarandus) наблюдалось при интродукции его на различные острова. Так, от 25 особей (4 самца и 21 самка), завезенных в 1911 г. на остров Святого Павла (входящий в архипелаг островов Прибылова в Беринговом море), произошла популяция, численность которой к 1938г. достигла 2 тыс. особей, но затем последовал резкий спад, и к 1950 г. на острове осталось только 8 оленей. Сходная картина наблюдалась и на острове Святого Матвея (также расположенном в Беринговом море): 29 особей (5 самцов и 24 самки), интродуцированных на остров в 1944 г., дали популяцию, насчитывавшую в 1957 г. 1350 особей, а в 1963 г. - около 6 тыс. особей (площадь этого острова 332 км 2 , что примерно в три раза больше площади острова Святого Павла). В последующие годы произошло, однако, катастрофическое снижение численности оленей-к 1966 г. их осталось только 42. В обоих вышеописанных случаях причиной резкого снижения численности была нехватка в зимнее время пищи, состоящей почти исключительно из лишайников.

В лаборатории можно создать условия для экспоненциального роста, если снабжать культивируемые организмы избытком ресурсов, обычно лимитирующих их развитие, а также поддерживать значение всех физико-химических параметров среды в пределах толерантности данного вида. Нередко для поддержания экспоненциального роста бывает нужно удалять продукты обмена веществ организмов (используя, например, проточные системы при культивировании различных водных животных и растений) или изолировать нарождающихся особей друг от друга, чтобы избегать их скученности (это важно, например, при культивировании многих грызунов и других животных с достаточно сложным поведением). Практически получить в эксперименте кривую экспоненциального роста несложно только для очень мелких организмов (дрожжевых грибков, простейших, одноклеточных водорослей и т. д.). Крупные организмы культивировать в больших количествах трудно по чисто техническим причинам. Кроме того, для этого требуется много времени.

Ситуации, при которых складываются условия экспоненциального роста, возможны и в природе, притом не только для островных популяций. Так, например, в озерах умеренных широт весной, после таяния льда, в поверхностных слоях содержится большое количество обычно дефицитных для планктонных водорослей биогенных элементов (фосфора, азота, кремния), и поэтому неудивительно, что сразу после прогревания воды здесь наблюдается быстрый (близкий к экспоненциальному) рост численности диатомовых или зеленых водорослей. Прекращается он лишь тогда, когда все дефицитные элементы окажутся связанными в клетках водорослей или же когда продукция популяций уравновесится выеданием их различными животными-фитофагами.

Хотя можно привести и другие примеры реально наблюдаемого экспоненциального увеличения численности, нельзя сказать, чтобы они были очень многочисленны. Очевидно, возрастание численности популяции по экспоненциальному закону если и происходит, то только очень короткое время, сменяясь затем спадом или выходом на плато (= стационарный уровень). В принципе возможны несколько вариантов прекращения экспоненциального роста численности. Первый вариант - это чередование периодов экспоненциального роста численности с периодами резкого (катастрофического) спада, вплоть до очень низких значений. Подобная регуляция (а под регуляцией численности мы будем понимать действие любых механизмов, приводящих к ограничению роста популяции) наиболее вероятна у организмов с коротким жизненным циклом, обитающих в местах с резко выраженными колебаниями основных лимитирующих факторов, например у насекомых, живущих в высоких широтах. Очевидно также то, что такие организмы должны иметь покоящиеся стадии, позволяющие пережить неблагоприятные сезоны. Второй вариант - это резкая остановка экспоненциального роста и поддержание популяции на постоянном (=стационарном) уровне, вокруг которого возможны различные флуктуации. Третий вариант - это плавный выход на плато. Получающаяся при этом S-образная форма кривой указывает на то, что по мере увеличения численности популяции скорость роста ее не остается постоянной, а снижается. S-образный рост популяций наблюдается очень часто как в лабораторных экспериментах, так и при вселении видов в новые местообитания.

Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост - возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону . Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейному , степенному или геометрическому зависимостям.

Свойства

Для любой экспоненциально растущей величины, чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны . Но при этом, в отличие от гиперболической экспоненциальная кривая никогда не уходит в бесконечность за конечный промежуток времени.

Экспоненциальный рост в итоге оказывается более быстрым, чем любая геометрическая прогрессия , чем любой степенной , и тем более, чем любой линейный рост .

Математическая запись

Экспоненциальный рост описывается дифференциальным уравнением:

Решение этого дифференциального уравнения - экспонента:

Примеры

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов. Другим примером экспоненциального роста являются сложные проценты .

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Экспоненциальный рост" в других словарях:

Возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной ее значению. Говорят: такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины,… … Словарь бизнес-терминов

экспоненциальный рост - eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential rising vok. Exponentialanstieg, m rus. экспоненциальный рост, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ - рост с относительно постоянной скоростью … Словарь ботанических терминов

Процесс увеличения какого либо качества со временем. Качества могут быть как физическими (например, рост в высоту), так и абстрактными (например, взросление человека, расширение системы): Клеточный рост, или пролиферация Рост населения Рост… … Википедия

РОСТ - означает увеличение размеров развивающегося организма. В типичных случаях Р. связан с увеличением массы, однако не всякое увеличение массы организма мы, обозначаем как Р. (напр. отложение жира, накопление половых продуктов у некоторых животных,… … Большая медицинская энциклопедия

Экспоненциальный рост в математике экспоненциальное возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной её значению. Говорят что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это… … Википедия

- [от algorithm!; algorismus, первоначально лат. транслитерация имени ср. азиат. учёного 9 в. Хорезми (Мухаммед бен Муса аль Хорезми)], программа, определяющая способ поведения (вычисления); система правил (предписаний) для эффективного… … Философская энциклопедия

Движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. К. свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри к рых происходят циклич. яд. реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты… … Физическая энциклопедия

Проблема отыскания алгоритма для распознавания по любому диофантову уравнению, имеет ли оно решение. Существенным в постановке проблемы является требование найти универсальный метод, к рый должен быть пригоден для любого уравнения (все известные… … Математическая энциклопедия

Логическая схема перцептрона с тремя выходами Перцептрон, или персептрон (англ. perceptron от … Википедия

Книги

• Великие озера мира , В.А. Румянцев, В. Г. Драбкова, А. В. Измайлова. Экспоненциальный рост народонаселения и вслед за этим рост промышленности и сельского хозяйства приводит не только к катастрофической нехватке запасов пресных вод, но и к ухудшению их…